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6.3　等 比 数 列
复习目标　1. 理解等比数列的概念.2. 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4. 体会等比数列与指数函数的关系．
等比数列
活动一 基础引入
1 [2026南京六校联合体学情调研]在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，a4＋a8＝20，则a6的值为(　　)
A. 36 B. ±6
C. －6 D. 6
2 (多选)[2026马鞍山二中质量监测]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q. 若a1≠a2，a3－a2＝2(a4－a3)，a3·a4＝2a1，则下列结论中正确的是( )
A. q＝ B. a5＝2
C. a1＝32 D. S6＝126
3 若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“追梦数列”．已知数列为“追梦数列”，且b1＝2，则数列{bn}的通项公式bn＝________．
4 [苏教版选必一P161习题T13改编]三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，则这三个数为________．
5 [2026广东期末]记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝12，则S9的值为________．
活动二 典例悟法
题组一　等比数列的基本运算
1 (1) [2025前黄中学模拟]已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a4＝9，a2a3＝8，则S6＝________；(用数字作答)
(2) 已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________；
(3) 设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则 q＝________．
(1) 在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝________；
(2) [2025成都七中期中]设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________．
1 [2025全国一卷·13]若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________．
2 [2023全国乙卷(理)·15]已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．
等比数列的基本运算方法
1. 等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行．
2. 对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”问题．
题组二　等比数列的性质
2 (1) 在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________；
(2) [2025深圳一调]在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2＋a4＝9，则a4＝________；
(3) [2025南京大学附属中学模拟]已知等比数列{an}的公比为q(|q|≠1)，存在s，t∈N*，满足asat＝a，则＋的最小值为________．
[2023新课标Ⅱ卷·8]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8的值为(　　)
A. 120 B. 85
C. －85 D. －120
1. 等比数列的性质中，其核心性质是下标和性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则aman＝apaq＝a.
2. 等比数列前n项和的性质中，最核心的两条：
(1) 依次k项之和仍是等比数列(q≠－1)；
(2) Sn＝A－Aqn(q≠1，注意公式的形式).
3. 在应用性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
题组三　等比数列的判定与证明
3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且 an＋Sn＝n.
(1) 设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2) 求数列{an}的通项公式．
(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，求证：数列{bn}是等比数列；
(2) 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.
①令bn＝an＋1－an，求证：数列{bn}是等比数列；
②求数列{an}的通项公式．
等比数列判定与证明的注意点
1. 等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．
2. 证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a≠a1·a3或者是存在一个正整数m，使得a≠am·am＋2即可．
6．3　等 比 数 列
1. D　解析：由题意，得a3a4a5＝a＝8，解得a4＝2，所以a4＋a8＝2＋a8＝20，解得a8＝18.又a4a8＝a＝2×18＝36，解得a6＝±6.因为a6＝a4q2＝2q2>0，所以a6＝6.
2. AD　解析：因为a1≠a2，a2＝a1q，所以q≠1，所以a3≠a2.因为a3－a2＝2(a4－a3)，所以a3－a2＝2q(a3－a2)，解得q＝，故A正确；因为a3·a4＝2a1，所以aq5＝2a1，所以a1＝＝＝64，故C错误；a5＝a1q4＝64×＝4，故B错误；S6＝＝＝126，故D正确．故选AD.
3. 3n－1　解析：由－＝0(n∈N*)，得an＝3an＋1，所以数列{an}是公比为的等比数列．若数列为“追梦数列”，则＝×＝，所以bn＋1＝3n，即bn＝3n－1.
4. 1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1　解析：设这三个数为a，b，c，则由题意，得解得或或或
5. 13　解析：由等比数列前n项和的性质，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，所以9，3，S9－12成等比数列，所以9(S9－12)＝32＝9，解得S9＝13.
例1　(1) 63　解析：设等比数列{an}的公比为q.由a1＋a4＝9，a2a3＝8，得整理，得8(q3)2－65q3＋8＝0，解得q3＝或q3＝8.因为数列{an}为递增的等比数列，所以q>1，所以q＝2，将q＝2代入a1＋a1q3＝9，解得a1＝1，所以S6＝＝＝63.
(2) 2n　解析：设等比数列{an}的公比为q(q>1).因为2(an＋an＋2)＝5an＋1，所以2an＋2an·q2＝5an·q，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去).又因为a＝a10＝a5·q5，所以a5＝q5＝25＝32，所以32＝a1·q4，解得a1＝2，所以an＝2×2n-1＝2n.
(3) 　解析：由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍去).
变式训练　(1) 　解析：在等比数列{an}中，a＝a3a5.又a4＝a3a5，所以a4＝1.又a1＝8，所以q＝，所以 a7＝a1q6＝.
(2) 　解析：显然公比q≠1，由题意，得解得或(舍去)，故S5＝＝＝.
链接高考
1. 2　解析：设该等比数列为{an}且公比为q(q>0)，其前n项和为Sn，则S4＝4，S8＝68.
方法一(利用等比数列的通项公式与前n项和的定义)：由题意，得S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，S8＝(a1＋a2＋a3＋a4)(1＋q4)＝4(1＋q4)＝68，则q4＝16，解得q＝2(负值舍去).
方法二(利用等比数列的求和公式作商)：由题意，得q≠1，则两式相除，得1＋q4＝17，即q4＝16，解得q＝2(负值舍去).
方法三(利用等比数列的前n项和性质)：由题意，得q≠1，则S4，S8－S4，S12－S8，…成公比为q4的等比数列，所以＝＝q4，解得q＝2(负值舍去).
2. －2　解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1.因为a9a10＝－8，所以a1q8·a1q9＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，即q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2.
例2　(1) 1 024　解析：由等比数列的性质可知，依次4项的积构成等比数列，设其公比为q，T1＝a1a2a3a4＝1，T4＝a13a14a15a16＝8，所以T4＝T1q3＝q3＝8，即q＝2，所以T11＝a41a42a43a44＝T1q10＝210＝1 024.
(2) 6　解析：设等比数列{an}的公比为q.由a1a3＝a＝9，得a2＝±3.若a2＝－3，则a4＝12＝a2q2＝－3q2，可得q2＝－4<0矛盾，所以a2＝3，此时a4＝6，q2＝＝2，符合题意，所以a4＝6.
(3) 　解析：在等比数列{an}中，由asat＝a，得a1qs-1a1qt-1＝(a1q4)2，即qs＋t-2＝q8，则s＋t＝10，s，t∈N*，所以＋＝·(s＋t)＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即s＝，t＝时，等号成立．又s，t∈N*，由对勾函数的性质知，当s＝7，t＝3时，＋＝＋＝；当s＝6，t＝4时，＋＝＋＝. 又<，所以当s＝7，t＝3时，＋取得最小值.
链接高考
C　解析：方法一(公式法)：设等比数列{an}的公比为q.若q＝－1，则S4＝0≠－5，与题意不符，故q≠－1；若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2≠0，与题意不符，故q≠1.由S4＝－5，S6＝21S2，得＝－5，＝21×①.由①，得1＋q2＋q4＝21，所以q2＝4，故S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.
方法二(性质法)：设等比数列{an}的公比为q.因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，故S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，则(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6为－1，－4，－16，S8＋21，则S8＋21＝－64，故S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去．综上，S8的值为－85.
例3　(1) 因为an＋Sn＝n，①
所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
由②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，
所以2an＋1＝an＋1，所以2(an＋1－1)＝an－1，
所以＝.
因为a1＋S1＝2a1＝1，所以a1＝.
因为cn＝an－1，所以c1＝a1－1＝－，
所以{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．
(2) 由(1)可知cn＝·＝－，
所以an＝cn＋1＝1－.
变式训练　(1) 由例3(2)知an＝1－，
则当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－[1－()n-1]＝－＝.
又b1＝a1＝也符合上式，所以bn＝，n∈N*.
因为＝，n∈N*，所以数列{bn}是等比数列．
(2) ①由题意，得b1＝a2－a1＝1.
当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－·bn－1，则＝－，
所以数列{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列．
②由①知，bn＝an＋1－an＝，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋＋…＋＝1＋＝1＋·＝－×.
又当n＝1时，－×＝1＝a1，
故an＝－×，n∈N*.(共36张PPT)
第六章
6.3　等比数列
数列
复习目标　1. 理解等比数列的概念.2. 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4. 体会等比数列与指数函数的关系．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2026南京六校联合体学情调研]在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，a4＋a8＝20，则a6的值为 (　　)
A. 36 B. ±6
C. －6 D. 6
D
AD
3n－1
4 [苏教版选必一P161习题T13改编]三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，则这三个数为________________________ ______________________.
1，3，9或－1，3，－9或
9，3，1或－9，3，－1
5 [2026广东期末]记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝12，则S9的值为_______．
13
活动二　典例悟法
题组一　等比数列的基本运算
1
(1) [2025前黄中学模拟]已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a4＝9，a2a3＝8，则S6＝______；(用数字作答)
63
2n
(3) 设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4
＝3a4＋2，则 q＝______．
(1) 在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝____；
(2) [2025成都七中期中]设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n
项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝______．
1 [2025全国一卷·13]若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_____．
【解析】设该等比数列为{an}且公比为q(q>0)，其前n项和为Sn，则S4＝4，S8＝68.
方法一(利用等比数列的通项公式与前n项和的定义)：由题意，得S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，S8＝(a1＋a2＋a3＋a4)(1＋q4)＝4(1＋q4)＝68，则q4＝16，解得q＝2(负值舍去).
2
2 [2023全国乙卷(理)·15]已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝_______．
【解析】设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1.因为a9a10＝－8，所以a1q8·a1q9＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，即q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2.
－2
等比数列的基本运算方法
1. 等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行．
2. 对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”问题．
(1) 在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝_________；
2
【解析】由等比数列的性质可知，依次4项的积构成等比数列，设其公比为q，T1＝a1a2a3a4＝1，T4＝a13a14a15a16＝8，所以T4＝T1q3＝q3＝8，即q＝2，所以T11＝a41a42a43a44＝T1q10＝210＝1 024.
1024
题组二　等比数列的性质
(2) [2025深圳一调]在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2＋a4＝9，则a4＝_____；
6
[2023新课标Ⅱ卷·8]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8的值为 (　　)
A. 120 B. 85
C. －85 D. －120
C
题组三　等比数列的判定与证明
3
已知数列{an}的前n项和为Sn，且 an＋Sn＝n.
(1) 设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2) 求数列{an}的通项公式．
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一、 单选题
1 [2025南京月考]已知等比数列{an}的前6项和为63，其中偶数项的和是奇数项的和的两倍，则a1的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. D. 3
2 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第5天和第6天共走了(　　)
A. 24里 B. 6里
C. 18里 D. 12里
3 [2025南京宁海中学一模]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6的值为(　　)
A. 7 B. 6 C. 3 D. 2
4 [2025盐城月考]已知数列{an}的前n项和Sn＝(1－an)(n∈N*)，2＋bn＝3an，且数列{cn}满足cn＝·bn.若集合{n|cn>λ，λ∈R}中有三个元素，则实数λ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多选题
5 [2026昭通正道中学等校开学考试]在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＝14，2a4＋3a3－2a2＝0，数列的前n项积为Tn，则下列结论中正确的是(　　)
A. {an}是递减数列
B. {an}是递增数列
C. {an}中的项为整数的只有2个
D. Tn的最大值为T4
6 [2026淮安月考]在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和．若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法中正确的是(　　)
A. q＝2
B. 数列{lg an}是公差为2的等差数列
C. S8＝510
D. 数列{Sn＋2}是等比数列
7 [2026南京金陵中学月考]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6a3＋1，a2＝2，则下列说法中正确的是(　　)
A. q＝
B. 数列{an}有最小项
C. 数列{an}为递减数列
D. an＋Sn＝8
三、 填空题
8 [2026宜宾一中期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3an＝2Sn＋1，则a6＝________．
9 [2026重庆一模]已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S21＝________．
10 [2025南通月考]如图，已知正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，以此方法一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和趋近于________．
四、 解答题
11 [2025南京期中]已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a1，a4，a13成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若m12 [2025连云港杨集高级中学模拟]在数列{an}中，a1＝0，对任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为k.
(1) 判断a4，a5，a6是否成等比数列？并说明理由；
(2) 求证：a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列；
(3) 设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn<3.
6．3　等 比 数 列
1. A　解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意，得＝＝q＝2.又S6＝＝a1×＝63，解得a1＝1.
2. C　解析：设每天所走的路程为{an}. 由题意，得{an}的公比为，前6项和为378，所以＝378，解得a1＝3×26，所以an＝3×27-n，所以a5＋a6＝3×(4＋2)＝18.
3. C　解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意，得S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝168，a2－a5＝a1q(1－q3)＝a1q(1－q)(1＋q＋q2)＝42，所以q(1－q)＝，即4q2－4q＋1＝0，解得q＝，则a1＝168×＝96，故a6＝a1·q5＝96×＝3.
4. A　解析：由题意，得Sn＝(1－an)＝－an，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，所以an＝an－1；当n＝1时，S1＝－a1＝a1，解得a1＝，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，所以an＝(n∈N*).又2＋bn＝3logan，所以bn＝3logan－2＝3log－2＝3n－2，所以cn＝·bn＝×(3n－2)，则cn＋1－cn＝(3n＋1)×－(3n－2)×＝，当n＝1时，c1＝×(3×1－2)＝；当n≥2时，cn＋1－cn<0，即c2>c3>c4>…>cn.又c2＝×(3×2－2)＝1，c3＝×(3×3－2)＝，c4＝×(3×4－2)＝，c5＝×(3×5－2)＝，所以数列{cn}中的项从大到小排列为1，，，，，….因为集合{n|cn>λ，λ∈R}中有三个元素，所以≤λ<.
5. ACD　解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0).由2a4＋3a3－2a2＝0，得2a2q2＋3a2q－2a2＝0，即2q2＋3q－2＝0，解得q＝或q＝－2(舍去).因为a1＝14，所以an＝14×，故A正确，B错误；因为an＝14×，所以a1＝14，a2＝7，a3＝，a4＝>1，a5＝<1，当n≥6时，an＜1，所以当n≥3时，an不为整数，故C正确；因为q＝，且a4＝>1，a5＝<1，所以T4最大，故D正确．故选ACD.
6. ACD　解析：由题意，得解得或因为等比数列{an}的公比q为整数，所以所以等比数列{an}的通项公式为an＝2×2n-1＝2n，故A正确；因为lg an＝lg 2n＝n lg 2，所以lg a1＝lg 2，且当n≥2时，lg an－lg an－1＝n lg 2－(n－1)·lg 2＝lg 2，所以数列{lg an}是首项为lg 2，公差为lg 2的等差数列，故B错误；因为a1＝2，q＝2，所以Sn＝＝2n+1－2，所以S8＝29－2＝510，故C正确；易得Sn＋2＝2n+1，所以S1＋2＝4，且当n≥2时，＝＝2，所以数列{Sn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，故D正确．故选ACD.
7. ACD　解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0).对于A，由题意，得解得或(舍去)，故A正确；对于B，C，an＝4×＝23-n，所以数列{an}为递减数列，无最小项，故B错误，C正确；对于D，Sn＝＝8－23-n，所以an＋Sn＝23-n＋8－23-n＝8，故D正确．故选ACD.
8. 243　解析：对于3an＝2Sn＋1①，当n＝1时，3a1＝2S1＋1＝2a1＋1，所以a1＝1；当n≥2时，3an－1＝2Sn－1＋1②，由①－②，得3an－3an－1＝2(Sn－Sn－1)＝2an，所以an＝3an－1，即＝3，所以数列{an}是以a1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以a6＝1×35＝243.
9. 381　解析：由题意，得S3＝a1＋a2＋a3＝3，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝6，所以＝2.易知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12，S18－S15，S21－S18成等比数列，且该等比数列的首项为3，公比为2，所以S21＝S3＋S6－S3＋…＋S21－S18＝＝381.
10. 50　解析：记第n个正方形的面积为Sn，第n个正方形的边长为an，则第n个正方形的对角线长为an，所以第n＋1个正方形的边长为an＋1＝an，所以＝，所以数列{an}是首项为a1＝5，公比为的等比数列，所以an＝5×，所以Sn＝a＝25×，所以＝＝，所以数列{Sn}是首项为S1＝25，公比为的等比数列，所以S1＋S2＋…＋Sn＝＝50×，所以若这个作图过程一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和趋近于50.
11. (1) 设等差数列{an}的公差为d，d≠0.
因为S5＝5a1＋d＝35，所以a1＋2d＝7.
又a1，a4，a13成等比数列，所以a＝a1·a13，
即(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，即9d2＝6a1d.
因为d≠0，所以3d＝2a1，
所以a1＝3，d＝2，
所以an＝2n＋1.
(2) 方法一：由题意，得＝＋，
则＝＋，
整理，得2m＋1＝＝6－.
因为m方法二：由题意，得＝＋，
所以＝＋>，
所以m<.
又m∈N*，所以m＝1或m＝2.
当m＝1时，n＝1，与m当m＝2时，n＝7，符合题意．
综上，m＝2，n＝7.
12. (1) a4，a5，a6成等比数列，理由如下：
当k＝1时，a1，a2，a3成公差为1的等差数列，
则a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋1＝2；
当k＝2时，a3，a4，a5成公差为2的等差数列，
则a4＝a3＋2＝4，a5＝a4＋2＝6；
当k＝3时，a5，a6，a7成公差为3的等差数列，
则a6＝a5＋3＝9.
因为＝＝，＝＝，所以＝，
故a4，a5，a6成等比数列．
(2) 因为a2k－1，a2k，a2k＋1成公差为k的等差数列，
所以a2k＋1－a2k－1＝2k，
可得a3－a1＝2×1，a5－a3＝2×2，a7－a5＝2×3，…，a2k－1－a2k－3＝2(k－1)，
累加，得(a3－a1)＋(a5－a3)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2[1＋2＋3＋…＋(k－1)]＝k(k－1)，
所以a2k－1＝k(k－1)＋a1＝k(k－1).
因为a2k－1，a2k，a2k＋1成公差为k的等差数列，
所以a2k＝a2k－1＋k＝k(k－1)＋k＝k2，
a2k＋1＝a2k＋k＝k2＋k＝k(k＋1).
又因为a2k＋1，a2k＋2，a2k＋3成公差为k＋1的等差数列，
所以a2k＋2＝a2k＋1＋(k＋1)＝k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)2，
所以＝，
故a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列．
(3) 由(2)，可得当n为奇数时，an＝；
当n为偶数时，an＝，
所以当n为奇数时，bn＝<＝2；
当n为偶数时，bn＝＝2，
所以对一切正整数n，有0所以Sn≥b1＝1.
当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn－1＋bn
<2[＋＋＋＋＋…＋＋]
＝2(1＋－－)＝3－2<3.
综上，1≤Sn<3.

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