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第9节　指数函数
课标要求　1.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
1. 指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1; 当x<0时，01; 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点:(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03.如图所示是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，
(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x－1是指数函数.(　　)
(2)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　)
(3)2－3>2－4.(　　)
(4)若am0，且a≠1)，则m答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(1)由于指数函数解析式为y＝ax(a>0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，(1)错误.
(2)由于x2＋1≥1，又a>1，∴≥a.
故y＝(a>1)的值域是[a，＋∞)，(2)错误.
(4)m与n的大小关系与a的取值有关，(4)错误.
2.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)
答案　A
解析　易知f(x)是偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，故A正确.
3.(苏教必修一P165T5改编)(多选)若函数y＝ax(a>0，a≠1)在区间[－1，1]上的最小值为，则实数a的值为(　　)
A.2 B.
C. D.
答案　AD
解析　当a>1时，y＝ax在[－1，1]上单调递增，
此时f(x)min＝f(－1)＝a－1＝，解得a＝2，
当0此时f(x)min＝f(1)＝a＝.
所以实数a的值为2或，故选AD.
4.(人教B必修二P13练习A T2改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
答案　C
解析　因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5>2.7，故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1，即c>b>a.
考点一　指数函数的图象及应用
例1 (1)(多选)已知a>0，则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是(　　)
(2)(2026·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个交点，则a的取值范围是　　　　.
答案　(1)AD　(2)
解析　(1)当x＝1时，f(1)＝a－2a＝－a<0，排除B，C;
当a＝2时，f(x)＝2x－4，此时函数对应的图象可能为A;
当a＝时，f(x)＝－1，此时函数对应的图象可能为D.故选AD.
(2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，保持x轴上及其上方的图象不变得到的.
当a>1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意;
当0综上可知，a的取值范围是.
感悟提升　1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
训练1 (1)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　)
(2)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　)
A.a＝b B.0C.a答案　(1)B　(2)ABC
解析　(1)由题意得，f(x)的定义域为R，排除C，D;
当x≥－2时，f(x)＝，
因为0<<1，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A.故选B.
(2)由
题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，
由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故A正确;
作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，
则0作出直线y＝m，当0若3a＝6b＝m，则a当01，
则3a<3b<2b·3b＝6b，
故D错误.
考点二　指数函数的性质及应用
角度1　比较大小
例2 (1)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
(2)(2026·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝，c＝，则(　　)
A.cC.c答案　(1)D　(2)D
解析　(1)法一　因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，
所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1;
因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，
所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.
综上，b>a>c.故选D.
法二　因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，
所以1.010.6>1.010.5，即b>a;
因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，
即a>c.综上，b>a>c.故选D.
(2)a＝1.30.6>1.30＝1，b＝，c＝，
因为指数函数y＝是减函数，
所以<<＝1，
所以b角度2　解指数方程或不等式
例3 不等式22x－3>的解集是　　　　.
答案　(－2，＋∞)
解析　由题意知，22x－3>＝2－7，
由指数函数y＝2x在R上单调递增，
得2x－3>－7，解得x>－2，
即原不等式的解集为(－2，＋∞).
角度3　指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝2x＋a·是定义在R上的偶函数.
(1)求a的值，并证明函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增;
(2)求函数h(x)＝f(x)＋f(2x)，x∈[0，1]的值域.
解　(1)因为函数f(x)在R上为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
得2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x，即(1－a)(2x－2－x)＝0恒成立，即a＝1.
所以f(x)＝2x＋2－x，
对任意的0≤x1因为0≤x11，－1>0，
所以f(x1)(2)函数h(x)＝f(x)＋f(2x)＝2x＋2－x＋＋2－2x＝(2x＋2－x)2＋(2x＋2－x)－2.
令t＝2x＋2－x＝2x＋，
因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]，
所以t∈，
令φ(t)＝t2＋t－2，
故函数φ(t)在上单调递增，
当t＝2时，h(x)min＝φ(2)＝4;
当t＝时，h(x)max＝φ.
则函数h(x)的值域为.
感悟提升　1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2.指数方程(或不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
训练2 (1)已知实数a，b，c满足a＝，be＝，则(　　)
A.bC.c(2)(多选)(2026·广州模拟)已知函数y＝，则下列说法正确的是(　　)
A.定义域为R
B.值域为(0，2]
C.在[－2，＋∞)上单调递增
D.在[－2，＋∞)上单调递减
(3)已知函数f(x)＝2|x|，则f(2x＋1)>f(4)的解集为　　　　.
答案　(1)B　(2)ABD
(3)∪
解析　(1)由y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
可知＝1>b＝>＝a，
c＝lo＝log23>log22＝1，
所以c>1>b>a.
(2)函数y＝的定义域为R，A正确;
∵x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1，
∴0<≤2，
故函数y＝的值域为(0，2]，B正确;
∵y＝在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是减函数，
在[－2，＋∞)上是增函数，
∴函数y＝在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确.
(3)由函数f(x)＝2|x|，可得其定义域为R，
且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，
所以f(x)＝2|x|为偶函数，
当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x，且在[0，＋∞)上单调递增，
根据偶函数的性质，不等式f(2x＋1)>f(4)，
即为f(|2x＋1|)>f(4)，
可得|2x＋1|>4，所以2x＋1<－4或2x＋1>4，
解得x<－或x>，
所以f(2x＋1)>f(4)的解集为∪.
一、单选题
1.函数f(x)＝的图象大致为(　　)
答案　B
解析　作出函数y＝的图象，如图所示，将y＝的图象向左平移1个单位得到f(x)＝的图象.
2.若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.cC.a答案　C
解析　指数函数y＝为减函数，
所以>，即b>c.
幂函数y＝在区间(0，＋∞)上为增函数，
所以<，
即a3.(2026·西安调研)已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　函数f(x)＝的定义域为R，
令u＝x2－3x＋1，y＝3u.
因为y＝3u在R上单调递增，
u＝x2－3x＋1的单调递增区间为，
所以f(x)的单调递增区间为.
4.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0，1)，
因为a>1，
所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，
所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示.
故函数f(x)的图象不经过第二象限.
5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝，则对任意实数x，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，且在R上单调递增
B.f(x)是奇函数，且在R上单调递增
C.f(x)是奇函数，且在R上单调递减
D.f(x)是偶函数，且在R上单调递减
答案　B
解析　f(x)的定义域为R，
f(x)＝，
则f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)是奇函数.
由于f(x)＝，
函数y＝ex＋1单调递增，
故f(x)在R上单调递增.
故选B.
6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞，0]满足x2－3x＋a<0(a∈R)，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－1，＋∞)
答案　A
解析　因为存在x∈(－∞，0]，满足x2－3x＋a<0(a∈R)，
即存在x∈(－∞，0]，满足a<－x2＋3x，亦即
a<(－x2＋3x)max.
令f(x)＝－x2＋3x，x∈(－∞，0]，
因为y＝－x2与y＝3x在(－∞，0]上均单调递增，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，
所以f(x)max＝f(0)＝1，
所以a<1，即a的取值范围是(－∞，1).故选A.
7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
答案　B
解析　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，
所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，
令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝，
此时x>y>z，A有可能;
令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能;
令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，
z＝53＝125，
此时y>z>x，D有可能.故选B.
二、多选题
8.已知实数a，b满足等式2 026a＝2 027b，下列等式可以成立的是(　　)
A.a＝b＝0 B.aC.0答案　ABD
解析　如图，观察易知，a9.(2026·江西适应性联考)设函数f(x)＝ex－e－x－2x，x∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在R上是单调函数
C.f(x)的最小值为1
D.当x>0时，f(x)>0
答案　ABD
解析　f(－x)＝e－x－ex＋2x＝－(ex－e－x－2x)＝－f(x)，x∈R，
所以f(x)是奇函数，A正确;
对f(x)求导得f'(x)＝ex＋e－x－2，
因为ex＋e－x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，
所以f'(x)≥0，则f(x)在R上是单调函数，B正确;
由B的分析知f(x)是增函数，故f(x)没有最小值，C错误;
因为f(x)是增函数，且f(0)＝0，
所以当x>0时，f(x)>0，D正确.
三、填空题
10.不等式<的解集为　　　　.
答案　(－3，2)
解析　函数y＝2x在R上单调递增，
则 <，得<2－3(x－1)，得x2－2x－3<－3(x－1)，
即x2＋x－6<0， 解得－3所以原不等式的解集为(－3，2).
11.已知函数f(x)＝|2x－1－2|＋m有两个零点，则m的取值范围是　　　　.
答案　(－2，0)
解析　令f(x)＝|2x－1－2|＋m＝0，
得|2x－1－2|＝－m，
因为f(x)有两个零点，所以函数y＝|2x－1－2|的图象与直线y＝－m有两个交点，
画出函数y＝|2x－1－2|的图象，如图所示，
由图可知0<－m<2，即－212.已知0≤x≤2，则函数y＝－3×2x＋5的最大值为　　　　.
答案　
解析　设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4，
y＝－3×2x＋5＝t2－3t＋5
＝(t－3)2＋，
故当t＝1，即x＝0时，函数有最大值.
四、解答题
13.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a>0，且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.
解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，
∵f(1)<0，即a－<0，
又a>0，且a≠1，∴0而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为
f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2∴实数m的取值范围是(－2，1).
14.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值.
解　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1，1]，
所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3或a＝－5(舍去);
当0所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝－2＝14，
解得a＝或a＝－(舍去).
综上，a＝3或a＝.(共48张PPT)
数学
高考总
复
习
第二章　函数
第9节　指数函数
1.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1. 指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
a>1 0图象
a>1 0定义域 R
值域 ______________
性质 过定点____________，即x＝0时，y＝1
当x>0时，________; 当x<0时，____________ 当x<0时，________;
当x>0时，____________
在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
(0，＋∞)
(0，1)
y>1
0y>1
0增函数
减函数
常用结论与微点提醒
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点:(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03.如图所示是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，
(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0.
(1)由于指数函数解析式为y＝ax(a>0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，(1)错误.
(2)由于x2＋1≥1，又a>1，∴≥a.
故y＝(a>1)的值域是[a，＋∞)，(2)错误.
(4)m与n的大小关系与a的取值有关，(4)错误.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x－1是指数函数.(　　)
(2)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　)
(3)2－3>2－4.(　　)
(4)若am0，且a≠1)，则m×
×
2.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)
易知f(x)是偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，故A正确.
A
3.(苏教必修一P165T5改编)(多选)若函数y＝ax(a>0，a≠1)在区间[－1，1]上的最小值为，则实数a的值为(　　)
A.2 B.
C. D.
当a>1时，y＝ax在[－1，1]上单调递增，
此时f(x)min＝f(－1)＝a－1＝，解得a＝2，
当0所以实数a的值为2或，故选AD.
AD
4.(人教B必修二P13练习A T2改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
C
因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5>2.7，
故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1，即c>b>a.
考点聚焦突破
02
例1 (1)(多选)已知a>0，则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是(　　)
AD
当x＝1时，f(1)＝a－2a＝－a<0，排除B，C;
当a＝2时，f(x)＝2x－4，此时函数对应的图象可能为A;
当a＝时，f(x)＝－1，此时函数对应的图象可能为D.故选AD.
考点一　指数函数的图象及应用
(2)(2026·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个
交点，则a的取值范围是　　　　.
y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，保持x轴上及其上方的图象不变得到的.
当a>1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意;
当0综上可知，a的取值范围是.
感悟提升
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
训练1 (1)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　)
B
由题意得，f(x)的定义域为R，排除C，D;
当x≥－2时，f(x)＝，
因为0<<1，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A.故选B.
(2)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　 　)
A.a＝b B.0C.a由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数
y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，
由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故A正确;
作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，
则0ABC
作出直线y＝m，当0若3a＝6b＝m，则a当01，
则3a<3b<2b·3b＝6b，
故D错误.
角度1　比较大小
例2 (1)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
D
法一　因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，
所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1;
因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，
所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.
考点二　指数函数的性质及应用
法二　因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，
所以1.010.6>1.010.5，即b>a;
因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，
即a>c.综上，b>a>c.故选D.
(2)(2026·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝，c＝，则(　　)
A.cC.cD
a＝1.30.6>1.30＝1，b＝，c＝，
因为指数函数y＝是减函数，
所以<<＝1，
所以b角度2　解指数方程或不等式
例3 不等式22x－3>的解集是　　　　　　.
(－2，＋∞)
由题意知，22x－3>＝2－7，
由指数函数y＝2x在R上单调递增，
得2x－3>－7，解得x>－2，
即原不等式的解集为(－2，＋∞).
角度3　指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝2x＋a·是定义在R上的偶函数.
(1)求a的值，并证明函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增;
因为函数f(x)在R上为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，得2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x，
即(1－a)(2x－2－x)＝0恒成立，即a＝1.所以f(x)＝2x＋2－x，
对任意的0≤x1＝()，
因为0≤x11，－1>0，
所以f(x1)(2)求函数h(x)＝f(x)＋f(2x)，x∈[0，1]的值域.
函数h(x)＝f(x)＋f(2x)＝2x＋2－x＋＋2－2x＝(2x＋2－x)2＋(2x＋2－x)－2.
令t＝2x＋2－x＝2x＋，因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]，
所以t∈，令φ(t)＝t2＋t－2，
故函数φ(t)在上单调递增，当t＝2时，h(x)min＝φ(2)＝4;
当t＝时，h(x)max＝φ.
则函数h(x)的值域为.
感悟提升
1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2.指数方程(或不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
训练2 (1)已知实数a，b，c满足a＝，be＝，则(　　)
A.bC.cB
由y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
可知＝1>b＝>＝a，
c＝lo＝log23>log22＝1，
所以c>1>b>a.
(2)(多选)(2026·广州模拟)已知函数y＝，则下列说法正确的是(　 　)
A.定义域为R B.值域为(0，2]
C.在[－2，＋∞)上单调递增 D.在[－2，＋∞)上单调递减
函数y＝的定义域为R，A正确;
∵x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1，
∴0<≤2，
ABD
故函数y＝的值域为(0，2]，B正确;
∵y＝在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是减函数，
在[－2，＋∞)上是增函数，
∴函数y＝在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确.
(3)已知函数f(x)＝2|x|，则f(2x＋1)>f(4)的解集为　　　　　　　　　　　　.
∪
由函数f(x)＝2|x|，可得其定义域为R，且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，
所以f(x)＝2|x|为偶函数，
当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x，且在[0，＋∞)上单调递增，
根据偶函数的性质，不等式f(2x＋1)>f(4)，
即为f(|2x＋1|)>f(4)，可得|2x＋1|>4，所以2x＋1<－4或2x＋1>4，
解得x<－或x>，所以f(2x＋1)>f(4)的解集为∪.
课时对点精练
03
一、单选题
1.函数f(x)＝的图象大致为(　　)
B
作出函数y＝的图象，如图所示，
将y＝的图象向左平移1个单位得到f(x)＝
的图象.
2.若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.cC.aC
指数函数y＝为减函数，所以>，即b>c.
幂函数y＝在区间(0，＋∞)上为增函数，
所以<，
即a3.(2026·西安调研)已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
A
函数f(x)＝的定义域为R，
令u＝x2－3x＋1，y＝3u.
因为y＝3u在R上单调递增，
u＝x2－3x＋1的单调递增区间为，
所以f(x)的单调递增区间为.
4.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0，1)，因为a>1，
所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，
所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示.
故函数f(x)的图象不经过第二象限.
5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝，则对任意实数x，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数，且在R上单调递增
C.f(x)是奇函数，且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数，且在R上单调递减
B
f(x)的定义域为R，f(x)＝，
则f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数.
由于f(x)＝，函数y＝ex＋1单调递增，
故f(x)在R上单调递增.故选B.
6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞，0]满足x2－3x＋a<0(a∈R)，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－1，＋∞)
A
因为存在x∈(－∞，0]，满足x2－3x＋a<0(a∈R)，
即存在x∈(－∞，0]，满足a<－x2＋3x，亦即a<(－x2＋3x)max.
令f(x)＝－x2＋3x，x∈(－∞，0]，
因为y＝－x2与y＝3x在(－∞，0]上均单调递增，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)max＝f(0)＝1，
所以a<1，即a的取值范围是(－∞，1).故选A.
7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
B
设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，
令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝，此时x>y>z，A有可能;
令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能;
令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，
此时y>z>x，D有可能.故选B.
8.已知实数a，b满足等式2 026a＝2 027b，下列等式可以成立的是(　 　)
A.a＝b＝0 B.aC.0ABD
如图，观察易知，a二、多选题
9.(2026·江西适应性联考)设函数f(x)＝ex－e－x－2x，x∈R，则下列说法正确的是(　 　)
A.f(x)是奇函数 B.f(x)在R上是单调函数
C.f(x)的最小值为1 D.当x>0时，f(x)>0
ABD
f(－x)＝e－x－ex＋2x＝－(ex－e－x－2x)＝－f(x)，x∈R，
所以f(x)是奇函数，A正确;
对f(x)求导得f'(x)＝ex＋e－x－2，
因为ex＋e－x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，
所以f'(x)≥0，则f(x)在R上是单调函数，B正确;
由B的分析知f(x)是增函数，故f(x)没有最小值，C错误;
因为f(x)是增函数，且f(0)＝0，所以当x>0时，f(x)>0，D正确.
10.不等式<的解集为　　　　　　　.
函数y＝2x在R上单调递增，
则 <，得<2－3(x－1)，得x2－2x－3<－3(x－1)，
即x2＋x－6<0， 解得－3所以原不等式的解集为(－3，2).
三、填空题
(－3，2)
11.已知函数f(x)＝|2x－1－2|＋m有两个零点，则m的取值范围是　　　　　　.
(－2，0)
令f(x)＝|2x－1－2|＋m＝0，
得|2x－1－2|＝－m，
因为f(x)有两个零点，
所以函数y＝|2x－1－2|的图象与直线y＝－m有两个交点，
画出函数y＝|2x－1－2|的图象，如图所示，
由图可知0<－m<2，即－212.已知0≤x≤2，则函数y＝－3×2x＋5的最大值为　　　　.
设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4，
y＝－3×2x＋5＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，
故当t＝1，即x＝0时，函数有最大值.
13.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a>0，且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值;
∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
四、解答题
由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，
∵f(1)<0，即a－<0，又a>0，且a≠1，∴0而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2∴实数m的取值范围是(－2，1).
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.
14.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值.
令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1，1]，
所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3或a＝－5(舍去);
当0所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝－2＝14，
解得a＝或a＝－(舍去).
综上，a＝3或a＝.

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