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第11节　函数的图象
课标要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.会画简单的函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式问题.
1.利用描点法作函数的图象
步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象;
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象;
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象;
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象
y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)
y＝f(ax);
y＝f(x)
y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象
y＝|f(x)|的图象;
y＝f(x)的图象
y＝f(|x|)的图象.
1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　)
(3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　)
(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.
(2)y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]，所以可由y＝f(－x)向右平移1个单位长度得到，(2)错误.
(3)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到，两图象不同，(3)错误.
(4)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(4)错误.
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.函数y＝的图象大致为(　　)
答案　C
解析　法一　当0当0所以y＝单调递减，故A不正确，故选C.
法二　函数y＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}.y'＝，
所以当x<－1或－10，
函数y＝在(－∞，－1)和(－1，0)上均单调递增;
当01时，y'<0，函数y＝在(0，1)和(1，＋∞)上均单调递减.故选C.
3.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案　C
解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，
得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，
故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.
4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝　　　　.
答案　e－x＋1
解析　由题意得f(x)＝e－x，
∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.
考点一　作函数的图象
例1 作出下列各函数的图象:
(1)y＝;
(2)y＝|x2－4x－5|;
(3)y＝－1.
解　 (1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图1所示.
图1
(2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图2所示.
图2
(3)y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到.
而y＝
其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象，
然后将该部分关于y轴对称得到，
则y＝－1的图象如图3所示.
图3
感悟提升　函数图象的常见作法及注意事项
(1)直接法:对于基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.
(2)转化法:含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画.
(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平衡、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图.
(4)作函数的图象一定要注意定义域.
训练1 作出下列各函数的图象:
(1)y＝x2－2|x|－3;
(2)y＝|log2(x＋1)|.
解　(1)y＝x2－2|x|－3＝其图象如图1所示.
图1　　　　　　　　　　图2
(2)y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图2所示.
考点二　函数图象的识别
例2 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　)
(2)(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C;
f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋>0，排除D.
(2)由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(x)为偶函数，易得f(x)＝与f(x)＝均为奇函数，排除A，B;
由题图可知当x>1时，f(x)>0，易得当x>1时，f(x)＝<0，f(x)＝>0，排除C，故选D.
感悟提升　1.抓住函数的性质，定性分析:
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置;从函数的值域，判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势;(3)从周期性，判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算:寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
训练2 (1)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)∵f(－x)＝
＝－f(x)，且x∈[－π，π]，
∴f(x)为奇函数，排除A.
当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C，只有D满足.
(2)对于B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B;对于D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，故排除D;
对于C，当0故y＝<≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.
考点三　函数图象的应用
角度1　图象法解方程或不等式
例3 已知函数f(x)＝log2x－x＋1，则不等式f(x)<0的解集是(　　)
A.(0，1) B.(0，2)
C.(1，2) D.(0，1)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　f(x)＝log2x－x＋1的定义域为(0，＋∞)，
f(1)＝log21－1＋1＝0，
f(2)＝log22－2＋1＝0，
由f(x)<0可得log2x即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方，
画出y＝log2x，y＝x－1的图象，如图，
由图可知，不等式f(x)<0的解集是(0，1)∪(2，＋∞).
角度2　图象法求参数范围
例4 若不等式(x－1)20且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，2] B.(1，2)
C.(1，] D.(，2)
答案　B
解析　若0而(x－1)2>0，故(x－1)2若a>1，此时x∈(1，2]，logax>0，而(x－1)2>0，
令f(x)＝logax，
g(x)＝(x－1)2，
画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，
若不等式(x－1)2则loga2>1，解得a∈(1，2).
感悟提升　1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.
2.利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题.
训练3 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为　　　　.
(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(1)(－∞，－3)∪(－3，0)　
(2)[－1，＋∞)
解析　(1)依题意知，f(0)＝0，
当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，
即－f(x)>2f(x)，得f(x)<0，
由f(3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，
由此画出f(x)的大致图象如图所示，
由图可知，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(－3，0).
(2)如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知:当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).
一、单选题
1.(2026·北京海淀区质检)要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝的图象(　　)
A.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案　A
解析　y＝＝1＋，故将y＝的图象先向右平移1个单位长度，
再向上平移1个单位长度得到y＝的图象.
2.(2026·湖南长沙雅礼中学测试)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　)
答案　A
解析　因为f(x)＝，
所以f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，排除选项C，D;
又当x∈时，f(x)>0，所以排除B.
故选A.
3.(2026·潍坊模拟)已知a>0且a≠1，ay与x成正比例关系，其图象如图所示，且y＝logax＋1，则a＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　因为ay与x成正比例关系，
所以可设ay＝kx，k≠0，
由题图知x＝1时，ay＝2，
故2＝k·1，则k＝2.
由ay＝2x，变形可得y＝loga(2x)＝logax＋loga2，
又y＝logax＋1，所以loga2＝1，则a＝2.故选B.
4.(2026·四川成都石室中学调考)若函数y＝f(x)的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是(　　)
A.y＝f(1－2x) B.y＝f
C.y＝－f(1－2x) D.y＝－f
答案　A
解析　由y＝f(x)的定义域为(－1，＋∞)知，y＝f中，1－x>－1，则x<4，不符合图2，故排除B，D;
对于C，当x＝时，y＝－f(0)>0，不满足图2，故C错误;
将函数y＝f(x)的图象关于y轴对称变换，得到y＝f(－x)的图象，向右平移1个单位长度得到y＝f(1－x)的图象，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数y＝f(1－2x)的图象可能为图2.故选A.
5.(2026·福州质检)已知函数f(x)＝
则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)
答案　D
解析　法一　先画出函数f(x)＝
的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，
得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D.
法二　由已知函数f(x)的解析式，
得y＝f(1－x)＝
故该函数过点(0，3)，排除A;
过点(1，1)，排除B;
在(－∞，0)上单调递增，排除C.
6.(2026·海南质检)函数y＝f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A.a>0，b>0，c>0 B.a<0，b>0，c>0
C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
答案　C
解析　f(x)的定义域为{x|x≠－c}，结合函数图象可知－c>0，
则c<0，又f(0)>0，即>0，所以b>0.
由f(x)＝0得ax＋b＝0，即x＝－.
由图象可知x＝－>0，所以a<0.故选C.
7.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式(x2－2)·f(x)>0的解集为(　　)
A.(－，0)∪(，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D.(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
答案　C
解析　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，
由(x2－2)f(x)>0，
得
解得x<－2或－故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2).
8.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，则实数m的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，
f(x)＝x(2－x)，
所以当x∈(2，4]时，f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x)，
当x∈(4，6]时，f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x)，
函数部分图象如图所示，
由4(x－4)(6－x)＝3，
得4x2－40x＋99＝0，
解得x＝或x＝，
因为对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，
所以由图可知m≤.
二、多选题
9.(2026·浙江名校协作体调考)为得到函数y＝ln(ex)的图象，可将函数y＝ln x的图象(　　)
A.向上平移一个单位长度
B.向下平移一个单位长度
C.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍
D.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍
答案　AD
解析　由题意可得，函数y＝ln x的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得到函数y＝ln(ex)的图象，故C错误，D正确.
∵y＝ln(ex)＝ln x＋1，
∴将函数y＝ln x的图象向上平移一个单位长度可得到函数y＝ln(ex)的图象，故A正确，B错误.
10.设函数f(x)＝ln x，则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象与函数y＝ln(－x)的图象关于x轴对称
B.函数f(|x|)的图象关于y轴对称
C.函数|f(x＋1)|的图象在(0，＋∞)上单调递增
D.<|f(4)|
答案　BCD
解析　函数f(x)＝ln x的图象如图1所示，
对于A，由函数图象变换可知，y＝ln(－x)的图象如图2所示，函数图象与原函数图象关于y轴对称，故A错误;
对于B，由函数图象变换可知，f(|x|)的图象如图3所示，函数图象关于y轴对称，故B正确;
对于C，由函数图象变换可知，|f(x＋1)|的图象如图4所示，函数图象在(0，＋∞)上单调递增，故C正确;
对于D，即＝ln 3，
|f(4)|＝|ln 4|＝ln 4，
∵y＝ln x在定义域上单调递增，
∴ln 311.设函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1A.0C.x3＋x4>2 D.1答案　BCD
解析　
如图，作出函数f(x)的图象，
由题意，直线y＝a与f(x)的图象有4个交点，
由图象可知0且x1＋x2＝－4，－ln x3＝ln x4，故B正确;
所以ln(x3x4)＝0，即x3x4＝1，
又x3>0，x4>0，
且x3≠x4，则x3＋x4>2＝2，
故C正确;
当f(x4)＝f(0)＝2时，ln x4＝2，x4＝e2，
又x4>1，所以1三、填空题
12.已知函数f(x)＝|x2－1|，若0答案　(1，)
解析　作出函数f(x)＝|x2－1|在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，).
13.(2026·北京海淀区调研)已知函数f(x)＝则不等式f(2x－1)<2的解集是　　　　.
答案　
解析　作出函数f(x)的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)在R上单调递增，
因为f(4)＝log24＝2，所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)即2x－1<4，解得x<，
所以不等式f(2x－1)<2的解集是.
14.(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝　　　　;若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是　　　　.
答案　　3＋
解析　
由题意知f＝－＋2＝，
则f＝f－1＝－1＝.
作出函数f(x)的图象，如图所示，
结合图象，令－x2＋2＝1，
解得x＝±1;
令x＋－1＝3，解得x＝2±，
又x>1，所以x＝2＋，
所以(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋.(共57张PPT)
数学
高考总
复
习
第二章　函数
第11节　函数的图象
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式问题.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.利用描点法作函数的图象
步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
f(x) －k
(2)对称变换
y＝f(x)的图象 y＝____________的图象;
y＝f(x)的图象 y＝____________的图象;
y＝f(x)的图象 y＝__________的图象;
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 y＝_______ (a>0，且a≠1)的图象.
－f(x)
f(－x)
－f(－x)
logax
(3)伸缩变换
y＝f(x) y＝f(ax);
y＝f(x) y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象 y＝_______的图象;
y＝f(x)的图象 y＝________的图象.
|f(x)|
f(|x|)
常用结论与微点提醒
(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.
(2)y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]，所以可由y＝f(－x)向右平移1个单位长度得到，(2)错误.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　)
×
(3)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到，两图象不同，(3)错误.
(4)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(4)错误.
×
(3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　)
(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　)
×
2.函数y＝的图象大致为(　　)
法一　当0当0所以y＝单调递减，故A不正确，故选C.
C
法二　函数y＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}.y'＝，
所以当x<－1或－10，
函数y＝在(－∞，－1)和(－1，0)上均单调递增;
当01时，y'<0，函数y＝在(0，1)和(1，＋∞)上均单调递减.
故选C.
3.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，
得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，
函数f(x)的图象关于原点对称，
故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.
C
4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝　　　　.
e－x＋1
由题意得f(x)＝e－x，
∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.
考点聚焦突破
02
例1 作出下列各函数的图象:
(1)y＝;
考点一　作函数的图象
原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图1所示.
图1
(2)y＝|x2－4x－5|;
y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图2所示.
图2
(3)y＝－1.
y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到.
而y＝
其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象，
然后将该部分关于y轴对称得到，
则y＝－1的图象如图3所示.
图3
感悟提升
函数图象的常见作法及注意事项
(1)直接法:对于基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.
(2)转化法:含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画.
(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平衡、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图.
(4)作函数的图象一定要注意定义域.
训练1 作出下列各函数的图象:
(1)y＝x2－2|x|－3;
y＝x2－2|x|－3＝其图象如图1所示.
图1　　　　　　　　　 　图2
(2)y＝|log2(x＋1)|.
y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图2所示.
例2 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　)
B
由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C;
f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋>0，排除D.
考点二　函数图象的识别
(2)(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
D
由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(x)为偶函数，易得f(x)＝与f(x)＝均为奇函数，排除A，B;
由题图可知当x>1时，f(x)>0，易得当x>1时，f(x)＝<0，f(x)＝>0，排除C，故选D.
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
感悟提升
1.抓住函数的性质，定性分析:
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置;从函数的值域，判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势;(3)从周期性，判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算:寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
训练2 (1)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
D
∵f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－π，π]，∴f(x)为奇函数，排除A.
当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C，只有D满足.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
对于B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B;对于D，
当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，故排除D;
对于C，当0故y＝<≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.
A
角度1　图象法解方程或不等式
例3 已知函数f(x)＝log2x－x＋1，则不等式f(x)<0的解集是(　　)
A.(0，1) B.(0，2)
C.(1，2) D.(0，1)∪(2，＋∞)
D
f(x)＝log2x－x＋1的定义域为(0，＋∞)，
f(1)＝log21－1＋1＝0，
f(2)＝log22－2＋1＝0，
由f(x)<0可得log2x考点三　函数图象的应用
即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方，
画出y＝log2x，y＝x－1的图象，如图，
由图可知，不等式f(x)<0的解集是(0，1)∪(2，＋∞).
角度2　图象法求参数范围
例4 若不等式(x－1)20且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，2] B.(1，2)
C.(1，] D.(，2)
B
若0而(x－1)2>0，故(x－1)2若a>1，此时x∈(1，2]，logax>0，而(x－1)2>0，
令f(x)＝logax，
g(x)＝(x－1)2，
画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，
若不等式(x－1)2则loga2>1，解得a∈(1，2).
感悟提升
1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.
2.利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题.
训练3 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为　　　　　　　　　　　　.
(－∞，－3)∪(－3，0)
依题意知，f(0)＝0，
当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，
即－f(x)>2f(x)，得f(x)<0，
由f(3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，
由此画出f(x)的大致图象如图所示，
由图可知，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(－3，0).
(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　.
如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知:当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).
[－1，＋∞)
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2026·北京海淀区质检)要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝的图象(　　)
A.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
A
y＝＝1＋，故将y＝的图象先向右平移1个单位长度，
再向上平移1个单位长度得到y＝的图象.
2.(2026·湖南长沙雅礼中学测试)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　)
A
因为f(x)＝，
所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，排除选项C，D;
又当x∈时，f(x)>0，所以排除B.
故选A.
3.(2026·潍坊模拟)已知a>0且a≠1，ay与x成正比例关系，其图象如图所示，且y＝logax＋1，则a＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
B
因为ay与x成正比例关系，所以可设ay＝kx，k≠0，
由题图知x＝1时，ay＝2，
故2＝k·1，则k＝2.
由ay＝2x，变形可得y＝loga(2x)＝logax＋loga2，
又y＝logax＋1，所以loga2＝1，则a＝2.故选B.
4.(2026·四川成都石室中学调考)若函数y＝f(x)的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是(　　)
A.y＝f(1－2x)
B.y＝f
C.y＝－f(1－2x)
D.y＝－f
A
由y＝f(x)的定义域为(－1，＋∞)知，y＝f中，1－x>－1，则x<4，不符合图2，故排除B，D;
对于C，当x＝时，y＝－f(0)>0，不满足图2，故C错误;
将函数y＝f(x)的图象关于y轴对称变换，得到y＝f(－x)的图象，向右平移1个单位长度得到y＝f(1－x)的图象，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数y＝f(1－2x)的图象可能为图2.故选A.
5.(2026·福州质检)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)
D
法一　先画出函数f(x)＝
的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，
得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D.
法二　由已知函数f(x)的解析式，
得y＝f(1－x)＝
故该函数过点(0，3)，排除A;
过点(1，1)，排除B;
在(－∞，0)上单调递增，排除C.
6.(2026·海南质检)函数y＝f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A.a>0，b>0，c>0 B.a<0，b>0，c>0
C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
C
f(x)的定义域为{x|x≠－c}，结合函数图象可知－c>0，
则c<0，又f(0)>0，即>0，所以b>0.
由f(x)＝0得ax＋b＝0，即x＝－.
由图象可知x＝－>0，所以a<0.故选C.
7.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式(x2－2)·f(x)>0的解集为(　　)
A.(－，0)∪(，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D.(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
C
根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，
如图所示，
由(x2－2)f(x)>0，
得
解得x<－2或－故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2).
8.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，则实数m的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
C
因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，
f(x)＝x(2－x)，
所以当x∈(2，4]时，f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x)，
当x∈(4，6]时，f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x)，
函数部分图象如图所示，
由4(x－4)(6－x)＝3，
得4x2－40x＋99＝0，
解得x＝或x＝，
因为对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，
所以由图可知m≤.
二、多选题
9.(2026·浙江名校协作体调考)为得到函数y＝ln(ex)的图象，可将函数y＝ln x的图象(　　)
A.向上平移一个单位长度
B.向下平移一个单位长度
C.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍
D.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍
AD
由题意可得，函数y＝ln x的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得到函数y＝ln(ex)的图象，故C错误，D正确.
∵y＝ln(ex)＝ln x＋1，
∴将函数y＝ln x的图象向上平移一个单位长度可得到函数y＝ln(ex)的图象，故A正确，B错误.
10.设函数f(x)＝ln x，则下列说法正确的是(　 　)
A.函数f(x)的图象与函数y＝ln(－x)的图象关于x轴对称
B.函数f(|x|)的图象关于y轴对称
C.函数|f(x＋1)|的图象在(0，＋∞)上单调递增
D.<|f(4)|
函数f(x)＝ln x的图象如图1所示，
对于A，由函数图象变换可知，y＝ln(－x)的图象如图2所示，函数图象与原函数图象关于y轴对称，故A错误;
BCD
对于B，由函数图象变换可知，f(|x|)的图象如图3所示，函数图象关于y轴对称，故B正确;
对于C，由函数图象变换可知，|f(x＋1)|的图象如图4所示，
函数图象在(0，＋∞)上单调递增，故C正确;
对于D，即＝ln 3，|f(4)|＝|ln 4|＝ln 4，
∵y＝ln x在定义域上单调递增，∴ln 311.设函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1A.0C.x3＋x4>2 D.1BCD
如图，作出函数f(x)的图象，
由题意，直线y＝a与f(x)的图象有4个交点，
由图象可知0且x1＋x2＝－4，－ln x3＝ln x4，故B正确;
所以ln(x3x4)＝0，即x3x4＝1，
又x3>0，x4>0，
且x3≠x4，则x3＋x4>2＝2，
故C正确;
当f(x4)＝f(0)＝2时，ln x4＝2，x4＝e2，
又x4>1，所以1三、填空题
12.已知函数f(x)＝|x2－1|，若0(1，)
作出函数f(x)＝|x2－1|在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，).
13.(2026·北京海淀区调研)已知函数f(x)＝则不等式f(2x－1)<2的解集是　　　　　　　.
作出函数f(x)的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)在R上单调递增，
因为f(4)＝log24＝2，所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)即2x－1<4，解得x<，
所以不等式f(2x－1)<2的解集是.
14.(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝　　　　;若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是　　　　.
3＋
由题意知f＝－＋2＝，
则f＝f－1＝－1＝.
作出函数f(x)的图象，如图所示，
结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1;
令x＋－1＝3，解得x＝2±，又x>1，所以x＝2＋，
所以(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋.

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