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6．1　数列的概念与简单表示
一、 单选题
1 [2025西交大苏州附中期中]意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2 024项中奇数的个数是(　　)
A. 1 012 B. 1 348 C. 1 350 D. 1 352
2 [2026淮安月考]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋log2，则a8的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 4
3 已知在正项数列{an}中，若＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)
A. an＝n B. an＝n2
C. an＝ D. an＝
4 [2026天津新华中学开学考试]设数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}是递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多选题
5 [2026如皋中学月考]下列有关数列的说法中，正确的是(　　)
A. 数列－2 024，0，4与数列4，0，－2 024是同一个数列
B. 数列{an}的通项公式为an＝n(n－1)，则110是该数列的第11项
C. 在数列1，，，2，，…中，第8个数是2
D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n＋1
6 [2025南通海门期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，＝1＋(n∈N*)，则下列结论中正确的是(　　)
A. a2nC. ＝ D. 数列的前n项和为
7 [2025盐城期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an－anan＋1＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. a3＝
B. a4>0
C. a2 025＝－1
D. S2 025＝
三、 填空题
8 [2026怀仁大地高中等校期末]已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝－1，则a2 025＝________．
9 [2025南京期中]已知某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝(a1，a2，a3，…)升级为新序列A*＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，A*中的第n项为 an＋1－an，若(A*)*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝________．
10 已知数列{an}的通项公式为an＝，数列{an}的前n项积为Tn，则当Tn取得最大值时，n的值为________．
四、 解答题
11 [2026南京六校联合体学情调研]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝，数列{bn}为公比大于0的等比数列，且b2＝a3，b4＝a27.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 若在an与an＋1之间插入bn个1，由此构成一个新的数列{cn}，记{cn}的前n项和Tn，求T45的值．
12 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝2a1，＝.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列{bn}满足bn＝求{bn}中的最大项与最小项．
6．1　数列的概念与简单表示
1. C　解析：对数列中的数归纳发现，从第1项起，依次每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数．又2 024＝3×674＋2，所以该数列的前2 024项中有2×674＋2＝1 350(个)奇数．
2. C　解析：由an＋1＝an＋log2，可得an＋1－an＝log2＝log2(n＋1)－log2n，当n≥2时，利用累加法可得an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＝log2n－log2(n－1)＋log2(n－1)－log2(n－2)＋…＋log22－log21，化简，得an＝a1＋log2n，所以a8＝1＋log28＝4.
3. B　解析：当n≥2时，由＋＋…＋＝，得＋＋…＋＝，两式相减，得＝n，解得an＝n2.当n＝1时，＝1，即a1＝1，满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝n2.
4. A　解析：因为an＝＝＝k－，且数列{an}为递减数列，所以对任意的n∈N*，an＋15. BC　解析：对于A，在数列－2 024，0，4中，a1＝－2 024，a2＝0，a3＝4，在数列4，0，－2 024中，a1＝4，a2＝0，a3＝－2 024，所以它们不是同一个数列，故A错误；对于B，a11＝11×10＝110，则110是该数列的第11项，故B正确；对于C，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，所以第8个数是a8＝＝2，故C正确；对于D，a3＝2×3＋1＝7≠9，所以an＝2n＋1不是该数列的通项公式，故D错误．故选BC.
6. ABD　解析：由题意，得＝1＋(n∈N*)，a1＝1，所以＝1＋>1，则{an}为正项递增数列，所以a2n7. BCD　解析：由an－anan＋1＝1，且a1＝2，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，故A错误，B正确；易得数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 025＝a3＝－1，故C正确；由上可得S2 025＝675(a1＋a2＋a3)，所以S2 025＝675×＝，故D正确．故选BCD.
8. 2　解析：因为an＋1＝，a1＝－1，所以a2＝＝，a3＝＝2，a4＝＝－1，a5＝＝，…，所以{an}是周期为3的周期数列．又2 025÷3＝675，所以a2 025＝a3＝2.
9. 8　解析：由题意，得A＝(a1，a2，a3，a4，a5，…)，A*＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，…)，(A*)*＝(a3－2a2＋a1，a4－2a3＋a2，a5－2a4＋a3，…).因为(A*)*的所有项都是3，所以a3－2a2＋a1＝3，a4－2a3＋a2＝3，a5－2a4＋a3＝3.又a4＝11，a5＝18，所以由a5－2a4＋a3＝3，得18－22＋a3＝3，解得 a3＝7.由a4－2a3＋a2＝3，得11－14＋a2＝3，解得a2＝6.由a3－2a2＋a1＝3，得7－12＋a1＝3，解得a1＝8.
10. 3或4　解析：由题意，得an＋1－an＝－＝＝，则当n＝1或n＝2时，an＋1－an>0；当n≥3时，an＋1－an<0，即a1a4>a5>a6>…>an.因为a1＝<1，a2＝1，a3＝>1，a4＝1，a5＝，当n≥5时，易知2n>n2恒成立，所以011. (1) 由题意，得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n(n≥2);
当n＝1时，a1＝S1＝1，也符合上式，
所以an＝n.
设等比数列{bn}的公比为q(q>0).
由题意，得b2＝a3＝3，b4＝a27＝27，
所以解得q＝3(负值舍去)，所以b1＝1，
所以bn＝3n-1.
(2) 根据题意，在an与an＋1之间插入bn个1，
即在1和2之间插入1个1；
在2和3之间插入3个1；
在3和4之间插入9个1；
在4和5之间插入27个1，
此时刚好有45项，
所以T45＝(1＋3＋9＋27)＋(1＋2＋3＋4＋5)＝55，
即T45的值为55.
12. (1) 方法一：在＝中，令n＝1，得a1＝1，
则a2＝2a1＝2.
因为2Sn＝n(an＋1)，①
所以2Sn＋1＝(n＋1)(an＋1＋1)，②
由②－①，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1，
即(n－1)an＋1＝nan－1.③
当n≥2时，将③式两边同时除以n(n－1)，
得＝＋－，
所以＝＝…＝＝1，
所以{}为常数列，所以＝1，
所以当n≥2时，an＝n.
当n＝1时，a1＝1也符合上式，
所以an＝n.
方法二：在＝中，令n＝1，得a1＝1，
则a2＝2a1＝2.
因为2Sn＝n(an＋1)，①
所以2Sn＋1＝(n＋1)(an＋1＋1)，②
由②－①，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1，
即(n－1)an＋1＝nan－1，③
则nan＋2＝(n＋1)an＋1－1.④
由④－③，得nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，
即an＋2＋an＝2an＋1，
所以{an}为等差数列．
又a1＝1，a2＝2，所以an＝n.
(2) 由(1)，得bn＝
当n≥2时，bn＋1－bn＝－＝>0，
且bn＝＝<，
所以b2所以{bn}中的最大项为b1＝1，最小项为b2＝.6．1　数列的概念与简单表示
复习目标　1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2. 了解数列是自变量为正整数的一类函数．
数列
活动一 基础引入
1 [2025广州一模]数列1，－，，－，，…的一个通项公式为an等于( )
A. B.
C. － D.
2 [2026徐州一中月考]已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－an·an＋1＝1，n∈N*，则a2 026的值为(　　)
A. B. C. D.
3 [2026无锡锡山高级中学月考]已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，则120是这个数列的第(　　)
A. 9项 B. 10项 C. 11项 D. 12项
4 [苏教版选必一P139习题T9改编]下图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形．图中从左向右的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则数列{an}的一个通项公式为________．
　　　
5 [2025南京河西外国语学校月考]写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an} 的通项公式：an＝________．
①数列{an}是无穷等比数列；
②数列{an}不单调；
③数列{|an|}为递减数列．
活动二 典例悟法
题组一　已知数列的前几项求通项公式
1 根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：
(1) 4，6，8，10，…；
(2) ，，，，，…；
(3) ，，－，，－，，…；
(4) 9，99，999，9 999，….
1. 常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见数列)等．
2. 注意：(1) 观察数列各项符号的变化，考虑通项中是否有(－1)n或(－1)n+1；(2) 考虑各项的变化与序号的关系；(3) 分式形式考虑分子、分母找通项，寻找分子、分母间的关系．
题组二　由an与Sn的关系求通项公式
2 (1) 已知数列{an}的前n项和为 Sn＝3n－1，求它的通项公式an；
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n，求它的通项公式an.
[2025苏州三模]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，Sn－1＋Sn＋Sn＋1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*).求：
(1) a3，a4；
(2) S3n.
[2023全国甲卷(理)·17(1)]设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan，求{an}的通项公式．
1. 已知Sn求an的步骤：
(1) 先利用a1＝S1，求出a1；
(2) 用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3) 注意检验n＝1时的表达式是否可以与 n≥2 时的表达式合并．
2. 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
题组三　数列函数性质的应用
3 (1) [2025扬州高邮期初]如果数列{an}对任意的n∈N*，都有an＋2－an＋1>an＋1－an，那么称{an}为“速增数列”．已知数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝2，a2＝4，ak＝2 025，则正整数k的最大值为(　　)
A. 63 B. 64
C. 65 D. 66
(2) 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
①数列中有多少项是负数？
②当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，则此数列的最大项是第________项．
1. 判断数列单调性的两种方法：
(1) 作差比较法：比较an＋1－an与0的大小．
(2) 作商比较法：比较与1的大小，注意an的符号．
2. 求数列最大项或最小项的方法：
(1) 利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项．
(2) 利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．
4 已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017的值为(　　)
A. －586 B. －588
C. 588 D. 586
若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2 023的值为(　　)
A. 3 B. 2
C. D.
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
6．1　数列的概念与简单表示
1. D　解析：数列1，－，，－，，…，可写为，，，，，…，所以数列的一个通项公式为an＝.
2. C　解析：方法一：因为a1＝0，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，由规律可知an＝，所以a2 026＝.
方法二：由题意，得an＋1＝，则1－an＋1＝，可得＝＋1，即－＝1，所以数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，故＝n，即an＝，所以a2 026＝.
3. B　解析：令an＝120，得n2＋2n＝120，即n2＋2n－120＝0，解得n＝10或n＝－12(舍去)，所以a10＝120，所以120是数列{an}的第10项．
4. an＝3n-1　解析：a1＝1＝30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，由规律可知an＝3n-1(n∈N*).
5. (答案不唯一)　解析：由题意，得an＝满足①数列{an}是无穷等比数列；②数列{an}不单调；③数列{|an|}为递减数列．
例1　(1) 因为各数都是偶数，且最小为4，
所以an＝2(n＋1)(n∈N*).
(2) 注意到分母分别是21，22，23，24，25，…，而分子比分母少1，
所以an＝(n∈N*).
(3) 分母规律明显，而第2，3，4项的绝对值的分子比分母少3，
所以可考虑将第1项变为－，
这样原数列可化为－，，－，，－，，…，
所以an＝(－1)n·(n∈N*).
(4) 原数列可化为101－1，102－1，103－1，104－1，…，
所以an＝10n－1(n∈N*).
例2　(1) 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n-1－1)＝2×3n-1；
当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2×3n-1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2×3n-1.
(2) 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n)－[(n－1)2－(n－1)]＝2n－2，
当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0也满足an＝2n－2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－2.
变式训练　(1) 因为Sn－1＋Sn＋Sn＋1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，
所以当n＝2时，S1＋S2＋S3＝a1＋(a1＋a2)＋(a1＋a2＋a3)＝3a1＋2a2＋a3＝3×22＋2；
当n＝3时，S2＋S3＋S4＝(a1＋a2)＋(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3＋a4)＝3a1＋3a2＋2a3＋a4＝3×32＋2.
又a1＝1，a2＝3，所以a3＝5，a4＝7.
(2) 因为Sn－1＋Sn＋Sn＋1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，①
所以Sn＋Sn＋1＋Sn＋2＝3(n＋1)2＋2＝3n2＋6n＋5.②
由②－①可得Sn＋2－Sn－1＝an＋an＋1＋an＋2＝6n＋3，
当n＝1时，a1＋a2＋a3＝9也满足上式，
所以用n＋3代换n，可得an＋3＋an＋4＋an＋5＝6(n＋3)＋3＝6n＋21，
所以(an＋3＋an＋4＋an＋5)－(an＋an＋1＋an＋2)＝(6n＋21)－(6n＋3)＝18，
这说明数列{a3k－2＋a3k－1＋a3k}(k∈N*)是以a1＋a2＋a3＝1＋3＋5＝9为首项，18为公差的等差数列，
所以S3n＝9n＋×18＝9n＋9n(n－1)＝9n2.
链接高考
由题意知，当n＝1时，2a1＝a1，解得a1＝0；
当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，解得a3＝2.
当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，
所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an，
即(n－2)an＝(n－1)an－1，
所以当n≥3时，＝＝…＝＝1，即an＝n－1，
当n＝1，2时，上式也成立，
所以an＝n－1(n∈N*).
例3　(1) A　解析：因为数列{an}为“速增数列”， a1＝2，a2＝4，所以ak－ak－1>ak－1－ak－2>…>a3－a2>a2－a1＝2.又an∈Z，所以a3－a2≥3，…，ak－1－ak－2≥k－1，ak－ak－1≥k，累加，得(ak－ak－1)＋(ak－1－ak－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1≥k＋(k－1)＋…＋3＋2＋2，即ak≥＋1，所以2 024≥，k∈Z.当k＝63时，＝2 016；当k＝64时，＝2 080，故正整数k的最大值为63.
(2) ①由n2－5n＋4<0，解得1因为n∈N*，所以n＝2或n＝3，
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
②因为an＝n2－5n＋4＝－，且n∈N*，
所以当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
变式训练　9，10　解析：由题意，得an＋1－an＝(n＋2)·－(n＋1)·＝·，当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1例4　A　解析：因为a1＝2，an＋1＝，所以 a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，所以数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－.因为2 017＝4×504＋1，所以S2 017＝504×＋2＝－586.
变式训练　B　解析：由题意，得a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，a6＝＝，a7＝＝2，a8＝＝3，所以数列{an}的周期为6，所以a2 023＝a337×6＋1＝a1＝2.(共30张PPT)
第六章
6.1　数列的概念与简单表示
数列
复习目标　1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2. 了解数列是自变量为正整数的一类函数．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
D
C
3 [2026无锡锡山高级中学月考]已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，则120是这个数列的第 (　　)
A. 9项 B. 10项
C. 11项 D. 12项
【解析】令an＝120，得n2＋2n＝120，即n2＋2n－120＝0，解得n＝10或n＝－12(舍去)，所以a10＝120，所以120是数列{an}的第10项．
B
4 [苏教版选必一P139习题T9改编]下图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形．图中从左向右的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则数列{an}的一个通项公式为___________．
【解析】a1＝1＝30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，由规律可知an＝3n-1 (n∈N*).
an＝3n-1
5 [2025南京河西外国语学校月考]写出一个同时具有下列性质①②
③的数列{an} 的通项公式：an＝____________________．
①数列{an}是无穷等比数列；
②数列{an}不单调；
③数列{|an|}为递减数列．
活动二　典例悟法
题组一　已知数列的前几项求通项公式
1
根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：
1. 常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见数列)等．
2. 注意：(1) 观察数列各项符号的变化，考虑通项中是否有(－1)n或(－1)n+1；(2) 考虑各项的变化与序号的关系；(3) 分式形式考虑分子、分母找通项，寻找分子、分母间的关系．
题组二　由an与Sn的关系求通项公式
【解析】(1) 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n-1－1)＝2×3n-1；
当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2×3n-1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2×3n-1.
(2) 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n)－[(n－1)2－(n－1)]＝2n－2，
当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0也满足an＝2n－2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－2.
2
(1) 已知数列{an}的前n项和为 Sn＝3n－1，求它的通项公式an；
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n，求它的通项公式an.
[2025苏州三模]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，Sn－1＋Sn＋Sn＋1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*).求：
(1) a3，a4；
(2) S3n.
【解析】(1) 因为Sn－1＋Sn＋Sn＋1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，
所以当n＝2时，S1＋S2＋S3＝a1＋(a1＋a2)＋(a1＋a2＋a3)＝3a1＋2a2＋a3＝3×22＋2；
当n＝3时，S2＋S3＋S4＝(a1＋a2)＋(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3＋a4)＝3a1＋3a2＋2a3＋a4＝3×32＋2.
又a1＝1，a2＝3，所以a3＝5，a4＝7.
[2023全国甲卷(理)·17(1)]设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan，求{an}的通项公式．
题组三　数列函数性质的应用
(1) [2025扬州高邮期初]如果数列{an}对任意的n∈N*，都有an＋2－an＋1>an＋1－an，那么称{an}为“速增数列”．已知数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝2，a2＝4，ak＝2 025，则正整数k的最大值为 (　　)
A. 63 B. 64
C. 65 D. 66
3
A
(2) 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
①数列中有多少项是负数？
②当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
9，10
4
A
B
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
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