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7．1　平面的基本性质、空间两条直线的位置关系
复习目标　1. 了解平面的基本性质(3个基本事实及3个推论)，了解空间两直线的位置关系.2. 掌握基本事实4及等角定理的应用.3. 掌握异面直线的判断方法，会求异面直线所成的角．
平面的基本性质
活动一 基础引入
1 下列说法中，错误的是(　　)
A. 经过两条平行直线，有且只有一个平面
B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C. 若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC成异面直线的棱有(　　)
A. 3条 B. 4条 C. 6条 D. 8条
3 [2025青州一中月考]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，则过点D1，B，E的截面图形为(　　)
A. 三角形 B. 矩形
C. 正方形 D. 菱形
4 [2026镇江丹阳吕叔湘中学、马相伯高级中学期初]在正四面体ABCD中，M，N分别为BC，BD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
5 (多选)[2026石家庄一中期初]已知异面直线a与b所成的角为60°，平面α与平面β的夹角为80°，直线a与平面α所成的角为15°，P为平面α，β外一定点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 过点P且与直线a，b所成的角均为30°的直线有3条
B. 过点P且与平面α，β所成的角都是30°的直线有4条
C. 过点P作与平面α成55°角的直线，可以作无数条
D. 过点P作与平面α成55°角，且与直线a成60°角的直线，可以作3条
活动二 典例悟法
题组一　了解平面的基本性质
1 下列四个命题中，正确的个数是(　　)
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
已知平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
2 如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1) E，F，G，H四点共面；
(2) 直线FH，EG，AC共点．
(多选)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是其所在棱的中点，则四个点共面的图形是(　　)
A B C D
共面、共线、共点问题的证明
1. 证明点或线共面问题的两种方法：(1) 首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2) 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2. 证明点共线问题的两种方法：(1) 先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2) 直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3. 证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
题组二　判断空间两直线的位置关系
3 [2025上海控江中学期中]若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题中正确的是(　　)
A. l与l1，l2都不相交
B. l与l1，l2都相交
C. l至多与l1，l2中的一条相交
D. l至少与l1，l2中的一条相交
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列结论中错误的是(　　)
A. MN与CC1垂直 B. MN与AC垂直
C. MN与BD平行 D. MN与A1B1平行
空间中两直线的位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
4 (多选)[2026镇江一中等校期初改编]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则下列说法中正确的是(　　)
A. BP与DD1一定是异面直线
B. BP与AC一定是异面直线
C. 存在λ，使得BP与B1C是异面直线
D. 当λ＝1时，BP与A1D是异面直线
(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列说法中正确的是(　　)
A. GH与EF平行
B. BD与MN为异面直线
C. GH与MN成60°角
D. DE与MN垂直
证明直线异面通常用反证法，证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．有时也可以用直接法证明．
题组三　掌握异面直线所成的角
5 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；
(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小．
求异面直线所成角的一般步骤
1. 平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条得到相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点．
2. 证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角．
3. 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
4. 取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是，所以当所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
其中平移的方法一般有3种类型：
(1) 利用图形中已有的平行线平移．
(2) 利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．
(3) 补形平移．
计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
7．1　平面的基本性质、空间两条直线的位置关系
1. C　解析：对于A，由推论3可知经过两条平行直线，有且只有一个平面，故A正确；对于B，由推论2可知两条相交直线确定唯一平面，由题意，得第三条直线与相交的两条直线分别相交于两个不同的点，根据直线上两个不同的点在一个平面内，该直线也在平面内，可知确定的平面唯一，故B正确；对于C，由平面α与平面β相交，得两平面一定相交于一条直线，在该直线上存在无数个点，故C错误；对于D，根据基本事实3，可知D正确．
2. C　解析：由正方体的特征可知与直线AC成异面直线的棱分别是BB1，DD1，A1D1，B1A1，B1C1，C1D1，共6条．
3. D　解析：如图，取BB1，CC1的中点分别为G，F，连接A1G，BF，D1F，GF，易得四边形D1EBF即为过点D1，B，E截正方体所得的截面图形．由题意可知，A1E∥GB且A1E＝GB，所以四边形A1EBG为平行四边形，所以A1G∥EB.因为GF∥B1C1且GF＝B1C1，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，所以A1D1∥GF且A1D1＝GF，所以四边形A1GFD1为平行四边形，所以D1F∥A1G，可得D1F∥EB，同理可得 ED1∥BF，所以四边形D1EBF为平行四边形．因为EB＝BF，所以平行四边形D1EBF为菱形．显然D1E2＋BE2≠D1B2，所以四边形D1EBF不是正方形．故截面图形为菱形．
4. D　解析：如图，若E为BN的中点，连接AE，EM，AN，则EM∥CN且EM＝CN，所以直线AM和CN的夹角即为直线AM和EM的夹角，为∠AME或其补角．若正四面体的棱长为4，则AN＝CN＝AM＝2，EM＝，EN＝1，AE＝＝，所以cos ∠AME＝＝＝.综上，直线AM和CN夹角的余弦值为.
5. BC　解析：因为异面直线a与b所成的角为60°，所以过点P分别与直线a，b平行的直线a′，b′的夹角为60°，在直线a′，b′确定的平面内过点P且与a′，b′都成30°角的直线只有1条，所以过点P且与直线a，b所成角均为30°的直线只有1条，故A错误；因为平面α与平面β的夹角为80°，所以过点P且与平面α，β所成角都是＝40°和＝50°的直线各有一条m，n，若过点P且与平面α，β所成的角都是30°，则在直线m的两侧各有一条，在直线n的两侧各有一条，所以共2×2＝4(条)，故B正确；以P为顶点，母线与底面成55°角的圆锥底面所在平面为α，满足点P在α外，且过点P的直线与平面α成55°角，如图，圆锥PO的每条母线与平面α都成55°角，所以可以作无数条，故C正确；过点P作PZ∥a，交平面α于点Z，过点Z及圆锥底面圆心O的直线与圆锥底面圆交于点Q1，Q2.显然∠Q1PQ2＝70°，∠ZPQ1＝40°，∠ZPQ2＝110°，设Q为圆锥底面圆周上任意一点，则40°≤∠ZPQ≤110°，所以圆锥的母线中与直线PZ成60°的直线有2条，即与直线a成60°的直线有2条，故D错误．故选BC.
例1　B　解析：①显然是正确的；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面，故②错误；③构造长方体，如图，显然b，c异面，故③错误；④空间四边形中四条线段不共面，故④错误．故正确的个数为1.
变式训练　1或4　解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
例2　(1) 因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD.
又CG＝BC，CH＝DC，
所以GH∥BD，所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点共面．
(2) 易知直线FH与直线AC不平行，但共面，
设FH∩AC＝M，
所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，
所以M∈EG，所以直线FH，EG，AC共点．
变式训练　ABC　解析：对于A，四边形PQRS为梯形，故A正确；对于B，如图，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形，故B正确；对于C，可证四边形PQRS为平行四边形，故C正确；对于D，可证点Q所在棱与平面PRS平行，所以P，Q，R，S四点不共面，故D错误．故选ABC.
例3　D　解析：若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．
变式训练　D　解析：如图，连接B1C，B1D1，设B1C∩BC1＝M.因为M，N分别是B1C，CD1的中点，所以MN是△B1CD1的中位线，所以MN∥B1D1.又BD∥B1D1，所以MN∥BD.因为CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，所以MN⊥CC1，MN⊥AC.又A1B1与B1D1相交，所以MN与A1B1不平行．故A，B，C正确，D错误．
例4　BCD　解析：由＝λ(0≤λ≤1)，得点P在线段A1C1上．对于A，当P为A1C1与B1D1的交点时，点B，P均在平面BB1D1D内，则BP与DD1不是异面直线，故A错误；对于B，因为P 平面ABCD，B∈平面ABCD，AC 平面ABCD，且B AC，所以BP与AC一定是异面直线，故B正确；对于C，易知B1C∥A1D.当λ＝0时，BP即为BA1，因为BA1∩A1D＝A1，所以BP与B1C异面；当0＜λ＜1时，BP与B1C是异面直线；当λ＝1时，BP即为BC1，此时BP与B1C相交，故C正确；对于D，当λ＝1时，BP即为BC1，因为BC1∥AD1，且AD1与A1D相交，所以BC1与A1D是异面直线，故D正确．故选BCD.
变式训练　BCD　解析：将正四面体的平面展开图还原．如图，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角．易证DE⊥AF，又MN∥AF，所以DE⊥MN.故选BCD.
例5　C　解析：如图，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接AD1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以cos ∠B1AD1＝＝，即异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
变式训练　(1) 假设EF与BD不是异面直线，
则EF与BD共面，所以DF与BE共面，
即AD与BC共面，所以点A，B，C，D在同一平面内，
这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，
故直线EF与BD是异面直线．
(2) 取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，BD∥EG，
所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，所以FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝BD＝AC＝FG，得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.7．1　平面的基本性质、空间两条直线的位置关系
一、 单选题
1 [2025南通月考]已知空间中有8个点，其中任意4个点不共面，过每3个点作一个平面，则可以作的平面个数为(　　)
A. 42 B. 56 C. 64 D. 81
2 已知点E，F，G，H分别在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，若EF∥GH，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线EH与FG一定平行
B. 直线EH与FG一定相交
C. 直线EH与FG可能异面
D. 直线EH与FG一定共面
3 下列结论中，正确的是(　　)
A. 若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个
B. 若直线m与平面α内的无数条直线平行，则直线m与平面α平行
C. 若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与a平行
D. 若直线l⊥平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有且只有一个
4 [2026南京二十九中期初]在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值为(　　)
A. B. －
C. － D.
二、 多选题
5 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有(　　)
A. AA1
B. BB1
C. CC1
D. DD1
6 [2025咸阳期末]如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中G是CD的中点，在这个正方体中，下列结论中正确的是(　　)
A. BM与ED平行
B. CN⊥AF
C. 直线AB，EN，CM中，任意两条都是异面直线
D. 过B，N，G三点的平面截该正方体所得截面的面积为2
7 [2026山东月考]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BC，CD的中点，P是线段D1M上靠近点M的三等分点，则下列结论中正确的是(　　)
A. M，N，B1，D1四点共面
B. A1，P，C三点不共线
C. 异面直线AP与BB1所成角的余弦值为
D. A1P与底面ABCD所成角的正弦值为
三、 填空题
8 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，则AB1与BC1所成角的大小为________．
9 给出下列说法：①共面的四点中，任意三点不共线；②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；③三条两两相交的直线在同一平面内；④有三个不同公共点的两个平面重合；⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面．其中正确的是________．(填序号)
10 在下列图中，若G，N，M，H是正三棱柱的顶点或其所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)
① ② ③ ④
　
　
四、 解答题
11 如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱BC和CC1的中点．求证：
(1) A，E，F，D1四点共面；
(2) AE，D1F，DC三条直线交于一点．
12 如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E，F分别为BC，AD的中点．
(1) 若AB⊥CD，求EF与AB所成角的大小；
(2) 若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长．
7．1　平面的基本性质、空间两条直线的位置关系
1. B　解析：由题意，得3个不共线的点确定一个平面，且所确定的平面与点的顺序无关，所以可以作的平面个数为C＝56.
2. D　解析：如图1，因为EF∥GH，所以E，F，G，H四点确定一个平面EFGH，所以直线EH与FG一定共面，故D正确，C错误；如图2，只有当EF∥GH，且EF＝GH时，EH∥FG，故A错误；如图3，只有当EF∥GH，且EF≠GH时，EH与FG相交于点O，故B错误．
图1 图2 图3
3. C　解析：对于A，因为a与b是异面直线，所以过直线a与直线b平行的平面有且仅有一个，故A错误；对于B，可能有m α，故B错误；对于C，因为平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，所以直线a与点M可确定平面γ.设γ∩β＝b，则b为过点M的唯一一条与直线a平行的直线，故C正确；对于D，显然过l的平面有无数个，并且每个平面都与α垂直，故D错误．
4. D　解析：如图，连接BF.因为C1F＝BE，C1F∥BE，所以四边形C1FBE为平行四边形，所以BF∥C1E，所以∠DFB(或其补角)即为异面直线DF与C1E所成的角．设AB＝2，则BD＝1，BF＝＝.连接EF，DE，则DE＝AC＝1.因为EF∥BB1，所以EF⊥平面ABC.又DE 平面ABC，所以EF⊥DE.易知EF＝BB1＝2，所以DF＝＝＝.在△BDF中，由余弦定理，得cos ∠DFB＝＝＝，所以异面直线DF与C1E所成角的余弦值为.
5. AC　解析：显然BB1∩BM＝B，DD1∩BM＝M，故B，D不符合题意；AA1和CC1与直线BM既不平行，也不相交，是异面直线，故A，C符合题意．故选AC.
6. BCD　解析：将平面展开图还原成正方体如图所示．对于A，连接AN.易得BM∥AN，AN⊥ED，所以BM⊥ED，故A错误；对于B，连接EB.易得CN∥EB，EB⊥AF，所以CN⊥AF，故B正确；对于C，显然AB，EN，CM两两异面，故C正确；对于D，如图，取EF的中点为H，连接NH，BH，HG.由H，G分别为EF，CD的中点，得NH＝BH＝BG＝NG＝＝，所以四边形NHBG为菱形，即N，H，B，G四点共面，故菱形NHBG为所求截面．易知BN＝＝2，HG＝＝2，所以截面的面积为×2×2＝2，故D正确．故选BCD.
7. AD　解析：对于A，显然MN∥BD，又BD∥B1D1，所以MN∥B1D1，所以M，N，B1，D1四点共面，故A正确；对于B，易知CM∥A1D1，所以CM与A1D1共面．又CM＝A1D1，所以A1C与D1M的交点恰为D1M上靠近点M的三等分点，即为点P，故B错误；对于C，异面直线AP与BB1所成的角即为∠A1AP，由＝＋＝＋＋，得||＝＝||，显然在上的投影向量为，所以·＝||2，故cos 〈，〉＝＝，故C错误；对于D，由B可知直线A1P与底面ABCD所成的角即直线A1C与底面ABCD所成的角，即为∠ACA1，且sin ∠ACA1＝＝，故D正确．故选AD.
8. 60°　解析：如图，设BC1∩B1C＝D，取AC的中点E，连接BE，DE，则DE∥AB1，所以AB1与BC1所成的角是∠BDE或其补角．易得AB1＝BC1＝AC＝，所以DE＝BD＝BE＝，所以△BDE是等边三角形，所以∠BDE＝60°.故AB1与BC1所成角的大小为60°.
9. ⑤　解析：对于①，共面的四点中，可能出现三点共线，故①错误；对于②，在空间中，这两条直线还可能是异面直线，故②错误；对于③，在正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内，故③错误；对于④，当三个不同的公共点都在两个平面的交线上时，两个平面不一定重合，故④错误；对于⑤，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，故⑤正确．
10. ②④　解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，所以直线GH与MN是异面直线；图③中，连接MG，则GM∥HN，所以GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，所以直线GH与MN是异面直线．综上，图②④中GH与MN是异面直线．
11. (1) 连接EF，BC1，AD1.
因为E，F分别是棱BC和CC1的中点，
所以EF∥BC1.
因为多面体ABCD-A1B1C1D1是正方体，
所以C1D1∥AB，C1D1＝AB，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，
所以BC1∥AD1，
所以EF∥AD1，
所以A，E，F，D1四点共面．
(2) 由(1)知，EF∥AD1，且EF＝AD1，
所以AE和D1F必交于一点．
设AE∩D1F＝P.
因为AE 平面ABCD，
所以P∈平面ABCD.
因为D1F 平面DCC1D1，
所以P∈平面DCC1D1.
又平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC，
所以P∈DC，
所以AE，D1F，DC三条直线交于一点．
12. (1) 如图，取BD的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别为BC，AD的中点，
所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB.
又AB＝CD，且AB⊥CD，
所以EG＝GF，且EG⊥GF.
在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，
所以△EGF为等腰直角三角形，则∠EFG＝45°.
因为GF∥AB，
所以EF与AB所成的角即为∠EFG，
即EF与AB所成角的大小为45°.
(2) 因为AB＝CD＝2，
所以EG＝GF＝1.
因为AB与CD所成角的大小为60°，
所以∠EGF＝60°或∠EGF＝120°.
在△EGF中，当∠EGF＝60°时，△EGF为等边三角形，故EF＝1；
在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理，得EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos 120°＝3，
故EF＝.
综上，线段EF的长为1或 .(共40张PPT)
第七章
7.1　平面的基本性质、空间两条直线的位置关系
立体几何与空间向量
复习目标　1. 了解平面的基本性质(3个基本事实及3个推论)，了解空间两直线的位置关系.2. 掌握基本事实4及等角定理的应用.3. 掌握异面直线的判断方法，会求异面直线所成的角．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 下列说法中，错误的是 (　　)
A. 经过两条平行直线，有且只有一个平面
B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C. 若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
C
【解析】对于A，由推论3可知经过两条平行直线，有且只有一个平面，故A正确；对于B，由推论2可知两条相交直线确定唯一平面，由题意，得第三条直线与相交的两条直线分别相交于两个不同的点，根据直线上两个不同的点在一个平面内，该直线也在平面内，可知确定的平面唯一，故B正确；对于C，由平面α与平面β相交，得两平面一定相交于一条直线，在该直线上存在无数个点，故C错误；对于D，根据基本事实3，可知D正确．
2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC成异面直线的棱有 (　　)
A. 3条 B. 4条
C. 6条 D. 8条
【解析】由正方体的特征可知与直线AC成异面直线的棱分别是BB1，DD1，A1D1，B1A1，B1C1，C1D1，共6条．
C
3 [2025青州一中月考]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，则过点D1，B，E的截面图形为 (　　)
A. 三角形
B. 矩形
C. 正方形
D. 菱形
D
【解析】如图，取BB1，CC1的中点分别为G，F，连接A1G，BF，D1F，GF，易得四边形D1EBF即为过点D1，B，E截正方体所得的截面图形．由题意可知，A1E∥GB且A1E＝GB，所以四边形A1EBG为平行四边形，所以A1G∥EB.因为GF∥B1C1且GF＝B1C1，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，所以A1D1∥GF且A1D1＝GF，所以四边形A1GFD1为平行四边形，所以D1F∥A1G，可得D1F∥EB，同理可得 ED1∥BF，
所以四边形D1EBF为平行四边形．因为EB＝BF，所以平行四边形D1EBF为菱形．显然D1E2＋BE2≠D1B2，所以四边形D1EBF不是正方形．故截面图形为菱形．
D
5 (多选)[2026石家庄一中期初]已知异面直线a与b所成的角为60°，平面α与平面β的夹角为80°，直线a与平面α所成的角为15°，P为平面α，β外一定点，则下列结论中正确的是 (　　)
A. 过点P且与直线a，b所成的角均为30°的直线有3条
B. 过点P且与平面α，β所成的角都是30°的直线有4条
C. 过点P作与平面α成55°角的直线，可以作无数条
D. 过点P作与平面α成55°角，且与直线a成60°角的直线，可以作3条
BC
以P为顶点，母线与底面成55°角的圆锥底面所在平面为α，满足点P在α外，且过点P的直线与平面α成55°角，如图，圆锥PO的每条母线与平面α都成55°角，所以可以作无数条，故C正确；过点P作PZ∥a，交平面α于点Z，过点Z及圆锥底面圆心O的直线与圆锥底面圆交于点Q1，Q2.显然∠Q1PQ2＝70°，∠ZPQ1＝40°，∠ZPQ2＝110°，设Q为圆锥底面圆周上任意一点，则40°≤∠ZPQ≤110°，所以圆锥的母线中与直线PZ成60°的直线有2条，即与直线a成60°的直线有2条，故D错误．故选BC.
活动二　典例悟法
题组一　了解平面的基本性质
1
下列四个命题中，正确的个数是 (　　)
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
B
【解析】①显然是正确的；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面，故②错误；③构造长方体，如图，显然b，c异面，故③错误；④空间四边形中四条线段不共面，故④错误．故正确的个数为1.
已知平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
【解析】若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
1或4
2
(多选)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是其所在棱的中点，则四个点共面的图形是 (　　　)
ABC
A
B
C
D
【解析】对于A，四边形PQRS为梯形，故A正确；对于B，如图，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形，故B正确；对于C，可证四边形PQRS
为平行四边形，故C正确；对于D，可证点Q所在棱与平面PRS平行，所以P，Q，R，S四点不共面，故D错误.故选ABC.
如何证明空间点、线共面？如何证明空间三点共线？三线共点？
1
共面、共线、共点问题的证明
1. 证明点或线共面问题的两种方法：(1) 首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2) 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2. 证明点共线问题的两种方法：(1) 先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2) 直接证明这些点都在同一条特定直线上.
3. 证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
题组二　判断空间两直线的位置关系
3
【解析】若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．
[2025上海控江中学期中]若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题中正确的是 (　　)
A. l与l1，l2都不相交
B. l与l1，l2都相交
C. l至多与l1，l2中的一条相交
D. l至少与l1，l2中的一条相交
D
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列结论中错误的是 (　　)
A. MN与CC1垂直
B. MN与AC垂直
C. MN与BD平行
D. MN与A1B1平行
D
【解析】如图，连接B1C，B1D1，设B1C∩BC1＝M.因为M，N分别是B1C，CD1的中点，所以MN是△B1CD1的中位线，
所以MN∥B1D1.又BD∥B1D1，所以MN∥BD.因为CC1 ⊥B1D1，AC⊥B1D1，所以MN⊥CC1，MN⊥AC.又A1B1与B1D1相交，所以MN与A1B1不平行．故A，B，C正确，D错误．
2
如何判断空间两直线的位置关系？
空间中两直线的位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
4
BCD
(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列说法中正确的是 (　　　)
A. GH与EF平行
B. BD与MN为异面直线
C. GH与MN成60°角
D. DE与MN垂直
BCD
【解析】将正四面体的平面展开图还原．如图，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角．易证DE⊥AF，又MN∥ AF，所以DE⊥MN.故选BCD.
证明直线异面通常用反证法，证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．有时也可以用直接法证明．
3
如何证明空间两直线异面？
题组三　掌握异面直线所成的角
5
C
如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，
F分别是BC，AD的中点．
(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；
【解析】(1) 假设EF与BD不是异面直线，
则EF与BD共面，所以DF与BE共面，
即AD与BC共面，所以点A，B，C，D在同一平面内，
这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，
故直线EF与BD是异面直线．
(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小.
求异面直线所成角的一般步骤
1. 平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条得到相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点．
2. 证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角．
3. 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
如何求空间异面直线所成的角？
4
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