资源简介

第12节　函数与方程
课标要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函数的零点
(1)概念:对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)等价关系:
(3)函数零点存在定理
①条件:a.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线;b.f(a)·f(b)<0.
②结论:函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　)
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b) D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b2－4ac<0时没有零点.(　　)
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(2)中f(a)·f(b)<0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
(4)中二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.
2.(苏教必修一P253T8改编)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A.3 B.2
C.7 D.0
答案　B
解析　由
解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点.
3.(北师大必修一P132T3(2)改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案　B
解析　函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)·f(2)<0，
故f(x)的零点所在的区间为(1，2).
4.(人教A必修一P156T13改编)若函数f(x)＝2x＋a在(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是　　　　.
答案　(－2，2)
解析　由题意函数f(x)在(－1，1)内单调递增，得f(－1)·f(1)＝(－2＋a)·(2＋a)<0，解得 －2考点一　函数零点所在区间的判断
例1 (1)(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)
A.(0，0.3) B.(0.3，0.5)
C.(0.5，1) D.(1，2)
(2)若aA.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)易知f(x)单调递减，又f(0)＝1>0，
f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0，
f(0.5)＝0.30.5－<0，
所以f(x)的零点所在区间是(0.3，0.5)，故选B.
(2)函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，
由于a因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，
f(c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点.
感悟提升　确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
训练1 (1)根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(　　)
x 1 2 3 4 5
ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609
x－2 －1 0 1 2 3
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
(2)用二分法求函数f(x)＝＋lox零点的近似值，可以取的初始区间是(　　)
A.(0，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，
由表格数据得f(1)>0，f(2)>0，f(3)＝ln 3－(3－2)＝1.099－1＝0.099>0，f(4)＝ln 4－2＝1.386－2<0，f(5)<0，则f(3)·f(4)<0，
即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，
即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4).
(2)由题意可知，f(x)＝＋lox的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减.
易得f(4)＝＋lo4＝－2＝－<0，f(3)＝＋lo3＝1－log23<0，f(2)＝＋lo2＝>0，
由零点存在定理得，f(x)＝＋lox唯一的零点所在的区间为(2，3)，故选B.
考点二　函数零点个数的判断
例2 (1)函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
(2)(2026·青岛调研)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数为　　　　.
答案　(1)A　(2)4
解析　(1)求函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数，
转化为方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在区间[－2，2]上的根的个数.
由(x2－x)ln|2x－3|＝0，
得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝2，
所以函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为3.
(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.
在同一直角坐标系内，分别作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图所示，
观察图象可知它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.
感悟提升　求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.
(2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
训练2 (1)(2026·抚顺六校协作体质检)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点，
即3x|log2x|－1＝0的解，
即|log2x|＝的解，即y＝|log2x|与y＝的图象的交点的横坐标，如图所示，
从函数图象可知，
y＝|log2x|与y＝有2个交点，
即函数f(x)的零点个数为2.
(2)当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1;
当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，
f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点，
综上，函数f(x)的零点个数为2.
考点三　函数零点的应用
角度1　根据零点个数求参数范围
例3 (2026·广州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(0，1]
解析　令g(x)＝0，
则f(x)－a＝0，则问题转化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝a恰有2个交点的问题.
当a<0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝时等号成立，如图，
y＝f(x)的图象与直线y＝a没有交点;
当a≥0时，y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，
y＝f(x)的图象如图，由图可知0故实数a的取值范围为(0，1].
角度2　根据零点范围求参数范围
例4 已知函数f(x)＝2x＋log2x＋b在区间上有零点，则实数b的取值范围是　　　　.
答案　(－10，0)
解析　∵y1＝2x＋b在R上单调递增，y2＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＝2x＋log2x＋b在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(x)＝2x＋log2x＋b在区间上有零点，
∴f<0，f(4)>0，
即1－1＋b<0，8＋2＋b>0，
得－10故实数b的取值范围是(－10，0).
感悟提升　已知函数有零点求参数值或取值范围的常用方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
训练3 (1)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.a<－ B.a<－
C.－(2)(2026·河南名校联盟调研)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m至少有2个零点，则实数m的取值范围为　　　　.
答案　(1)D　(2)[－1，1]
解析　(1)当a＝0时，f(x)＝3，不符合题意;
当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递增，
此时函数f(x)在上单调递增;
当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递减，
此时函数f(x)在上单调递减.
因为函数f(x)在区间上有零点，
所以f f(1)<0，
即3(4a＋3)<0，解得a<－.
(2)因为f(x)＝作出f(x)的大致图象如图所示，
则g(x)至少有2个零点等价于直线y＝m与y＝f(x)的图象至少有2个交点，
由图可知－1≤m≤1，即实数m的取值范围为[－1，1].
一、单选题
1.(2025·衡阳调研)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B.，(0，0)
C.0 D.(0，0)
答案　C
解析　f(x)＝
当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0.
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，
解得x＝(舍去)，
所以函数f(x)的零点为0.故选C.
2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据:f(1)≈－0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是(　　)
A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.062 5)
答案　C
解析　由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，(1，1.5)→(1，1.25)→(1.125，1.25)，
因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1，故没有达到精确度的要求，应该接着计算f＝f(1.187 5)的值.
3.(2026·南昌调研)已知函数f(x)＝，那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是(　　)
A. B.
C. D.(1，4)
答案　B
解析　因为y＝，y＝－在(0，＋∞)上均单调递减，
则f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，
可得f(0)＝＝1－0＝1>0.
f>0，
f<0，
f(1)＝－1＝－<0，
f(4)＝<0，
可知f(x)在内有零点，在和(1，4)内均无零点.
4.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　法一　∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
法二　设y1＝2x，
y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.
故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
5.已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(－∞，0) D.
答案　B
解析　由f(x)＝3x－＝0，
可得a＝3x－，
令g(x)＝3x－，x∈(－∞，－1)，
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.
由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增.
当x∈(－∞，－1)时，
g(x)＝3x－又g(x)＝3x－>0，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
6.(2026·昆明诊断)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a.若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
答案　D
解析　x>0时，f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝0.
令g(x)＝0可得f(x)＝x＋a，作出函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的大致图象如图所示.
由图可知，当a≥1时，函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的图象有2个交点，此时，函数y＝g(x)有2个零点.
因此，实数a的取值范围是[1，＋∞).
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　)
A.6 B.8
C.12 D.14
答案　C
解析　依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，
所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，
即函数f(x)是以2为周期的偶函数，
令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，
即f(x)＝log7|x|，
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示.
由图象可知，两函数图象共有12个交点，
即函数g(x)共有12个零点.
8.(2026·绍兴质检)设a，b，c分别为函数f(x)＝x－1，g(x)＝xln x－1，h(x)＝xex－1的零点，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.b>a>c
答案　D
解析　因为x＝1时，x－1＝0，
又因为y＝x在[0，＋∞)上单调递增，所以a＝1;
若01，即b>1;
若x≥1，则xex>1，所以xex－1＝0时，0综上所述，0二、多选题
9.(2025·徐州质检)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则(　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314
A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调
B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点
C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点
D.f(x)至少有3个零点
答案　ABD
解析　由题表可知f(2)>0，f(3)<0，
f(4)>0，f(5)<0，
所以f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，
f(4)f(5)<0，
因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)均存在零点，即f(x)至少有3个零点，故D正确;
对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值，
故无法判断f(x)在区间(2，3)上的单调性，故A正确;
对于B，C，虽然f(5)<0，f(6)<0，但是函数f(x)在(5，6)内的取值情况未知，
所以函数f(x)在(5，6)内可能存在零点，故B正确，C错误.故选ABD.
10.下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)
B.方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)上有解
C.函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)上
答案　BC
解析　对于A，令f(x)＝x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，即函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2，故A错误;
对于B，令f(x)＝ex－x－3，则f(－3)＝e－3>0，f(0)＝－2<0，f(10)＝e10－13>210－13＝1 024－13＝1 011>0，
所以由函数零点存在定理可知f(x)＝ex－x－3在区间(－3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解，故B正确;
对于C，函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称，故C正确;
对于D，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)上，故D错误.
11.已知函数y＝x＋10x的零点为x1，y＝x＋lg x的零点为x2，则(　　)
A.x1＋x2>0 B.x1x2<0
C.1＋lg x2＝0 D.4x1x2－2x1＋2x2<1
答案　BCD
解析　分别作出函数y＝－x，y＝10x，y＝lg x的大致图象如图所示，不妨设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，
∵函数y＝10x与函数y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，直线y＝－x关于直线y＝x对称，
∴点A，B关于直线y＝x对称，又点A，B在直线y＝－x上，
∴点A，B关于原点对称.
对于A，易知x1＋x2＝0，故A错误;
对于B，易知x1x2<0，故B正确;
对于C，∵1＝－x1，lg x2＝－x2，x1＋x2＝0，∴1＋lg x2＝0，故C正确;
对于D，由函数零点存在定理易知－∴<0，
即x1x2－x1＋x2－<0，
即4x1x2－2x1＋2x2<1，故D正确.
三、填空题
12.(2026·成都质检)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为　　　　.
答案　100
解析　令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)，
即f(－1)＝0，
因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝0，
则f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0，
则f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数.
因为f(x)在[0，2]上单调递增，
则f(x)在[－2，0]上单调递减，
所以f(x)在一个周期内有两个零点，
且f(－100)＝f(100)≠0，
故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100.
13.(2026·江西部分学校联考)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(a＋1)f(x)＋a＝0恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(－∞，1)∪(1，3)∪{4}
解析　画出函数f(x)的图象，如图所示，
设f(x)＝t，则原方程可化为t2＋(a＋1)t＋a＝0，
解得t＝－1或t＝－a.
由图可知当t＝－1时，
f(x)＝－1有2个根.
因为原方程有4个不同的实数根，
则f(x)＝－a有2个根，
所以－a＝－4或－3<－a<－1或－a>－1，
解得a＝4或1则实数a的取值范围为(－∞，1)∪(1，3)∪{4}.
14.(2026·合肥模拟)已知函数f(x)＝方程f(x)＝a有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1答案　
解析　作出函数图象，可得＝－2，－log2x3＝log2x4，
从而得x3x4＝1，且－log2x3∈(1，2]，
从而得∈(2，4]，
∴原式＝＋2，
∵∈(2，4]，∴∈(4，16]，
令t＝，则f(t)＝t＋，t∈(4，16]，
∵f(t)在(4，16]上单调递增，
∴f(t)∈，
∴最大值为.(共56张PPT)
数学
高考总
复
习
第二章　函数
第12节　函数与方程
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.函数的零点
(1)概念:对于一般函数y＝f(x)，我们把使______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)等价关系:
f(x)＝0
x轴
f(x)＝0
(3)函数零点存在定理
①条件:a.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线;b.________<0.
②结论:函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)·f(b)
f(c)＝0
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
常用结论与微点提醒
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
(2)中f(a)·f(b)<0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
(4)中二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　)
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b) D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b2－4ac<0时没有零点.(　　)
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(　　)
√
×
2.(苏教必修一P253T8改编)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A.3 B.2
C.7 D.0
由
解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点.
B
3.(北师大必修一P132T3(2)改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)·f(2)<0，
故f(x)的零点所在的区间为(1，2).
B
4.(人教A必修一P156T13改编)若函数f(x)＝2x＋a在(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是　　　　　　.
(－2，2)
由题意函数f(x)在(－1，1)内单调递增，得f(－1)·f(1)＝(－2＋a)·(2＋a)<0，解得 －2考点聚焦突破
02
例1 (1)(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)
A.(0，0.3) B.(0.3，0.5)
C.(0.5，1) D.(1，2)
B
易知f(x)单调递减，又f(0)＝1>0，
f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0，
f(0.5)＝0.30.5－<0，
所以f(x)的零点所在区间是(0.3，0.5)，故选B.
考点一　函数零点所在区间的判断
(2)若aA.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
A
函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，
由于a因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点.
感悟提升
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
训练1 (1)根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(　　)


A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
C
设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，
x 1 2 3 4 5
ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609
x－2 －1 0 1 2 3
由表格数据得f(1)>0，f(2)>0，f(3)＝ln 3－(3－2)＝1.099－1＝0.099>0，
f(4)＝ln 4－2＝1.386－2<0，f(5)<0，则f(3)·f(4)<0，
即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，
即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4).
(2)用二分法求函数f(x)＝＋lox零点的近似值，可以取的初始区间是(　　)
A.(0，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
由题意可知，f(x)＝＋lox的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减.
易得f(4)＝＋lo4＝－2＝－<0，f(3)＝＋lo3＝1－log23<0，f(2)＝＋lo2＝>0，
由零点存在定理得，f(x)＝＋lox唯一的零点所在的区间为(2，3)，故选B.
B
例2 (1)函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
A
求函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数，
转化为方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在区间[－2，2]上的根的个数.
由(x2－x)ln|2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝2，
所以函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为3.
考点二　函数零点个数的判断
(2)(2026·青岛调研)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数为　　　　.
4
由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.
在同一直角坐标系内，分别作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，
如图所示，
观察图象可知它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.
感悟提升
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.
(2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
训练2 (1)(2026·抚顺六校协作体质检)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
C
函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点，
即3x|log2x|－1＝0的解，
即|log2x|＝的解，即y＝|log2x|与y＝的图象的交点的横坐标，如图所示，
从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝有2个交点，
即函数f(x)的零点个数为2.
(2)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1;
当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，
并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，
f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点，
综上，函数f(x)的零点个数为2.
D
角度1　根据零点个数求参数范围
例3 (2026·广州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点，则实数a的取值范围是　　　　.
(0，1]
令g(x)＝0，则f(x)－a＝0，则问题转化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝a恰有2个交点的问题.
当a<0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝时等号成立，如图，
y＝f(x)的图象与直线y＝a没有交点;
考点三　函数零点的应用
当a≥0时，y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，
y＝f(x)的图象如图，由图可知0故实数a的取值范围为(0，1].
角度2　根据零点范围求参数范围
例4 已知函数f(x)＝2x＋log2x＋b在区间上有零点，则实数b的取值范围是　　　　　　.
(－10，0)
∵y1＝2x＋b在R上单调递增，y2＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＝2x＋log2x＋b在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(x)＝2x＋log2x＋b在区间上有零点，
∴f<0，f(4)>0，
即1－1＋b<0，8＋2＋b>0，得－10故实数b的取值范围是(－10，0).
感悟提升
已知函数有零点求参数值或取值范围的常用方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
训练3 (1)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.a<－ B.a<－
C.－D
当a＝0时，f(x)＝3，不符合题意;
当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递增，
此时函数f(x)在上单调递增;
当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递减，
此时函数f(x)在上单调递减.
因为函数f(x)在区间上有零点，
所以f f(1)<0，
即3(4a＋3)<0，解得a<－.
(2)(2026·河南名校联盟调研)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m至少有2个零点，则实数m的取值范围为　　　　.
因为f(x)＝作出f(x)的大致图象如图所示，
则g(x)至少有2个零点等价于直线y＝m与y＝f(x)的图象至少有2个交点，
由图可知－1≤m≤1，即实数m的取值范围为[－1，1].
[－1，1]
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2025·衡阳调研)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B.，(0，0)
C.0 D.(0，0)
C
f(x)＝
当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0.
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去)，
所以函数f(x)的零点为0.故选C.
2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据:f(1)≈－0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是(　　)
A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.062 5)
C
由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，
(1，1.5)→(1，1.25)→(1.125，1.25)，
因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1，故没有达到精确度的要求，
应该接着计算f＝f(1.187 5)的值.
3.(2026·南昌调研)已知函数f(x)＝，那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是(　　)
A. B.
C. D.(1，4)
B
因为y＝，y＝－在(0，＋∞)上均单调递减，
则f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，
可得f(0)＝＝1－0＝1>0.
f>0，
f<0，
f(1)＝－1＝－<0，
f(4)＝<0，
可知f(x)在内有零点，在和(1，4)内均无零点.
4.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
B
法一　∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
法二　设y1＝2x，
y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.
故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
5.已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(－∞，0) D.
B
由f(x)＝3x－＝0，
可得a＝3x－，
令g(x)＝3x－，x∈(－∞，－1)，
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.
由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增.
当x∈(－∞，－1)时，
g(x)＝3x－又g(x)＝3x－>0，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
6.(2026·昆明诊断)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a.若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
D
x>0时，f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝0.
令g(x)＝0可得f(x)＝x＋a，作出函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的大致图象如图所示.
由图可知，当a≥1时，函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的图象有2个交点，
此时，函数y＝g(x)有2个零点.
因此，实数a的取值范围是[1，＋∞).
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　)
A.6 B.8
C.12 D.14
C
依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，
所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，
即函数f(x)是以2为周期的偶函数，
令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，
即f(x)＝log7|x|，
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示.
由图象可知，两函数图象共有12个交点，
即函数g(x)共有12个零点.
8.(2026·绍兴质检)设a，b，c分别为函数f(x)＝x－1，g(x)＝xln x－1，h(x)＝xex－1的零点，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.b>a>c
D
因为x＝1时，x－1＝0，
又因为y＝x在[0，＋∞)上单调递增，所以a＝1;
若01，即b>1;
若x≥1，则xex>1，所以xex－1＝0时，0综上所述，0二、多选题
9.(2025·徐州质检)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则(　 　)
ABD
由题表可知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，
所以f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，
x 1 2 3 4 5 6
y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314
A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点
C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点
因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)均存在零点，即f(x)至少有3个零点，故D正确;
对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值，
故无法判断f(x)在区间(2，3)上的单调性，故A正确;
对于B，C，虽然f(5)<0，f(6)<0，但是函数f(x)在(5，6)内的取值情况未知，
所以函数f(x)在(5，6)内可能存在零点，故B正确，C错误.故选ABD.
10.下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)
B.方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)上有解
C.函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)上
对于A，令f(x)＝x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，即函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2，故A错误;
对于B，令f(x)＝ex－x－3，则f(－3)＝e－3>0，f(0)＝－2<0，f(10)＝e10－13>210－13＝1 024－13＝1 011>0，
BC
所以由函数零点存在定理可知f(x)＝ex－x－3在区间(－3，0)，(0，10)内有零点，
即方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解，故B正确;
对于C，函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称，故C正确;
对于D，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)上，故D错误.
11.已知函数y＝x＋10x的零点为x1，y＝x＋lg x的零点为x2，则(　 　)
A.x1＋x2>0 B.x1x2<0
C.1＋lg x2＝0 D.4x1x2－2x1＋2x2<1
BCD
分别作出函数y＝－x，y＝10x，y＝lg x的大致图象如图所示，不妨设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，
∵函数y＝10x与函数y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，直线y＝－x关于直线y＝x对称，
∴点A，B关于直线y＝x对称，
又点A，B在直线y＝－x上，
∴点A，B关于原点对称.
对于A，易知x1＋x2＝0，故A错误;
对于B，易知x1x2<0，故B正确;
对于C，∵1＝－x1，lg x2＝－x2，x1＋x2＝0，∴1＋lg x2＝0，故C正确;
对于D，由函数零点存在定理易知－∴<0，
即x1x2－x1＋x2－<0，
即4x1x2－2x1＋2x2<1，故D正确.
三、填空题
12.(2026·成都质检)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为　　　　.
100
令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)，即f(－1)＝0，
因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝0，
则f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0，
则f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数.
因为f(x)在[0，2]上单调递增，
则f(x)在[－2，0]上单调递减，
所以f(x)在一个周期内有两个零点，
且f(－100)＝f(100)≠0，
故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100.
13.(2026·江西部分学校联考)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(a＋1)f(x)＋a＝0恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　　.
(－∞，1)∪(1，3)∪{4}
画出函数f(x)的图象，如图所示，
设f(x)＝t，则原方程可化为t2＋(a＋1)t＋a＝0，
解得t＝－1或t＝－a.
由图可知当t＝－1时，
f(x)＝－1有2个根.
因为原方程有4个不同的实数根，
则f(x)＝－a有2个根，
所以－a＝－4或－3<－a<－1或－a>－1，
解得a＝4或1则实数a的取值范围为(－∞，1)∪(1，3)∪{4}.
14.(2026·合肥模拟)已知函数f(x)＝方程f(x)＝a有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1为　　　　.
作出函数图象，可得＝－2，－log2x3＝log2x4，
从而得x3x4＝1，且－log2x3∈(1，2]，
从而得∈(2，4]，
∴原式＝＋2，
∵∈(2，4]，∴∈(4，16]，
令t＝，则f(t)＝t＋，t∈(4，16]，
∵f(t)在(4，16]上单调递增，
∴f(t)∈，
∴最大值为.

展开更多......

收起↑