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第10节　对数函数
课标要求　1.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 2.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
1.对数函数及其性质
(1)概念:函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域:(0，＋∞)
值域:R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0; 当01时，y<0; 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，.
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)
(2)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)
(3)当x>1时，若logax>logbx，则a(4)函数y＝log2x与y＝lo的图象重合.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)形如y＝logax(a>0，且a≠1)为对数函数，故(1)错误.
(3)若01时，logax>logbx，故(3)错误.
2.(苏教必修一P158T6改编)若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　)
A.[0，1] B.(0，1)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
答案　A
解析　根据复合函数单调性的同增异减原则可知f(x)在[0，1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，
则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0，1].
3.(人教B必修二P27例2改编)已知log0.7(2m)答案　(1，＋∞)
解析　因为y＝log0.7x的定义域为(0，＋∞)，且是减函数，故2m>m－1>0，解得m>1.
4.(人教A必修一P141T13(1)改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则a，b，c的大小关系为　　　　.
答案　a>b>c
解析　法一　如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，
由图可知，当x＝6时，log0.26>log0.36>log0.46，
即a>b>c.
法二　易知0>log60.4>log60.3>log60.2，
所以<<，
即log0.46即a>b>c.
考点一　对数函数的图象及应用
例1 (1)(2026·重庆模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)由lg a＋lg b＝0可知＝b，
故f(x)＝a－x＝bx，故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同，故选B.
(2)若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，
由图象知解得0感悟提升　对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
训练1 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A.0C.0(2)已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0答案　(1)A　(2)4
解析　(1)由函数图象可知f(x)为增函数，
故a>1.
函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，
由函数图象可知－1解得综上，0<(2)f(x)＝|log2x|，
作出f(x)的图象如图所示，
又f(a)＝f(b)且0∴01且ab＝1，∴a2由图象知，在区间[a2，b]中，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，
∴a＝，∴b＝2，∴＋b＝4.
考点二　对数函数的性质及应用
角度1　比较大小
例2 (1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，则(　　)
A.a＝bC.a＝c>b D.a>c>b
(2)(2026·南昌模拟)已知a＝log25，b＝log52，c＝，则(　　)
A.cC.a答案　(1)C　(2)D
解析　(1)因为a＝log23＝lo32＝log49＝c，
又因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，6<9，
所以log46b.
(2)因为a＝log25>log24＝2，
b＝log52所以b角度2　解对数方程或不等式
例3 已知log0.3(3x)A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，log0.3(3x)所以
解得x>，即x的取值范围是.
角度3　对数函数性质的综合应用
例4 (多选)(2026·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)在区间(0，2)上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x＝2对称
D.f(x)的图象关于点(2，0)对称
答案　BC
解析　函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)
＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0当x＝2时，4x－x2取到最大值4，
故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，A错误;
f(x)＝log2(4x－x2)(0而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，B正确;
因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确;
因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误.
感悟提升　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题:一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
训练2 (1)(2026·宜昌调研)已知a＝log3，b＝lo3，c＝，则(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
(2)已知函数f(x)＝log2(－x2＋ax＋15)在上为单调函数，则a的取值范围为　　　　.
(3)函数y＝log3x·log33x，x∈的值域为　　　　.
答案　(1)C　(2)∪[8，＋∞)　
(3)
解析　(1)由a＝log3b＝log3＝＝2log23＝log29>log28＝3，
c＝>20＝1，c＝<21＝2，
所以满足b>c>a，故选C.
(2)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数h(x)＝－x2＋ax＋15在上为单调函数.
若h(x)在上单调递增，
则
解得a≥8;
若h(x)在上单调递减，
则
解得综上，a的取值范围为∪[8，＋∞).
(3)y＝log3x·log33x＝log3x·(1＋log3x)，
令t＝log3x，∵x∈，∴t∈[－1，2]，
则y＝t(1＋t)＝，t∈[－1，2]，
当t＝－时，ymin＝－，当t＝2时，ymax＝6，
故该函数的值域为.
指、对、幂的大小比较
指、对、幂比较大小的方法主要有:
(1)求同存异法
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
(2)中间量法
在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22(3)构造函数法
如果要比较大小的数或式子，或题目中所给的条件具有相同的结构特征，则可根据这种结构特征构造函数，然后利用该函数的单调性或其它性质比较大小.
一、求同存异法
例1 (1)设a＝0.60.3，b＝0.30.3，c＝0.30.6，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.bC.a(2)若a＝log37，b＝log940，c＝，则(　　)
A.cC.a答案　(1)D　(2)D
解析　(1)因为指数函数y＝0.3x在R上为单调递减函数，
所以0.30.3>0.30.6，即b>c，
又幂函数y＝x0.3在[0，＋∞)上为增函数，
所以0.60.3>0.30.3，即a>b，所以a>b>c.
(2)依题意，a＝log37＝log949，故a>b;
而a二、中间量法
例2 (1)设a＝20.7，b＝，c＝log2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.b(2)(2026·苏州部分学校联考)已知a＝log32，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.a答案　(1)D　(2)A
解析　(1)由题意知，a＝20.7>20＝1，
b＝＝3－0.7<30＝1，
又b>0，所以0所以c(2)易知0＝1，
因为3a＝3log32＝log38log416＝2，
所以3a<3b，所以a三、构造函数法
例3 (2026·四川阶段检测)已知a－＝0，b＝，c＝aa，则(　　)
A.aC.b答案　C
解析　令f(x)＝x－，易知f(x)在R上单调递增.
由f(1)>0，f<0，得 x∈，
使得f(x)＝0，故a∈.
因为b＝，a＝，且a<，所以由指数函数y＝在R上单调递减，
可得a>b，又由指数函数y＝ax在R上单调递减，可得aa>a1，所以c＝aa>a，故b训练 (1)(2026·杭州段测)已知a＝40.6，b＝21.3，c＝，则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.b>a>c
(2)设a＝log2π，b＝loπ，c＝π－2，则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
(3)(多选)(2026·武汉模拟)若3x＋5－y<3y＋5－x，则下列关系正确的是(　　)
A.xC.ln x>ln y D.2－x>
答案　(1)D　(2)C　(3)ABD
解析　(1)a＝40.6＝21.2，b＝21.3，c＝＝20.5，
由于y＝2x是增函数，故21.3>21.2>20.5，
即b>a>c.
(2)依题意，a＝log2π>log22＝1，b＝loπc>b.
(3)对于A，因为3x＋5－y<3y＋5－x，
所以3x－5－x<3y－5－y，
令f(x)＝3x－5－x，易得f(x)为增函数，
又f(x)对于B，因为x对于C，令x＝－2，y＝－1，则满足x但ln x，ln y无意义，故C错误;
对于D，因为x，故D正确.
一、单选题
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(－∞，2] B.(1，＋∞)
C.(1，2] D.[2，＋∞)
答案　C
解析　依题意lo(x－1)≥0，
∴02.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A.log2x B.
C.lox D.2x－2
答案　A
解析　函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝loga2＝1，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x.故选A.
3.已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则(　　)
A.bC.a答案　A
解析　a＝log43log44＝1，
＝log340，b>0，
所以b4.函数y＝lo(|x|－1)的图象可以是(　　)
答案　D
解析　令f(x)＝lo(|x|－1)，由|x|－1>0，得|x|>1，得x>1或x<－1，
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故可以排除AB选项，
令x＝4，得f(4)＝lo(|4|－1)＝lo3<0，故C错误，D正确.
5.函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.(0，1)
C. D.
答案　D
解析　设u＝3－ax，因为a>0，且a≠1，
所以函数u＝3－ax为减函数，
所以函数y＝logau为增函数，所以a>1，
且对任意的x∈(1，2)，3－ax>0恒成立，
即a<恒成立，则a≤，
所以16.当00，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意可得当0因为y＝上单调递增，
所以
即
所以≤a<1.
7.(2026·沧州模拟)已知a>0，且f(x)＝ln为奇函数，则(　　)
A.f>f>0 B.f>f>0
C.f>0>f D.f>0>f
答案　A
解析　因为f(x)的定义域为，f(x)为奇函数，所以a＝3，
则f(x)＝ln＝ln，
由于y＝1－3x为减函数且值恒为正数，
则为单调递增函数，
因此f(x)为增函数.
因为a＝3>0，所以0<2a<3a，
所以0<<，
故f>f>f(0)＝0.
二、多选题
8.(2026·合肥调研)若函数f(x)＝lg＋lg(2x2)，则(　　)
A.f(x)为减函数 B.f(x)＝1 x＝5
C.f(x)的值域为R D.f(x)<2 x<50
答案　BC
解析　因为f(x)＝lg＋lg(2x2)
＝lg＝lg(2x)＝lg 2＋lg x，x>0，
所以f(x)为增函数，f(x)的值域为R，故A错误，选项C正确;
f(x)＝1 lg(2x)＝1 2x＝10 x＝5，故B正确;
f(x)<2 lg(2x)<2 0<2x<100 09.已知函数y＝logax与y＝logb(－x)的图象关于坐标原点对称，则函数y＝ax与y＝logbx的大致图象可能是(　　)
答案　AC
解析　在函数y＝logax的图象上任取点(x，y)，
则点(－x，－y)在y＝logb(－x)的图象上，
即于是logbx＝－logax＝lox对任意x>0成立，则b＝，
当01，
则y＝logbx是(0，＋∞)上的增函数，
C符合，D不符合;
当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，
0则y＝logbx是(0，＋∞)上的减函数，A符合，B不符合.
三、填空题
10.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝　　　　.
答案　4
解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2，
所以f(x)的定义域为{x|x>4，或x<－2}.
又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
而y＝lg μ在定义域上单调递增，
所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4.
11.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为　　　　.
答案　－
解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝≥－，
当log2x＝－，即x＝时等号成立，
所以函数f(x)的最小值为－.
12.已知函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]，则m的取值范围是　　　　.
答案　[1，32]
解析　因为f(1)＝0，
f(32)＝f＝5，
作出函数f(x)的大致图象，如图所示，
而函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]，
所以结合函数f(x) 的图象，可得m的取值范围是[1，32].
四、解答题
13.已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1).
(1)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由;
(2)求使f(x)－g(x)>0成立的x的集合.
解　(1)依题意，h(x)＝f(x)－g(x)
＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
由得－1即函数h(x)的定义域为{x|－1h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－h(x)，则函数h(x)是奇函数，
所以函数f(x)－g(x)是奇函数.
(2)由f(x)－g(x)>0，
得loga(x＋1)>loga(1－x)，
当0当a>1时，解得0所以00成立的x的集合为{x|－1a>1时，使f(x)－g(x)>0成立的x的集合为{x|014.已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1).
(1)当a＝时，求函数f(x)的定义域;
(2)当a＝2时，若不等式f(x)－log2(1＋2x)>m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围.
解　(1)当a＝时，
此时f(x)＝lo，而不等式－1>0等价于2x<1，
得x<0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0).
(2)当a＝2时，此时f(x)＝log2(2x－1)，
设g(x)＝f(x)－log2(1＋2x)＝log2，
不等式log2(2x－1)－log2(1＋2x)>m对任意x∈[1，3]成立.
所以m设t＝＝1－，x∈[1，3]，
故2x＋1∈[3，9]，t＝1－∈，
故g(x)min＝log2，
所以m故实数m的取值范围是(－∞，－log23).(共60张PPT)
数学
高考总
复
习
第二章　函数
第10节　对数函数
1.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
2.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.对数函数及其性质
(1)概念:函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
a>1 0性质 定义域:______________
值域:____
当x＝1时，y＝0，即过定点_________
当x>1时，y>0; 当01时，y<0;
当00
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)
R
(1，0)
增函数
减函数
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________ (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称.它们的定义域和值域正好互换.
y＝logax
y＝x
常用结论与微点提醒
1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，.
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
(1)形如y＝logax(a>0，且a≠1)为对数函数，故(1)错误.
(3)若01时，logax>logbx，故(3)错误.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)
(2)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)
(3)当x>1时，若logax>logbx，则a(4)函数y＝log2x与y＝lo的图象重合.(　　)
×
√
2.(苏教必修一P158T6改编)若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　)
A.[0，1] B.(0，1)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
根据复合函数单调性的同增异减原则可知f(x)在[0，1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，
则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0，1].
A
3.(人教B必修二P27例2改编)已知log0.7(2m)因为y＝log0.7x的定义域为(0，＋∞)，且是减函数，故2m>m－1>0，解得m>1.
(1，＋∞)
4.(人教A必修一P141T13(1)改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则a，b，c的大小关系为　　　　.
a>b>c
法一　如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，
由图可知，当x＝6时，log0.26>log0.36>log0.46，
即a>b>c.
法二　易知0>log60.4>log60.3>log60.2，
所以<<，
即log0.46即a>b>c.
考点聚焦突破
02
例1 (1)(2026·重庆模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
B
由lg a＋lg b＝0可知＝b，
故f(x)＝a－x＝bx，故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同，
故选B.
考点一　对数函数的图象及应用
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为　　　　　　.
若方程4x＝logax在上有解，
则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，
由图象知解得0感悟提升
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
训练1 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A.0C.0A
由函数图象可知f(x)为增函数，故a>1.
函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，
由函数图象可知－1解得(2)已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0f(x)＝|log2x|，
作出f(x)的图象如图所示，
又f(a)＝f(b)且0∴01且ab＝1，∴a2由图象知，在区间[a2，b]中，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，
∴a＝，∴b＝2，∴＋b＝4.
4
角度1　比较大小
例2 (1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，则(　　)
A.a＝bC.a＝c>b D.a>c>b
C
因为a＝log23＝lo32＝log49＝c，
又因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，6<9，
所以log46b.
考点二　对数函数的性质及应用
(2)(2026·南昌模拟)已知a＝log25，b＝log52，c＝，则(　　)
A.cC.aD
因为a＝log25>log24＝2，
b＝log52所以b角度2　解对数方程或不等式
例3 已知log0.3(3x)A. B.
C. D.
A
因为y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，log0.3(3x)所以
解得x>，即x的取值范围是.
角度3　对数函数性质的综合应用
例4 (多选)(2026·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0，2)上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称
BC
函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)
＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0当x＝2时，4x－x2取到最大值4，
故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，A错误;
f(x)＝log2(4x－x2)(0而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，B正确;
因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确;
因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误.
感悟提升
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题:一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
训练2 (1)(2026·宜昌调研)已知a＝log3，b＝lo3，c＝，则(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
C
由a＝log3b＝log3＝＝2log23＝log29>log28＝3，
c＝>20＝1，c＝<21＝2，
所以满足b>c>a，故选C.
(2)已知函数f(x)＝log2(－x2＋ax＋15)在上为单调函数，则a的取值范围
为　　　　　　　　　　.
因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数h(x)＝－x2＋ax＋15在上为单调函数.
若h(x)在上单调递增，
则
∪[8，＋∞)　
解得a≥8;
若h(x)在上单调递减，
则
解得综上，a的取值范围为∪[8，＋∞).
(3)函数y＝log3x·log33x，x∈的值域为　　　　　　　　.
y＝log3x·log33x＝log3x·(1＋log3x)，
令t＝log3x，∵x∈，∴t∈[－1，2]，
则y＝t(1＋t)＝，t∈[－1，2]，
当t＝－时，ymin＝－，当t＝2时，ymax＝6，
故该函数的值域为.
指、对、幂比较大小的方法主要有:
(1)求同存异法
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
(2)中间量法
在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22指、对、幂的大小比较 微点突破
(3)构造函数法
如果要比较大小的数或式子，或题目中所给的条件具有相同的结构特征，则可根据这种结构特征构造函数，然后利用该函数的单调性或其它性质比较大小.
一、求同存异法
例1 (1)设a＝0.60.3，b＝0.30.3，c＝0.30.6，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.bC.aD
因为指数函数y＝0.3x在R上为单调递减函数，
所以0.30.3>0.30.6，即b>c，
又幂函数y＝x0.3在[0，＋∞)上为增函数，
所以0.60.3>0.30.3，即a>b，所以a>b>c.
(2)若a＝log37，b＝log940，c＝，则(　　)
A.cC.aD
依题意，a＝log37＝log949，故a>b;
而a二、中间量法
例2 (1)设a＝20.7，b＝，c＝log2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.bD
由题意知，a＝20.7>20＝1，
b＝＝3－0.7<30＝1，
又b>0，所以0所以c(2)(2026·苏州部分学校联考)已知a＝log32，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.aA
易知0＝1，
因为3a＝3log32＝log38log416＝2，
所以3a<3b，所以a三、构造函数法
例3 (2026·四川阶段检测)已知a－＝0，b＝，c＝aa，则(　　)
A.aC.bC
令f(x)＝x－，易知f(x)在R上单调递增.
由f(1)>0，f<0，得 x∈，
使得f(x)＝0，故a∈.
因为b＝，a＝，且a<，所以由指数函数y＝在R上单调递减，
可得a>b，又由指数函数y＝ax在R上单调递减，可得aa>a1，所以c＝aa>a，故b训练 (1)(2026·杭州段测)已知a＝40.6，b＝21.3，c＝，则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.b>a>c
D
a＝40.6＝21.2，b＝21.3，c＝＝20.5，
由于y＝2x是增函数，故21.3>21.2>20.5，
即b>a>c.
(2)设a＝log2π，b＝loπ，c＝π－2，则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
C
依题意，a＝log2π>log22＝1，b＝loπc>b.
(3)(多选)(2026·武汉模拟)若3x＋5－y<3y＋5－x，则下列关系正确的是(　 　)
A.xC.ln x>ln y D.2－x>
ABD
对于A，因为3x＋5－y<3y＋5－x，所以3x－5－x<3y－5－y，
令f(x)＝3x－5－x，易得f(x)为增函数，又f(x)对于B，因为x对于C，令x＝－2，y＝－1，则满足x对于D，因为x，故D正确.
课时对点精练
03
一、单选题
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(－∞，2] B.(1，＋∞)
C.(1，2] D.[2，＋∞)
C
依题意lo(x－1)≥0，
∴02.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A.log2x B.
C.lox D.2x－2
A
函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝loga2＝1，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x.故选A.
3.已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则(　　)
A.bC.aA
a＝log43log44＝1，
＝log340，b>0，
所以b4.函数y＝lo(|x|－1)的图象可以是(　　)
D
令f(x)＝lo(|x|－1)，由|x|－1>0，得|x|>1，得x>1或x<－1，
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故可以排除AB选项，
令x＝4，得f(4)＝lo(|4|－1)＝lo3<0，故C错误，D正确.
5.函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.(0，1)
C. D.
D
设u＝3－ax，因为a>0，且a≠1，
所以函数u＝3－ax为减函数，
所以函数y＝logau为增函数，所以a>1，
且对任意的x∈(1，2)，3－ax>0恒成立，
即a<恒成立，则a≤，所以16.当00，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
B
由题意可得当0因为y＝上单调递增，
所以
即
所以≤a<1.
7.(2026·沧州模拟)已知a>0，且f(x)＝ln为奇函数，则(　　)
A.f>f>0 B.f>f>0
C.f>0>f D.f>0>f
A
因为f(x)的定义域为，f(x)为奇函数，所以a＝3，
则f(x)＝ln＝ln，
由于y＝1－3x为减函数且值恒为正数，
则为单调递增函数，因此f(x)为增函数.
因为a＝3>0，所以0<2a<3a，所以0<<，故f>f>f(0)＝0.
8.(2026·合肥调研)若函数f(x)＝lg＋lg(2x2)，则(　　)
A.f(x)为减函数 B.f(x)＝1 x＝5
C.f(x)的值域为R D.f(x)<2 x<50
BC
因为f(x)＝lg＋lg(2x2)＝lg＝lg(2x)＝lg 2＋lg x，x>0，
所以f(x)为增函数，f(x)的值域为R，故A错误，选项C正确;
f(x)＝1 lg(2x)＝1 2x＝10 x＝5，故B正确;
f(x)<2 lg(2x)<2 0<2x<100 0二、多选题
9.已知函数y＝logax与y＝logb(－x)的图象关于坐标原点对称，则函数y＝ax与y＝logbx的大致图象可能是(　　)
AC
在函数y＝logax的图象上任取点(x，y)，
则点(－x，－y)在y＝logb(－x)的图象上，
即于是logbx＝－logax＝lox对任意x>0成立，则b＝，
当01，
则y＝logbx是(0，＋∞)上的增函数，
C符合，D不符合;
当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，
0则y＝logbx是(0，＋∞)上的减函数，A符合，B不符合.
10.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝　　　　.
由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2，
所以f(x)的定义域为{x|x>4，或x<－2}.
又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
而y＝lg μ在定义域上单调递增，
所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4.
三、填空题
4
11.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为　　　　.
－
依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝≥－，
当log2x＝－，即x＝时等号成立，
所以函数f(x)的最小值为－.
12.已知函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]，则m的取值范围是　　　　.
[1，32]
因为f(1)＝0，f(32)＝f＝5，
作出函数f(x)的大致图象，如图所示，
而函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]，
所以结合函数f(x) 的图象，可得m的取值范围是[1，32].
13.已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1).
(1)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由;
依题意，h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
由得－1即函数h(x)的定义域为{x|－1h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－h(x)，则函数h(x)是奇函数，
所以函数f(x)－g(x)是奇函数.
四、解答题
由f(x)－g(x)>0，
得loga(x＋1)>loga(1－x)，
当0当a>1时，解得0所以00成立的x的集合为{x|－1a>1时，使f(x)－g(x)>0成立的x的集合为{x|0(2)求使f(x)－g(x)>0成立的x的集合.
14.已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1).
(1)当a＝时，求函数f(x)的定义域;
当a＝时，
此时f(x)＝lo，而不等式－1>0等价于2x<1，
得x<0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0).
(2)当a＝2时，若不等式f(x)－log2(1＋2x)>m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围.
当a＝2时，此时f(x)＝log2(2x－1)，
设g(x)＝f(x)－log2(1＋2x)＝log2，
不等式log2(2x－1)－log2(1＋2x)>m对任意x∈[1，3]成立.
所以m设t＝＝1－，x∈[1，3]，
故2x＋1∈[3，9]，t＝1－∈，
故g(x)min＝log2，
所以m故实数m的取值范围是(－∞，－log23).

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