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第8节　指数与对数的运算
课标要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
1.根式的概念及性质
(1)概念:式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质:①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n为大于1的奇数).
⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数).
2.分数指数幂
规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1);正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
3.实数指数幂的运算性质
aαaβ＝aα＋β;(aα)β＝aαβ;(ab)α＝aαbα，其中a>0，b>0，α，β∈R.
4.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①＝N;②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN;
②loga＝logaM－logaN;
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式:logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1;b>0，且b≠1).
(2)lobn＝logab(a>0，且a≠1;b>0;m，n∈R，且m≠0).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　　)
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.(　　)
(3)log2x2＝2log2x.(　　)
(4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)由于＝4，故(1)错误.
(2)当<1时，不可以，故(2)错误.
(3)log2x2＝2log2|x|，故(3)错误.
(4)当M<0，N<0时，虽然MN>0，
但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(4)错误.
2.(人教A必修一P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　)
A. B.
C.2a＋b D.2b＋a
答案　A
解析　log1210＝.
3.(人教A必修一P110T8改编)已知＝3，则a＋a－1＝　　　　;a2＋a－2＝　　　　.
答案　7　47
解析　由＝3，
得a＋a－1＋2＝9，
即a＋a－1＝7，
则a2＋a－2＋2＝49，
即a2＋a－2＝47.
4.计算:π0＋2－2×＋log23－log26＝　　　　.
答案　
解析　原式＝1＋×＋log23－log22－log23＝1＋×－1＝.
考点一　指数幂的运算
例1 (1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　)
A. B.＝a
C.(＝36 D.＝－
(2)＋(－8＋80.25×＝　　　　.
(3)已知f(x)＝3x＋3－x，且f＝4，则f(a)＝　　　　.
答案　(1)ABC　(2)π＋　(3)14
解析　(1)对于A，，故A正确;
对于B，＝|a|＝a，故B正确;
对于C，(＝62＝36，故C正确;
对于D，，故D错误.
(2)＋(－8＋80.25×＋(－2)2＋×＋π－2＝＋4＋2＋π－2＝π＋.
(3)由已知得＝4，
所以＝16，
即3a＋3－a＋2＝16，
因此3a＋3－a＝14，
故f(a)＝3a＋3－a＝14.
感悟提升　1.指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意:
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加.
(2)运算的先后顺序.
2.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
训练1 (多选)下列计算正确的是(　　)
A.
B.÷＝－9a(a>0，b>0)
C.
D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
答案　BC
解析　对于A，≠，所以A错误;
对于B，÷＝－9·＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确;
对于C，，所以C正确;
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，
所以x＋x－1＝±2，所以D错误.
考点二　对数的运算
例2 (1)(多选)下列运算中正确的是(　　)
A.＝log75 B.ln(ln e)＝0
C.lo＝－1 D.
(2)计算:lg 25＋lg 2－lg－log29×log32＝　　　　.
答案　(1)BCD　(2)－
解析　(1)对于A，＝log57，故A错误;
对于B，ln(ln e)＝ln 1＝0，故B正确;
对于C，lo＝lo()－1＝－1，故C正确;
对于D，，故D正确.
(2)原式＝lg 5＋lg 2－lg 1－2log23×log32＝1－－2＝－.
感悟提升　解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
训练2 (1)log9 32×log64 27＋log9 2×log4＝(　　)
A. B.2
C. D.
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则a＝　　　　.
答案　(1)C　(2)64
解析　(1)log9 32×log64 27＋log9 2×log4
＝××
＝××
＝××
＝.
(2)根据题意有＝－，
即3loga2－＝－，
设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，
得t＝(t＝－1舍去)，
所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64.
考点三　指数与对数的综合运算
例3 (1)已知2a＝7b＝k，若＝1，则k的值为(　　)
A.28 B.
C.14 D.
(2)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　)
A.25 B.5
C. D.
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)∵2a＝7b＝k，
∴a＝log2k，b＝log7k，
∴＝logk2，＝logk7，
∴＝2logk2＋logk7＝logk28＝1，
∴k＝28.
(2)由2a＝5两边同时取以2为底的对数，得
a＝log25.
又b＝log83＝log23，
∴a－3b＝log25－log23＝log2
＝2log4＝log4，
∴4a－3b＝.
感悟提升　1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
2.对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
训练3 (1)若2a＝5b＝zc，且，则z的值为(　　)
A. B.10
C.7 D.
(2)已知a＝log23，4＝3b，则ab＝　　　　.
答案　(1)B　(2)2
解析　(1)设2a＝5b＝zc＝k>0，且k≠1，
则a＝log2k，b＝log5k，c＝logzk，
所以＝logk2＋logk5＝logk(2×5)＝logk10＝＝logkz，
所以z＝10.
(2)∵4＝3b，∴log24＝blog23，b＝，
∴ab＝log23×＝2.
一、单选题
1.若xlog32＝1，则2x＝(　　)
A.2 B.3
C. D.
答案　B
解析　由xlog32＝1，得x＝＝log23，
所以2x＝3.故选B.
2.已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由换底公式得logma＝，
logmb＝，因为ab≠1，
所以logabm＝.
3.化简(其中a>0，b>0)的结果是(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　C
解析　.
4.下列结论中正确的是(　　)
A.若a>0，则·＝a
B.若m8＝2，则m＝±
C.若a＋a－1＝3，则＝±
D.＝2－π
答案　B
解析　对于A，根据分数指数幂的运算法则，
可得·，
当a＝1时，＝a;
当a≠1时，≠a，故A错误;
对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确;
对于C，a＋＝3，则＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，
因为a>0，所以，故C错误;
对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误.
5.已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＝b，则a＋b＝(　　)
A. B.
C. D.2
答案　A
解析　∵4a＝8，2m＝9n＝6，
∴a＝log48＝，m＝log26，n＝log96，
∴b＝＝log62＋log69＝1，
∴a＋b＝＋1＝.
6.若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为(　　)
A.4 B.1或
C.1或4 D.
答案　D
解析　∵2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2＝lg x＋lg y＝lg(xy)，
∴(x－2y)2＝xy，
即x2－5xy＋4y2＝0，－5＋4＝0，
∴＝0，
解得＝1或＝4.
又∵x－2y>0，且x>0，y>0，
∴>2，
∴＝4，即.
7.已知log189＝a，18b＝5，则log4581＝(　　)
A.－ B.
C. D.
答案　C
解析　由log189＝a，18b＝5，得a＝log189，b＝log185，所以log4581＝.故选C.
二、多选题
8.下列化简中正确的有(　　)
A.()－1·(a－2
B.(y)a·(4y－a)＝4x
C.[(1－)2－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2
D.2a3·(－5)÷(4)＝－
答案　ABD
解析　对于A，()－1·(a－2，正确;
对于B，(y)a·(4y－a)＝4·ya－a＝4xy0＝4x，正确;
对于C，[(1－)2－(1＋)－1＋(1＋)0＝(－1＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故错误;
对于D，2a3·(－5)÷(4)＝
[2×(－5)÷4]＝－，正确.故选ABD.
9.以下运算中正确的有(　　)
A.若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝
B.若，则x＝2
C.－2ln(ln ee)＝7
D.log23·log94＝2
答案　AC
解析　对于A，log518＝，故A正确;
对于B，因为log3＝log33－2＝－2，则x－2＝，即x＝±2，故B错误;
对于C，－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7，故C正确;
对于D，log23·log94＝log23·＝log23·＝1，故D错误.
三、填空题
10.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝　　　　.
答案　e
解析　f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，∴aln 2＝2，∴a＝e.
11.计算:log381－log98·log23－＋lg ＋lg ＝　　　　.
答案　0　
解析　原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0.
12.化简(a>0，b>0)的结果是　　　　.
答案　
解析　
＝＝ab－1＝.
四、解答题
13.计算下列各值:
(1)＋0.1－2－×π0;
(2)lg 25＋lg 8－log227×log32＋;
(3)(log29)×(lo2)×
解　(1)原式＝＋100－＝100.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3
＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2.
(3)(log29)×(lo2)×
＝2log23××
＝2lo3×＝4×＝1.
14.已知函数f(x)＝(a>0，a≠1，a为常数，x∈R).
(1)若f(m)＝6，求f(－m)的值;
(2)若f(1)＝3，求f(2)，f的值.
解　(1)因为f(m)＝6，所以＝6，
所以f(－m)＝＝6.
(2)因为f(1)＝3，所以＝3，
所以a＋a－1＝6，
所以f(2)＝＝17.
因为＝a＋a－1＋2＝8，
所以＝2，
所以f.(共50张PPT)
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第二章　函数
第8节　指数与对数的运算
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.根式的概念及性质
(1)概念:式子叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质:①______没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作＝____.
③()n＝____ (n∈N*，且n>1).
④＝a(n为大于1的奇数).
⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数).
根式
负数
0
a
a
-a
2.分数指数幂
规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1);正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂__________.
3.实数指数幂的运算性质
aαaβ＝_______;(aα)β＝____;(ab)α＝______，其中a>0，b>0，α，β∈R.
没有意义
aα＋β
aαβ
aαbα
4.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝_________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①＝____;②logaab＝b(a>0，且a≠1).
logaN
N
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝_______________;
②loga＝_______________;
③logaMn＝________ (n∈R).
(3)换底公式:logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
常用结论与微点提醒
换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1;b>0，且b≠1).
(2)lobn＝logab(a>0，且a≠1;b>0;m，n∈R，且m≠0).
(1)由于＝4，故(1)错误.
(2)当<1时，不可以，故(2)错误.
(3)log2x2＝2log2|x|，故(3)错误.
(4)当M<0，N<0时，虽然MN>0，但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(4)错误.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　　)
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.(　　)
(3)log2x2＝2log2x.(　　)
(4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
×
×
×
2.(人教A必修一P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　)
A. B.
C.2a＋b D.2b＋a
log1210＝.
A
3.(人教A必修一P110T8改编)已知＝3，则a＋a－1＝　　　　;a2＋a－2＝　　　　.
由＝3，得a＋a－1＋2＝9，
即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49，
即a2＋a－2＝47.
7
47
4.计算:π0＋2－2×＋log23－log26＝　　　　.
原式＝1＋×＋log23－log22－log23＝1＋×－1＝.
考点聚焦突破
02
例1 (1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　 　)
A. B.＝a
C.(＝36 D.＝－
ABC
对于A，，故A正确;
对于B，＝|a|＝a，故B正确;
对于C，(＝62＝36，故C正确;
对于D，，故D错误.
考点一　指数幂的运算
(2)＋(－8＋80.25×＝　　　　.
(3)已知f(x)＝3x＋3－x，且f＝4，则f(a)＝　　　　.
π＋
(2)＋(－8＋80.25×＋(－2)2＋×＋π－2＝＋4＋2＋π－2＝π＋.
(3)由已知得＝4，所以＝16，
即3a＋3－a＋2＝16，因此3a＋3－a＝14，故f(a)＝3a＋3－a＝14.
14
感悟提升
1.指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意:
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加.
(2)运算的先后顺序.
2.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
训练1 (多选)下列计算正确的是(　　)
A.
B.÷＝－9a(a>0，b>0)
C.
D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
BC
对于A，≠，所以A错误;
对于B，÷＝－9·＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确;
对于C，，所以C正确;
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，
所以x＋x－1＝±2，所以D错误.
例2 (1)(多选)下列运算中正确的是( 　　)
A.＝log75 B.ln(ln e)＝0
C.lo＝－1 D.
BCD
对于A，＝log57，故A错误;
对于B，ln(ln e)＝ln 1＝0，故B正确;
对于C，lo＝lo()－1＝－1，故C正确;
对于D，，故D正确.
考点二　对数的运算
(2)计算:lg 25＋lg 2－lg－log29×log32＝　　　　.
－
原式＝lg 5＋lg 2－lg 1－2log23×log32＝1－－2＝－.
感悟提升
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
训练2 (1)log9 32×log64 27＋log9 2×log4＝(　　)
A. B.2
C. D.
C
log9 32×log64 27＋log9 2×log4
＝××
＝××
＝××
＝.
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则a＝　　　　.
根据题意有＝－，
即3loga2－＝－，
设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，
得t＝(t＝－1舍去)，
所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64.
64
例3 (1)已知2a＝7b＝k，若＝1，则k的值为(　　)
A.28 B.
C.14 D.
A
∵2a＝7b＝k，∴a＝log2k，b＝log7k，
∴＝logk2，＝logk7，
∴＝2logk2＋logk7＝logk28＝1，
∴k＝28.
考点三　指数与对数的综合运算
(2)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　)
A.25 B.5
C. D.
C
由2a＝5两边同时取以2为底的对数，得a＝log25.
又b＝log83＝log23，
∴a－3b＝log25－log23＝log2＝2log4＝log4，
∴4a－3b＝.
感悟提升
1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
2.对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
训练3 (1)若2a＝5b＝zc，且，则z的值为(　　)
A. B.10
C.7 D.
B
设2a＝5b＝zc＝k>0，且k≠1，
则a＝log2k，b＝log5k，c＝logzk，
所以＝logk2＋logk5＝logk(2×5)＝logk10＝＝logkz，
所以z＝10.
(2)已知a＝log23，4＝3b，则ab＝　　　　.
∵4＝3b，∴log24＝blog23，b＝，
∴ab＝log23×＝2.
2
课时对点精练
03
一、单选题
1.若xlog32＝1，则2x＝(　　)
A.2 B.3
C. D.
B
由xlog32＝1，得x＝＝log23，
所以2x＝3.故选B.
2.已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm等于(　　)
A. B.
C. D.
D
由换底公式得logma＝，
logmb＝，因为ab≠1，
所以logabm＝.
3.化简(其中a>0，b>0)的结果是(　　)
A. B.－
C. D.－
C
.
4.下列结论中正确的是(　　)
A.若a>0，则·＝a
B.若m8＝2，则m＝±
C.若a＋a－1＝3，则＝±
D.＝2－π
B
对于A，根据分数指数幂的运算法则，
可得·，当a＝1时，＝a;
当a≠1时，≠a，故A错误;
对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确;
对于C，a＋＝3，则＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，
因为a>0，所以，故C错误;
对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误.
5.已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＝b，则a＋b＝(　　)
A. B.
C. D.2
A
∵4a＝8，2m＝9n＝6，
∴a＝log48＝，m＝log26，n＝log96，
∴b＝＝log62＋log69＝1，
∴a＋b＝＋1＝.
6.若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为(　　)
A.4 B.1或
C.1或4 D.
D
∵2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2＝lg x＋lg y＝lg(xy)，∴(x－2y)2＝xy，
即x2－5xy＋4y2＝0，－5＋4＝0，∴＝0，
解得＝1或＝4.
又∵x－2y>0，且x>0，y>0，∴>2，∴＝4，即.
7.已知log189＝a，18b＝5，则log4581＝(　　)
A.－ B.
C. D.
C
由log189＝a，18b＝5，得a＝log189，b＝log185，所以log4581＝.故选C.
8.下列化简中正确的有(　　 )
A.()－1·(a－2
B.(y)a·(4y－a)＝4x
C.[(1－)2－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2
D.2a3·(－5)÷(4)＝－
ABD
对于A，()－1·(a－2，正确;
对于B，(y)a·(4y－a)＝4·ya－a＝4xy0＝4x，正确;
二、多选题
对于C，[(1－)2－(1＋)－1＋(1＋)0＝(－1＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故错误;
对于D，2a3·(－5)÷(4)＝
[2×(－5)÷4]＝－，正确.故选ABD.
9.以下运算中正确的有(　　)
A.若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝
B.若，则x＝2
C.－2ln(ln ee)＝7
D.log23·log94＝2
AC
对于A，log518＝，故A正确;
对于B，因为log3＝log33－2＝－2，则x－2＝，即x＝±2，故B错误;
对于C，－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7，故C正确;
对于D，log23·log94＝log23·＝log23·＝1，故D错误.
10.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝　　　　.
f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，∴aln 2＝2，∴a＝e.
三、填空题
e
11.计算:log381－log98·log23－＋lg ＋lg ＝　　　　.
0
原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0.
12.化简(a>0，b>0)的结果是　　　　.
＝＝ab－1＝.
13.计算下列各值:
(1)＋0.1－2－×π0;
原式＝＋100－＝100.
四、解答题
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2.
(3)(log29)×(lo2)×
＝2log23××
＝2lo3×＝4×＝1.
(2)lg 25＋lg 8－log227×log32＋;
(3)(log29)×(lo2)×
14.已知函数f(x)＝(a>0，a≠1，a为常数，x∈R).
(1)若f(m)＝6，求f(－m)的值;
因为f(m)＝6，所以＝6，
所以f(－m)＝＝6.
(2)若f(1)＝3，求f(2)，f的值.
因为f(1)＝3，所以＝3，
所以a＋a－1＝6，
所以f(2)＝＝17.
因为＝a＋a－1＋2＝8，
所以＝2，
所以f.

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