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7.2　直线、平面平行的判定及其性质
一、 单选题
1 [2026南通期初]“直线a∥平面α”是“直线a与平面α内的任意直线都没有公共点”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2 [2025南通月考]若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若m∥α，m∥β，则α∥β
B. 若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C. 若m∥α，m∥β，则α与β相交
D. 若m⊥α，m∥β，则α⊥β
3 [2025常州月考]若m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若m∥α，且α∥β，则m∥β
B. 若m，n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则 α∥β
C. 若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
D. 若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β
4 如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为其所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是(　　)
A B C D
二、 多选题
5 [2025连云港期中]已知m，l为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列结论中正确的有(　　)
A. 若α∥β，β∥γ，则α∥γ
B. 若m∥α，l∥α，则m∥l
C. 若α∥β，l β，则l∥α
D. 若m∥α，m∥β，α∩β＝l，则m∥l
6 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，则下列结论中正确的是(　　)
A. 平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
B. 平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行
C. 平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行
D. 平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
7 已知E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD的棱AB，AD，CD，CB上的点(不是端点)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若直线EF，HG相交，则交点一定在直线BD上
B. 若直线EF，HG异面，则直线EF，HG中至少有一条与直线BD相交
C. 若直线EF，HG异面，则直线EF，HG中至少有一条与直线BD平行
D. 若直线EF，HG平行，则直线EF，HG与直线BD平行
三、 填空题
8 给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与平面α相交，则直线a与平面 β相交；③若平面α∥平面β，P∈平面α，PQ∥平面β，则PQ 平面α.其中正确的是________．(填序号)
9 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是棱BC，CC1的中点．若动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且A1P∥平面AMN，则线段A1P长度的取值范围是________．
10 如图，在棱长为的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是棱A′B′，B′C′，CD的中点，则由点E，F，G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于________．
四、 解答题
11 如图1，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PB⊥AB，PB＝2，H，M分别为PA，AB的中点，将△PAB沿边AB折起，使PC＝，连接PD，如图2.
(1) 求直线BD和PC所成角的余弦值；
(2) 在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MCN？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
　
12 如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，N，K分别为PC，PA的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1) 求证：l∥BC；
(2) 直线PB上是否存在点H，使得平面KNH∥平面ABCD？请证明你的结论．
7．2　直线、平面平行的判定及其性质
1. C　解析：由直线a∥平面α，得直线a与平面α没有公共点，故直线a与平面α内的任意直线都没有公共点，即充分性成立；由直线a与平面α内的任意直线都没有公共点，得直线a与平面α没有任何公共点，则直线a∥平面α，即必要性成立．故“直线a∥平面α”是“直线a与平面α内的任意直线都没有公共点”的充要条件．
2. D　解析：若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故A，C错误；若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m β，故B错误；若m∥β，则必有一直线m′ β，且m∥m′，所以m′⊥α.又m′ β，所以α⊥β，故D正确．
3. B　解析：对于A，若m∥α，且α∥β，则m∥β或m β，故A错误；对于B，如图，若m，n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则在直线m上任取一点P，过直线n与点P确定平面γ，设γ∩α＝c.又n∥α，则n∥c，n β，c β，所以c∥β.又m∥β，m α，c α，m∩c＝P，所以α∥β，故B正确；对于C，若α⊥β，m α，n β，则m，n可能平行、相交或异面，故C错误；对于D，若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n β或n∥β，故D错误．
4. D　解析：如图，由题意可知经过P，R，Q三点的平面即为平面PSRHNQ.对于B，C，可知点N在经过P，Q，R三点的平面上，故B，C错误；对于A，MC1与QN是相交直线，故A错误；对于D，因为A1C1∥RH，BC1∥QN，A1C1，BC1是平面A1BC1内的两条相交直线，RH，QN是平面PSRHNQ内的两条相交直线，所以平面A1BC1∥平面PSRHNQ，故D正确．
5. ACD　解析：对于A，若α∥β，β∥γ，则α∥γ，故A正确；对于B，若m∥α，l∥α，则m，l可能平行、相交或异面，故B错误；对于C，若α∥β，l β，则l∥α，故C正确；对于D，若m∥α，m∥β，α∩β＝l，则m∥l，故D正确．故选ACD.
6. ACD　解析：设平面PBC∩平面PAD＝l，在平面PBC内存在无数条直线与l平行，且不在平面PAD内，则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行，故A正确；若l∥平面ABCD，又l 平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，则l∥BC，同理可得l∥AD，则BC∥AD，这与四边形ABCD为梯形，且AB∥CD相矛盾，故B错误；设平面PAB∩平面PCD＝m.因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD.又因为AB 平面PAB，所以AB∥m.因为AB 平面ABCD，m 平面ABCD，所以m∥平面ABCD，故C正确；若平面PAD内存在一条直线a与BC平行，则BC∥平面PAD.又BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，则BC∥AD，这与四边形ABCD为梯形，且AB∥CD相矛盾，所以平面PAD内任意一条直线都不与BC平行，故D正确．故选ACD.
7. ABD　解析：如图1，若直线EF，HG相交，设EF∩GH＝P，则P∈EF，P∈GH.又EF 平面ABD，GH 平面BCD，所以P是平面ABD与平面BCD的公共点，则必在其交线BD上，即P∈BD，故A正确；若EF∥HG，因为EF 平面BCD，HG 平面BCD，所以EF∥平面BCD.又EF 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF∥BD.又EF∥HG，所以HG∥BD，故D正确；当EF∥BD，HG∥BD时，EF∥HG，所以若直线EF，HG都与直线BD平行，则直线EF，HG共面，所以若直线EF，HG异面，则直线EF，HG中至少有一条与直线BD相交，故B正确；如图2，直线EF，HG异面，但直线EF，HG都与直线BD相交，故C错误．故选ABD.
图1 图2
8. ①②③　解析：对于①，根据平面平行的传递性可知①正确；对于②，假设直线a∥平面β或直线a 平面β，则由平面α∥平面β知，a与α无公共点或a α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交，故②正确；对于③，如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β，得a∥b.因为PQ∥β，PQ γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a α，所以PQ α，故③正确．
9. 　解析：如图，取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，BC1，EM，则BC1∥EF，MN∥BC1，所以EF∥MN.因为AA1∥BB1∥EM, AA1＝BB1＝EM，所以四边形AMEA1为平行四边形，所以A1E∥AM.因为AM 平面AMN，MN 平面AMN，A1E 平面AMN，EF 平面AMN，所以A1E∥平面AMN，EF∥平面AMN.因为A1E∩EF＝E，A1E 平面A1EF，EF 平面A1EF，所以平面A1EF∥平面AMN.因为A1P∥平面AMN，所以点P的轨迹为线段EF.因为A1E＝A1F＝，EF＝，所以当A1P⊥EF时，A1P取得最小值＝；当点P与点E(或点F)重合时，A1P取得最大值，所以线段A1P长度的取值范围为.
10. 　解析：连接EF，A′C′，AC.因为E，F分别为棱 A′B′，B′C′的中点，所以EF∥A′C′，且EF＝＝＝1.由AA′∥CC′，且AA′＝CC′，得四边形AA′C′C为平行四边形，所以A′C′∥AC，所以EF∥AC.设平面EFG交棱AD于点H，连接GH.因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′，平面EFG∩平面A′B′C′D′＝EF，平面EFG∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH，则GH∥AC.因为G为棱CD的中点，所以H为棱AD的中点．设直线EF分别交D′A′，D′C′的延长线于点P，Q，连接PH交棱AA′于点M，连接QG交棱CC′于点N，连接EM，FN，则截面为六边形EFNGHM.因为A′P∥C′B′，所以＝＝1，所以A′P＝B′F＝B′C′＝A′D′＝AD＝AH.因为AH∥A′P，所以＝＝1，所以AM＝A′M，则M为棱AA′的中点，同理可知，N为棱CC′的中点，易知六边形EFNGHM是边长为EF＝1的正六边形，所以截面的面积为6××12×sin 60°＝.
11. (1) 连接BD，AC交于点O，连接HB，HO.
因为四边形ABCD为菱形，
所以O为AC的中点．
又H为PA的中点，
所以OH∥PC，OH＝PC，
所以BD和PC所成的角即为∠HOB(或其补角).
在Rt△PAB中，PA＝＝＝4，
所以BH＝PA＝2.
在Rt△AOB中，AB＝2，∠ABD＝30°，
所以BO＝AB cos 30°＝2×＝.
又HO＝PC＝，
所以cos ∠HOB＝＝＝＝，
即直线BD和PC所成角的余弦值为.
(2) 存在点N，当＝时，PB∥平面MCN.证明如下：
如图，设BD与CM交于点Q，连接NQ.
因为四边形ABCD为菱形，M为AB的中点，
所以BM∥CD，BM＝CD，
所以＝＝＝，
所以＝.
易知当＝时，NQ∥PB.
因为NQ 平面MCN，PB 平面MCN，
所以PB∥平面MCN.
12. (1) 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC∥AD.
因为AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，
所以BC∥l.
(2) 当H为PB的中点时，平面KNH∥平面ABCD.证明如下：
如图，取PB的中点H，连接KH，NH，KN.
因为N，K分别为PC，PA的中点，
所以NH∥BC，KH∥AB.
又NH 平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以NH∥平面ABCD，
同理可证KH∥平面ABCD.
因为KH 平面KNH，NH 平面KNH，KH∩NH＝H，
所以平面KNH∥平面ABCD.7.2　直线、平面平行的判定及其性质
复习目标　1. 掌握空间直线与平面平行的判定定理和性质定理.2. 掌握空间两平面平行的判定定理和性质定理．
线面平行　　面面平行
活动一 基础引入
1 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n
B. 若m∥α，m∥β，则α∥β
C. 若m∥n，m∥α，n α，则n∥α
D. 若m∥α，α∥β，则m∥β
2 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，M是A1D1的中点，点N在棱CC1上，CN＝2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线的长度为(　　)
A. B.
C. D.
3如图，在多面体ABC-DEFG中，已知平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列结论中正确的是(　　)
A. BF∥平面ACGD
B. CF∥平面ABED
C. BC∥FG
D. 平面ABED∥平面CGF
4 (多选)已知A，B，C，D是不共面的四点，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则下列平面中与直线MN平行的是(　　)
A. 平面ABC B. 平面ABD
C. 平面ACD D. 平面BCD
5 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1内的一点(含边界).若PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长度为________．
活动二 典例悟法
题组一　空间直线与平面、平面与平面平行的判定
1 如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A. 一条直线不相交 B. 两条直线不相交
C. 一条直线相交 D. 任意一条直线都不相交
[2025金华一中月考]若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于a的直线(　　)
A. 只有一条，不在平面α内
B. 有无数条，不一定在α内
C. 只有一条，且在平面α内
D. 有无数条，一定在α内
2 [2026如皋期初调研改编]如图，在四棱锥P-ABCD中，△ACD是等边三角形，△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，E为BC的中点，F为PD的中点，G为PE的中点，点K在AC上且＝.求证：
(1) FG∥平面PAB；
(2) 平面FGK∥平面PAB.
1 [2025全国二卷·17(1)]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得平面EFD′A′与平面EFCB所成的二面角为60°.求证：A′B∥平面CD′F.
2 [2024全国甲卷(文)·19(1)]如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，AE＝2，M为CD的中点．求证：EM∥平面BCF.
判断或证明线面平行的常用方法
1. 利用线面平行的定义(无公共点).
2. 利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α).
3. 利用面面平行的性质定理(α∥β，a α a∥β).
4. 利用面面平行的性质(α∥β，a α，a β，a∥α a∥β).
3 如图，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1) BE∥平面DMF；
(2) 平面BDE∥平面MNG.
证明面面平行的方法
1. 面面平行的定义．
2. 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
3. 利用垂直于同一条直线的两个平面平行．
4. 两个平面同时平行于第三个平面，这两个平面平行．
5. 利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
题组二　空间直线与平面、平面与平面平行的性质
4 如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________．
[2025广水二中月考]如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.
直线与平面平行、两平面平行的性质
1. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线平行或异面．
2. 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
3. 夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
4. 如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么这条直线垂直于另一个平面．
5. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
6. 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
题组三　平行位置关系的探求
5 如图，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，试问在棱AB上是否存在一点E，使得DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．
(1) 求证：PB∥平面AEC；
(2) 在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．
1. 解决探索性问题的基本策略是先猜后证，即先观察、尝试给出条件再证明．
2. 证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．
7．2　直线、平面平行的判定及其性质
1. C　解析：由题意，作长方体ABCD-A1B1C1D1如图所示．对于A，当平面α为平面ABCD，m为A1B1，n为B1C1时，显然m∥α，n∥α，但m∩n＝B1，故A错误；对于B，当平面α为平面ABCD，平面β为平面A1ADD1，m为B1C1时，显然m∥α，m∥β，但α∩β＝AD，故B错误；对于C，因为m∥α，所以 a α，m∥a.因为m∥n，所以a∥n.因为a α，n α，所以n∥α，故C正确；对于D，当平面α为平面ABCD，平面β为平面A1B1C1D1，m为B1C1时，显然m∥α，α∥β，但m β，故D错误．
2. C　解析：如图，取BC，B1C1的中点分别为H，Q，连接BQ，C1H，则AM∥BQ∥C1H，且AM＝BQ＝C1H.在平面BB1C1C中，过点N作NP∥C1H，交BC于点P，则NP 为平面AMN与侧面BB1C1C的交线，且NP∶C1H＝CN∶CC1＝2∶3.因为C1H＝＝＝，所以NP＝.
3. A　解析：如图，取DG的中点M，连接AM，FM，则由已知条件可证得四边形DEFM是平行四边形，所以DE∥FM，DE＝FM.因为平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，所以AB∥DE，所以AB∥FM.又因为AB＝DE，所以AB＝FM，所以四边形ABFM是平行四边形，所以BF∥AM.因为BF 平面ACGD，AM 平面ACGD，所以BF∥平面ACGD，故A正确；连接AE.在四边形AEFC中，AC∥EF，但AC与EF不一定相等，所以CF与AE可能相交，故B错误；因为AC与MG不一定相等，AC∥MG，所以AM与GC不一定平行，所以BF与CG可能异面，则BC与FG也异面，故C错误；D显然错误．
4. AB　解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE.由已知以及重心定理可得＝，＝，则＝，＝，所以＝＝，所以MN∥AB.因为MN 平面ABC，AB 平面ABC，所以MN∥平面ABC，故A正确；因为MN 平面ABD，AB 平面ABD，所以MN∥平面ABD，故B正确；因为M∈平面ACD，N 平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，故C错误；因为N∈平面BCD，M 平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，故D错误．故选AB.
5. 　解析：如图，分别取AA1，A1D1的中点为M，N，连接MN，MC1，NC1，BC1，AD1.因为E，F，M，N分别为其所在棱的中点，所以EF∥BC1，MN∥AD1.又BC1∥AD1，所以EF∥MN.又MN 平面AEF，EF 平面AEF，所以MN∥平面AEF.因为AM∥C1F，且AM＝C1F，所以四边形AMC1F为平行四边形，所以AF∥MC1.又MC1 平面AEF，AF 平面AEF，所以MC1∥平面AEF.因为MN∩MC1＝M，MN 平面MNC1，MC1 平面MNC1，所以平面MNC1∥平面AEF.因为P是侧面ADD1A1内的一点(含边界)，且PC1∥平面AEF，所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为线段MN，所以点P的轨迹长度为MN＝＝.
例1　D　解析：因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都不相交．
变式训练　C　解析：由线面平行的性质定理知，过点P且平行于a的直线只有一条，且在平面α内．
例2　(1) 如图，连接DE.
因为F为PD的中点，G为PE的中点，所以FG∥DE.
因为△ACD是等边三角形，△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，所以∠DAC＝∠ACB＝60°，AD＝AC＝CE＝BE，
所以AD∥BE，
所以四边形ADEB是平行四边形，
所以DE∥AB，所以FG∥AB.
又AB 平面PAB，FG 平面PAB,
所以FG∥平面PAB.
(2) 如图，过点K在平面ABCD内作MN∥DE，分别交AD，BC于点M，N，
则M为AD的中点，N为EB的中点，
所以平面FGK即为平面FGNM.
因为F为PD的中点，所以FM∥PA.
又PA 平面PAB，FM 平面PAB，
所以FM∥平面PAB.
由(1)，得FG∥平面PAB.
又FM∩FG＝F，FM 平面FGK，FG 平面FGK，
所以平面FGK∥平面PAB.
链接高考
1. 因为AB∥CD，所以AE∥DF，所以A′E∥D′F.
因为D′F 平面CD′F，A′E 平面CD′F，
所以A′E∥平面CD′F.
因为FC∥EB，FC 平面CD′F，EB 平面CD′F，
所以EB∥平面CD′F.
又EB∩A′E＝E，EB 平面A′EB，A′E 平面A′EB，
所以平面A′EB∥平面CD′F，
又A′B 平面A′EB，所以A′B∥平面CD′F.
2. 因为CD∥EF，M为CD的中点，EF＝2，CD＝4，
所以EF∥MC，且EF＝MC，
所以四边形EFCM是平行四边形，
所以EM∥FC.
又CF 平面BCF，EM 平面BCF，
所以EM∥平面BCF.
例3　(1) 如图，设DF与GN交于点O，连接AE，MO.
在平行四边形ADEF中，G，N分别为EF，AD的中点，
所以AE必过点O，且O为AE的中点．
因为M为AB的中点，
所以MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
因为BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2) 因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN.
因为DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
因为BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
例4　　解析：因为平面α∥平面β，所以CD∥AB，则＝，所以AB＝＝＝.
变式训练　连接AC交BD于点O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点．
又M是PC的中点，所以PA∥OM.
又MO 平面BMD，PA 平面BMD，
所以PA∥平面BMD.
因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA 平面PAHG，
所以PA∥GH.
例5　存在点E，当E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.理由如下：
如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.
因为DF 平面AB1C1，B1C1 平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1.
连接EF，ED.
因为E为AB的中点，所以EF∥AB1.
因为EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
因为DF∩EF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面AB1C1.
因为DE 平面DEF，
所以DE∥平面AB1C1.
变式训练　(1) 如图，连接BD交AC于点O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2) PC的中点G即为所求的点．证明如下：
如图，连接GE，FG.
因为E为PD的中点，
所以GE∥CD，GE＝CD.
又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，
所以FA∥CD，FA＝CD，
所以FA＝GE，FA∥GE，
所以四边形AFGE为平行四边形，
所以FG∥AE.
又FG 平面AEC，AE 平面AEC，
所以FG∥平面AEC.

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