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6.2　等 差 数 列
一、 单选题
1 [2026宁波二模]设a>0，b>0，lg 是lg 4a与lg 2b的等差中项，则2a＋b的值为(　　)
A. B.
C. 1 D. 2
2 [2025海安高级中学模拟]设{an}为等差数列，且a1＋a2＋a3＝3，a2＋a3＋a4＝9，则a6＋a7的值为(　　)
A. 16 B. 18
C. 20 D. 22
3 [2025盐城模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S9＝S19，则当Sn取最小值时n的值为(　　)
A. 12 B. 13
C. 14 D. 25
4 “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数m满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数m按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为(　　)
A. 23 B.
C. D. 33
二、 多选题
5 [2025苏州期末]设等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2－11n(n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该数列的公差为4 B. a11＝21
C. Sn有最小值－15 D. Sn有最小值－
6 [2025广州五中月考]已知数列{an}的前n项和为Sn, an＝若Sk＝－32，则k的值可能为(　　)
A. 4 B. 8
C. 9 D. 12
7 [2025淮安期中]在数列{an}和{bn}中，a1＝b1＝1，an＋1－an＝n＋1，－＝1，n∈N*，则下列说法中正确的是(　　)
A. bn＝n2
B. an＝
C. 36是{an}与{bn}的公共项
D. <2
三、 填空题
8 [2026江苏部分学校月考]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＋5a1＝0，则a2＝__________．
9 [2026南通海门期末]已知数列{an}的首项为1，对于任意n，m∈N*，都有an＋m＝an＋2m，则a4＝________．
10 [2025天一中学月考]已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn.若＝，则＝________．
四、 解答题
11 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1) 记bn＝a2n，写出b1，b2的值，证明数列{bn}是等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2) 求数列{an}的前20项和．
12 在数列{an}中，若an＋1－a1a2a3…an＝d(n∈N*)，则称数列{an}为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”．已知数列{an}是一个“泛等差数列”，数列{bn}满足a＋a＋…＋a＝a1a2a3…an－bn.
(1) 若数列{an}的“泛差”d＝1，且a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；
(2) 若数列{an}的“泛差”d＝－1，且a1＝，求数列{bn}的通项公式．
6．2　等 差 数 列
1. C　解析：由题意，得2lg ＝lg 4a＋lg 2b，所以lg 2＝lg 22a＋b，所以2a＋b＝1.
2. C　解析：设等差数列{an}的公差为d.由a1＋a2＋a3＝3，a2＋a3＋a4＝9，得3a1＋3d＝3，3a1＋6d＝9，解得a1＝－1，d＝2，所以a6＋a7＝2a1＋11d＝－2＋22＝20.
3. C　解析：由S9＝S19，得a10＋a11＋…＋a19＝0，结合等差数列的性质，得5(a14＋a15)＝0.因为a1<0，所以等差数列{an}的公差d>0，即等差数列{an}为递增数列，所以a14<0，a15>0，故当Sn取最小值时n的值为14.
4. B　解析：由题意，得符合条件的所有正整数m为3，8，13，18，…，所以数列{an}是以3为首项，5为公差的等差数列，则an＝5(n－1)＋3，n∈N*，所以Sn＝×n＝n2＋n，则＝＝5n＋＋1≥2＋1＝23，当且仅当5n＝，即n＝时，等号成立，此时n不是整数，故等号取不到．当n＝2时，5n＋＋1＝11＋＝；当n＝3时，5n＋＋1＝16＋＝>，所以当n＝2时，取得最小值.
5. AC　解析：设等差数列{an}的公差为d.因为Sn＝2n2－11n(n∈N*)，所以当n＝1时，S1＝a1＝2－11＝－9；当n≥2时，有Sn－1＝2(n－1)2－11(n－1)＝2n2－15n＋13，所以an＝Sn－Sn－1＝2n2－11n－2n2＋15n－13＝4n－13(n≥2).又a1＝－9也符合上式，所以an＝4n－13.对于A，d＝an＋1－an＝4(n＋1)－13－4n＋13＝4，故A正确；对于B，a11＝4×11－13＝31，故B错误；对于C，D，由Sn＝2n2－11n＝2(n－)2－(n∈N*)，可知当n＝3时，Sn有最小值S3＝2×32－11×3＝－15，故C正确，D错误．故选AC.
6. AC　解析：由题意，得a1＝－11，当1≤k≤6时，由Sk＝×k＝k2－12k＝－32，解得k＝4或k＝8(舍去)，故A正确；S6＝×6＝－36，a7＝(－3)0－1＝0，a8＝(－3)1－1＝－4，S8＝－36＋0＋(－4)＝－40，故B错误；a9＝(－3)2－1＝8，S9＝－40＋8＝－32，故C正确；a10＝(－3)3－1＝－28，a11＝(－3)4－1＝80，a12＝(－3)5－1＝－244，所以S12＝－32－28＋80－244＝－224，故D错误．故选AC.
7. ACD　解析：对于A，因为＝1，－＝1，n∈N*，所以{}是以1为首项，1为公差的等差数列，则＝1＋(n－1)×1＝n，所以bn＝n2，故A正确；对于B，由题意，得a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，所以an－a1＝2＋3＋…＋n，则an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以an＝，故B错误；对于C，令＝36，解得n＝8(负值舍去)，所以a8＝36；令n2＝36，解得n＝6(负值舍去)，所以b6＝36，所以36是{an}与{bn}的公共项，故C正确；对于D，由A，B知bn＝n2，an＝，所以＝＝2(－)，所以＝2＝2<2，故D正确．故选ACD.
8. 0　解析：设等差数列{an}的公差为d.由S5＋5a1＝0，得5a1＋10d＋5a1＝0，所以a1＋d＝0，故a2＝a1＋d＝0.
9. 7　解析：对于an＋m＝an＋2m，令m＝1，得an＋1＝an＋2，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a4＝1＋(4－1)×2＝7.
10. 　解析：因为数列{an}，{bn}为等差数列，且＝，所以可设Sn＝kn(3n＋1)，Tn＝kn(2n＋5)，k≠0，则b3＝T3－T2＝33k－18k＝15k，a4＝S4－S3＝52k－30k＝22k，所以＝＝.
11. (1) 由题意，得b1＝a2＝a1＝1，b2＝a4＝a3＝a2＋4＝5，
显然bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＝a2n＋4，则bn＋1＝bn＋4，
所以数列{bn}是等差数列，其首项为1，公差为4，
故其通项公式为bn＝4n－3.
(2) 因为当n为奇数时，an＋1＝an，
所以数列{an}的前20项和为a1＋a2＋…＋a20＝2a2＋2a4＋…＋2a20＝2(b1＋b2＋…＋b10)＝2×＝380.
12. (1) 因为“泛差”d＝1，所以an＋1－a1a2a3…an＝1.
由题意，得a1＋a3＝2a2，a2－a1＝1，a3－a1a2＝1，
联立三式，得a＝1，
解得a1＝±1.
(2) 由题意，得an＋1－a1a2a3…an＝－1，
则an＋1＋1＝a1a2a3…an.
又a＋a＋…＋a＝a1a2…an－bn，①
所以a＋a＋…＋a＝a1a2…an＋1－bn＋1.②
由②－①，得a＝a1a2…an(an＋1－1)－bn＋1＋bn，
即a＝(an＋1＋1)(an＋1－1)－bn＋1＋bn＝a－1－bn＋1＋bn，
所以bn＋1－bn＝－1.
又b1＝a1－a＝－＝，
所以{bn}是首项为，公差为－1的等差数列，
所以bn＝＋(n－1)·(－1)＝－n＋.6.2　等 差 数 列
复习目标　1. 理解等差数列的概念.2. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4. 了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
等差数列
活动一 基础引入
1 [2026马鞍山二中质量监测]在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 007＝S2 026.若Sk＝S2 012，则正整数k的值为( )
A. 2 018 B. 2 019
C. 2 020 D. 2 021
2 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　)
　　
A. 14π B. 18π C. 30π D. 44π
3 [2025泰州四调]设Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和．若S4＝12，S8＝40，则T12等于(　　)
A. 49 B. 50 C. 51 D. 52
4 [苏教版选必一P147习题T18改编]设数列{an}满足递推关系：an＋1＝2an＋2n+1(n∈N*)，且a1＝2，若bn＝，则数列{bn}是________数列，an＝________．
5 [苏教版选必一P147习题T19改编]1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”(如图)，则此“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是________．
4 7 10 13 16 …
7 12 17 22 27 …
10 17 24 31 38 …
13 22 31 40 49 …
16 27 38 49 60 …
… … … … … …
活动二 典例悟法
题组一　等差数列基本量的计算
1 (1) [2026南京六十六中期初]若一个等差数列的前4项和为4，后4项和为68，所有项的和为108，则这个数列的项数n等于________；
(2) 已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________；
(3) 已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
①求数列{an}的通项公式；
②若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
1 [2025全国二卷·7]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6的值为(　　)
A. －20 B. －15
C. －10 D. －5
2 [2024全国甲卷(理)·4]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1的值为(　　)
A. B. C. － D. －
3 [2024新课标Ⅱ卷·12]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
1. 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
2. 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
3. 根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋d；若已知通项公式，则使用公式Sn＝，同时注意与性质“a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…”的结合使用．
题组二　等差数列前n项和的最值
2 (1) 已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22.
①求Sn；
②这个数列的前多少项和最大？并求出这个最大值；
(2) 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
①求公差d的取值范围；
②指出S1，S2，…，S12中，哪一个值最大，并说明理由．
(1) [2025泰州调研]已知数列{an}为等差数列，a1＝10，公差d＝－3.若cn＝，则cn的最小值为________．
(2) [2025南京中华中学期末]设Sn为等差数列{an}的前n项和，若公差d<0，且S10＝S20，则当Sn取最大值时，n的值为________．
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
1. 函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
2. 邻项变号法：
(1) 当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
(2) 当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
题组三　等差数列性质的应用
3 (1) 若等差数列{an}的前17项和 S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝________；
(2) 在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9＝________；
(3) 已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
(1) 已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________；
(2) 已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________．
1 [2023全国甲卷(文)·5]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5的值为(　　)
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
2 [2023新课标Ⅰ卷·20(2)]设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d的值．
应用等差数列的性质解题的两个注意点
1. 如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．
2. 要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝，n，m∈N*等．
题组四　等差数列的判定与证明
4 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2).
(1) 求证：数列是等差数列；
(2) 求Sn和an.
已知在数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*).
(1) 求证：数列{bn}是等差数列；
(2) 求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
[2023新课标Ⅰ卷·7]记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则下列结论中正确的是(　　)
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列．用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．
比如，对于满足an－an－1＝1(n≥3)的数列{an}而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定a2－a1是否等于1.
6．2　等 差 数 列
1. D　解析：由题意，得等差数列{an}的公差不为0.易知公差不为0的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 007＝S2 026，Sk＝S2 012，可得＝，解得k＝2 021.
2. D　解析：由题意，得每段圆弧所对的圆心角都是，第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，则an＝·n，所以S11＝(1＋2＋…＋11)＝44π.
3. C　解析：设等差数列{an}的公差为d.由S4＝12，S8＝40，得解得a1＝，d＝1，则Sn＝＋×1＝，所以＝，所以T12＝×(3＋4＋…＋14)＝×12×＝51.
4. 等差　n·2n　解析：an＋1＝2an＋2n+1的两边同除以2n+1，得＝＋1，所以bn＋1－bn＝1，故数列{bn}是公差为1的等差数列．因为b1＝＝1，所以＝bn＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n(n∈N*).
5. 20 200　解析：由图可知，“正方形筛子”的每一行与每一列都是等差数列．因为第100行的第1个数a100，1是第1列的第100个数，且第1列的数组成以4为首项，3为公差的等差数列，所以a100，1＝4＋(100－1)×3＝301；因为第100行的第2个数a100，2是第2列的第100个数，且第2列的数组成以7为首项，5为公差的等差数列，所以a100，2＝7＋(100－1)×5＝502，所以第100行组成以301为首项，502－301＝201为公差的等差数列，故a100，100＝301＋(100－1)×201＝20 200.
例1　(1) 12　解析：设该等差数列为{an}．由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝4，an＋an－1＋an－2＋an－3＝68，两式相加，得a1＋a2＋a3＋a4＋an＋an－1＋an－2＋an－3＝72.结合等差数列的性质，有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝＝18，所以Sn＝＝＝108，解得n＝12.
(2) 2n－1　解析：设等差数列{an}的公差为d.由题意，得解得因为等差数列{an}是递增数列，所以所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(3) ①设等差数列{an}的公差为d.
由a1＝1，a3＝－3，得1＋2d＝－3，
解得d＝－2，
故an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
②由①知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，得2k－k2＝－35，
解得k＝7或 k＝－5.
又k∈N*，故k＝7.
链接高考
1. B　解析：设等差数列{an}的公差为d.由题意，得解得所以S6＝6a1＋15d＝6×5＋15×(－3)＝－15.
2. B　解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d.由题意，得a5＝a1＋4d＝1①.由S5＝S10，得5a1＋10d＝10a1＋45d，即a1＋7d＝0②.联立①②，解得a1＝.
方法二：由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，得a8＝0，则公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝.
3. 95　解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d.由题意，得解得所以S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95.
方法二：由题意，得a3＋a4＝a2＋a5＝7，则(3a2＋a5)－(a2＋a5)＝2a2＝－2，解得a2＝－1，所以公差d＝＝＝3，首项a1＝a2－d＝－4，所以S10＝10a1＋45d＝95.
例2　(1) ①因为S10＝a1＋a2＋…＋a10，
S22＝a1＋a2＋…＋a22，且S10＝S22，
所以a11＋a12＋…＋a22＝0，即＝0，
所以a11＋a22＝2a1＋31d＝0.
又a1＝31，所以d＝－2，
所以Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2.
②由①知Sn＝32n－n2＝－(n－16)2＋256，
所以当n＝16时，Sn有最大值256.
(2) ①设等差数列{an}的公差为d.
由题意，得
将a1＝a3－2d＝12－2d代入，得
解得－②S6的值最大．理由如下：
由d<0可知数列{an}是递减数列，
所以当 1≤n≤12，n∈N*时，若an>0且an＋1<0，则Sn最大．
因为S13＝13a7<0，S12＝6(a6＋a7)>0，
所以a7<0，a6>0，所以前6项和S6的值最大．
变式训练　(1) －2　解析：由题意，得an＝10＋(n－1)×(－3)＝－3n＋13，则cn＝＝＝，所以c1>0，c2>0，c3>0，c4＝－2，当n≥5时，cn>0恒成立，故(cn)min＝－2.
(2) 15　解析：由S10＝S20，得10a1＋d＝20a1＋d，所以a1＝－d，所以Sn＝na1＋d＝－dn＋d＝dn2－15dn＝d(n－15)2－d.因为d<0，所以当Sn取最大值时，n＝15.
例3　(1) 3　解析：由题意，得S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质，得a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.
(2) 99　解析：由等差数列的性质及a1＋a4＋a7＝39，得3a4＝39，所以a4＝13.同理，由 a3＋a6＋a9＝27，得a6＝9，所以S9＝＝＝99.
(3) A　解析：＝＝＝＝＝＝.
变式训练　(1) 　解析：＝＝.
(2) 　解析：令Sn＝kn·(3n－2)＝k(3n2－2n).当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(6n－5)，所以a7＝37k.令Tn＝kn·(2n＋1)＝k(2n2＋n).当 n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝k(4n－1)，所以b6＝23k，所以＝.
链接高考
1. C　解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d.由a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，得a1＋3d＝5①；由a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，得a1＋7d＝9②.联立①②，解得d＝1，a1＝2，故S5＝5a1＋10d＝20.
方法二：因为a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，则公差d＝＝1，可得a3＝a4－1＝4，故S5＝5a3＝20.
2. 因为{bn}为等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，即＝＋，
所以6＝＝，
即a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d.
因为d>1，所以an>0.
又S99－T99＝99，
由等差数列性质，得99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，
所以a50－＝1，即a－a50－2 550＝0，
解得a50＝51或a50＝－50(舍去).
当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，
解得d＝1，与d>1矛盾，舍去；
当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，
解得d＝>1，符合题意．
综上，d的值为.
例4　(1) 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，①
所以Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1.
因为S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)，所以Sn－1≠0.
由①式，得－＝2(n≥2)，
所以是等差数列，其首项为＝＝2，公差为2.
(2) 由(1)，得＝2＋2(n－1)＝2n，
所以Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－；
当n＝1时，a1＝S1＝不适合上式，
所以an＝
变式训练　 (1) 因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.
又b1＝＝－，
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2) 由(1)知bn＝n－，
则an＝1＋＝1＋.
设f(x)＝1＋，
则f(x)在区间和上单调递减．
当1≤n≤3时，数列{an}为递减数列，且an<1；
当n≥4时，数列{an}为递减数列，且an>1，
所以当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.
链接高考
C　解析：若{an}为等差数列，设其公差为d，则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，所以－＝，故为等差数列，则甲是乙的充分条件；若为等差数列，则－＝＝为常数，设为t，即＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，可得Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减，得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，故{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的充要条件．(共48张PPT)
第六章
6.2　等差数列
数列
复习目标　1. 理解等差数列的概念.2. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4. 了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
等差数列
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2026马鞍山二中质量监测]在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 007＝S2 026.若Sk＝S2 012，则正整数k的值为 （ ）
A. 2 018 B. 2 019 C. 2 020 D. 2 021
【解析】由题意，得等差数列{an}的公差不为0.易知公差不为0的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 007＝S2 026，Sk＝S2 012，可得＝，解得k＝2 021.
D
2 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为 (　　)
A. 14π B. 18π
C. 30π D. 44π
D
C
等差
n·2n
5 [苏教版选必一P147习题T19改编]1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”(如图)，则此“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是__________．
20200
4 7 10 13 16 …
7 12 17 22 27 …
10 17 24 31 38 …
13 22 31 40 49 …
16 27 38 49 60 …
… … … … … …
【解析】由图可知，“正方形筛子”的每一行与每一列都是等差数列．因为第100行的第1个数a100，1是第1列的第100个数，且第1列的数组成以4为首项，3为公差的等差数列，所以a100，1＝4＋(100－1)×3＝301；因为第100行的第2个数a100，2是第2列的第100个数，且第2列的数组成以7为首项，5为公差的等差数列，所以a100，2＝7＋(100－1)×5＝502，所以第100行组成以301为首项，502－301＝201为公差的等差数列，故a100，100＝301＋(100－1)×201＝20 200.
活动二　典例悟法
题组一　等差数列基本量的计算
1
(1) [2026南京六十六中期初]若一个等差数列的前4项和为4，后4项和为68，所有项的和为108，则这个数列的项数n等于______；
12
(2) 已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝______；
2n－1
(3) 已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
①求数列{an}的通项公式；
②若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
【解析】①设等差数列{an}的公差为d.
由a1＝1，a3＝－3，得1＋2d＝－3，
解得d＝－2，
故an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
1 [2025全国二卷·7]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6的值为 (　　)
A. －20 B. －15
C. －10 D. －5
B
B
3 [2024新课标Ⅱ卷·12]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝______．
95
题组二　等差数列前n项和的最值
2
(1) 已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22.
①求Sn；
②这个数列的前多少项和最大？并求出这个最大值；
(2) 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
①求公差d的取值范围；
②指出S1，S2，…，S12中，哪一个值最大，并说明理由．
②S6的值最大．理由如下：
由d<0可知数列{an}是递减数列，
所以当 1≤n≤12，n∈N*时，若an>0且an＋1<0，则Sn最大．
因为S13＝13a7<0，S12＝6(a6＋a7)>0，
所以a7<0，a6>0，所以前6项和S6的值最大．
－2
(2) [2025南京中华中学期末]设Sn为等差数列{an}的前n项和，若公差d<0，且S10＝S20，则当Sn取最大值时，n的值为______．
15
题组三　等差数列性质的应用
(1) 若等差数列{an}的前17项和 S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝_____；
3
3
(2) 在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9＝______；
99
A
1 [2023全国甲卷(文)·5]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5的值为 (　　)
A. 25　　　　　　B. 22　　　　　　C. 20　　　　　　D. 15
C
题组四　等差数列的判定与证明
4
C
对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列．用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．
比如，对于满足an－an－1＝1(n≥3)的数列{an}而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定a2－a1是否等于1.
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