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(共46张PPT)
第七章
7.3　直线、平面垂直的判定及其性质
立体几何与空间向量
复习目标　1. 掌握空间直线与平面垂直的判定定理与性质定理.2. 掌握空间平面与平面垂直的判定定理与性质定理．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是 (　　)
A. 若m⊥n，n⊥l，则m⊥l
B. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
C. 若m⊥α，m∥n，则n⊥α
D. 若m∥n，m∥α，则n∥α
C
【解析】对于A，不妨设n⊥平面μ，l∥m，l 平面μ，m 平面μ，则m⊥n，n⊥l，但m与l不垂直，故A错误；对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α与γ相交，即α与γ不一定垂直，故B错误；对于C，设l1 平面α，l2 平面α，且l1∩l2＝P，若m⊥α，则m⊥l1，m⊥l2.又m∥n，所以n⊥l1，n⊥l2，结合l1∩l2＝P，l1 平面α，l2 平面α，可得n⊥α，故C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n α，故D错误．
B
3 [2026扬州新华中学月考]如图，已知△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2DC，F，G分别是EB和AB的中点，则下列结论中错误的是 (　　)
A. FD⊥平面ABE
B. FG⊥平面ABC
C. FC⊥AB
D. 平面EBC⊥平面EAB
D
因为EA＝AB＝2DC，DC⊥平面ABC，所以FG∥DC且FG＝DC，所以四边形FGCD是平行四边形，所以FD∥GC.因为GC⊥AB，GC⊥AE，AB∩AE＝A，AB 平面ABE，AE 平面ABE，所以GC⊥平面ABE，所以FD⊥平面ABE，故A正确；由EA＝AB，F为EB的中点，得AF⊥BE.假设平面EBC⊥平面EAB.因为AF 平面EAB，平面EBC∩平面EAB＝EB，所以AF⊥平面EBC.因为BC 平面ABC，所以AF⊥BC.又EA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以EA⊥BC.因为AF∩EA＝A，AF 平面EAB，EA 平面EAB，所以BC⊥平面EAB.因为AB 平面EAB，所以AB⊥BC，与△ABC是正三角形矛盾，所以假设不成立，即平面EBC与平面EAB不垂直，故D错误．
4 (多选)[2025海门中学月考]已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论中正确的是 (　　)
A. DE⊥平面PAE
B. PB⊥AD
C. 直线BC与平面PAE相交
D. 平面PAB⊥平面PBC
AC
【解析】对于A，因为底面ABCDEF为正六边形，所以AE⊥DE.又PA⊥平面ABC，ED 平面ABC，所以PA⊥DE.因为PA∩AE＝A，PA 平面PAE，AE 平面PAE，所以DE⊥平面PAE，故A正确；对于B,
假设PB⊥AD.因为PA⊥平面ABC，AD 平面ABC，所以PA⊥AD.又PA∩PB＝P，PA 平面PAB，PB 平面PAB，所以AD⊥平面PAB.因为AB 平面PAB，所以AD⊥AB，但在正六边形ABCDEF中，∠DAB＝60°，所以假设不成立，即PB与AD不垂直，故B错误；
对于C，在正六边形ABCDEF中，BC，AE不平行，所以它们相交，所以直线BC与平面PAE相交，故C正确；对于D, 过点A作PB的垂线，垂足为H.假设平面PAB⊥平面PBC.因为平面PAB∩平面PBC＝PB，AH 平面PAB，所以AH⊥平面PBC.又BC 平面PBC，所以AH⊥BC.又PA⊥BC，PA∩AH＝A，PA 平面PAB，AH 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又AB 平面PAB，所以BC⊥AB，这与底面是正六边形矛盾，故D错误．故选AC.
5 [2026南开大学附属中学津南学校月考]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为4，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为_____．
1
活动二　典例悟法
题组一　空间直线与平面垂直的判定与性质
1
①④
已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m β.给出下列命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若m∥α，则l⊥β；④若l⊥β，则m∥α.
其中正确的命题是________．(填序号)
【解析】对于①，由l⊥α，α∥β，得l⊥β.又因为m β，所以l⊥m，故①正确；对于②，由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l β.又因为m β，所以l与m异面或平行或相交，故②不正确；对于③，由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β，故③不正确；对于④，由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m β，所以m∥α，故④正确．故正确的命题为①④.
2
【解析】(1) 因为AB⊥平面PAD，PH 平面PAD，
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中边AD上的高，
所以PH⊥AD.
因为AB∩AD＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD.
因为PD＝AD，M为PA的中点，
所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，MD 平面PAD，
所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以MD⊥平面PAB，
所以EF⊥平面PAB.
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，连接DE.求证：
(1) DE∥平面AA1C1C；
(2) BC1⊥AB1.
【解析】(1) 由题意，知E为B1C的中点．
又D为AB1的中点，所以DE∥AC.
因为DE 平面AA1C1C，AC 平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2) 因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC，所以AC⊥CC1.
因为AC⊥BC，CC1 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.
又BC1 平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，
所以矩形BCC1B1是正方形，
所以BC1⊥B1C.
因为AC 平面B1AC，B1C 平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
又AB1 平面B1AC，所以BC1⊥AB1.
判定直线与平面垂直的4种方法
1. 利用判定定理．
2. 利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α b⊥α).
3. 利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β).
4. 利用面面垂直的性质：当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
1
如何判断直线与平面垂直？
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：
(1) CE∥平面PAD；
(2) 平面EFG⊥平面EMN.
3
(2) 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可得AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，
所以AB⊥平面EFG.
因为M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD.
又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
因为MN 平面EMN，
所以平面EFG⊥平面EMN.
【解析】因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.
又CD∥AB，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面PAC.
又MN 平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.
1 在本例条件下，求证：平面EMN⊥平面PAC.
2 在本例条件下，求证：平面EFG∥平面PAC.
【解析】因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，
所以EF∥PA，FG∥AC.
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，
所以EF∥平面PAC，
同理可得FG∥平面PAC.
又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面PAC.
1 [2023全国甲卷(文)·18(1)]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.求证：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
【解析】因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以A1C⊥BC.
又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且A1C 平面ACC1A1，AC 平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因为BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
D
如何证明两个平面垂直？
2
判定面面垂直的方法
1. 面面垂直的定义．
2. 面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β).
在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
题组三　空间垂直位置关系的探求
4
如图，在三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1) 设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
(2) 若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
图1
因为在三棱台ABC-DEF中，AB⊥BC，
所以DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF，DE 平面DEF，得CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，CF 平面CBEF，EF 平面CBEF，
所以DE⊥平面CBEF.
因为GF 平面CBEF，所以DE⊥GF.
因为GF⊥CE，GF⊥DE，CE∩DE＝E，CE 平面CDE，DE 平面CDE，所以GF⊥平面CDE.
又GF 平面DFG，所以平面DFG⊥平面CDE.
图2
如图，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，F为CE的中点．
(1) 求证：AE∥平面BDF；
(2) M为CD上的任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【解析】(1) 连接AC交BD于点O，连接OF.
因为四边形ABCD是矩形，所以O为AC的中点．
又F为EC的中点，所以OF为△ACE的中位线，
所以OF∥AE.
又OF 平面BDF，AE 平面BDF，
所以AE∥平面BDF.
(2) 当P为AE的中点时，有PM⊥BE.证明如下：
取BE的中点H，连接DP，PH，CH.
因为P为AE的中点，H为BE的中点，
所以PH∥AB.
又AB∥CD，所以PH∥CD，
所以P，H，C，D四点共面．
因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD 平面ABCD，CD⊥BC，
所以CD⊥平面BCE.
又BE 平面BCE，所以CD⊥BE.
因为BC＝CE，H为BE的中点，所以CH⊥BE.
又CD∩CH＝C，CD 平面DPHC，CH 平面DPHC，
所以BE⊥平面DPHC.
又PM 平面DPHC，所以PM⊥BE.
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Thank you for watching7.3　直线、平面垂直的判定及其性质
复习目标　1. 掌握空间直线与平面垂直的判定定理与性质定理.2. 掌握空间平面与平面垂直的判定定理与性质定理．
垂直
活动一 基础引入
1 设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若m⊥n，n⊥l，则m⊥l
B. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
C. 若m⊥α，m∥n，则n⊥α
D. 若m∥n，m∥α，则n∥α
2 在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是边AB上的一动点，则PM的最小值为(　　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
3 [2026扬州新华中学月考]如图，已知△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2DC，F，G分别是EB和AB的中点，则下列结论中错误的是(　　)
A. FD⊥平面ABE
B. FG⊥平面ABC
C. FC⊥AB
D. 平面EBC⊥平面EAB
4 (多选)[2025海门中学月考]已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论中正确的是(　　)
A. DE⊥平面PAE
B. PB⊥AD
C. 直线BC与平面PAE相交
D. 平面PAB⊥平面PBC
5 [2026南开大学附属中学津南学校月考]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为4，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
活动二 典例悟法
题组一　空间直线与平面垂直的判定与性质
1 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m β.给出下列命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若m∥α，则l⊥β；④若l⊥β，则m∥α.
其中正确的命题是________．(填序号)
2 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中边AD上的高．求证：
(1) PH⊥平面ABCD；
(2) EF⊥平面PAB.
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，连接DE.求证：
(1) DE∥平面AA1C1C；
(2) BC1⊥AB1.
[2023北京卷·16(1)]如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝.求证：BC⊥平面PAB.
判定直线与平面垂直的4种方法
1. 利用判定定理．
2. 利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α b⊥α).
3. 利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β).
4. 利用面面垂直的性质：当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
题组二　空间平面与平面垂直的判定与性质
3 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：
(1) CE∥平面PAD；
(2) 平面EFG⊥平面EMN.
1 在本例条件下，求证：平面EMN⊥平面PAC.
2 在本例条件下，求证：平面EFG∥平面PAC.
1 [2023全国甲卷(文)·18(1)]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.求证：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
2 [2024北京卷·8]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为(　　)
A. 1 B. 2 C. D.
判定面面垂直的方法
1. 面面垂直的定义．
2. 面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β).
在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
题组三　空间垂直位置关系的探求
4 如图，在三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1) 设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
(2) 若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
如图，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，F为CE的中点．
(1) 求证：AE∥平面BDF；
(2) M为CD上的任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
7．3　直线、平面垂直的判定及其性质
1. C　解析：对于A，不妨设n⊥平面μ，l∥m，l 平面μ，m 平面μ，则m⊥n，n⊥l，但m与l不垂直，故A错误；对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α与γ相交，即α与γ不一定垂直，故B错误；对于C，设l1 平面α，l2 平面α，且l1∩l2＝P，若m⊥α，则m⊥l1，m⊥l2.又m∥n，所以n⊥l1，n⊥l2，结合l1∩l2＝P，l1 平面α，l2 平面α，可得n⊥α，故C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n α，故D错误．
2. B　解析：如图，连接CM.因为PC⊥平面ABC，CM 平面ABC，所以PC⊥CM.因为PC＝4，所以PM＝＝.要求PM的最小值，只需求出CM的最小值即可．在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
3. D　解析：连接AF，CG.因为F，G分别是EB和AB的中点，所以FG∥EA且FG＝EA.又EA⊥平面ABC，所以FG⊥平面ABC，故B正确；因为AB 平面ABC，所以FG⊥AB.又因为△ABC是正三角形，所以CG⊥AB.因为FG∩CG＝G，FG 平面CFG，CG 平面CFG，所以AB⊥平面CFG.又FC 平面CFG，所以FC⊥AB，故C正确；因为EA＝AB＝2DC，DC⊥平面ABC，所以FG∥DC且FG＝DC，所以四边形FGCD是平行四边形，所以FD∥GC.因为GC⊥AB，GC⊥AE，AB∩AE＝A，AB 平面ABE，AE 平面ABE，所以GC⊥平面ABE，所以FD⊥平面ABE，故A正确；由EA＝AB，F为EB的中点，得AF⊥BE.假设平面EBC⊥平面EAB.因为AF 平面EAB，平面EBC∩平面EAB＝EB，所以AF⊥平面EBC.因为BC 平面ABC，所以AF⊥BC.又EA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以EA⊥BC.因为AF∩EA＝A，AF 平面EAB，EA 平面EAB，所以BC⊥平面EAB.因为AB 平面EAB，所以AB⊥BC，与△ABC是正三角形矛盾，所以假设不成立，即平面EBC与平面EAB不垂直，故D错误．
4. AC　解析：对于A，因为底面ABCDEF为正六边形，所以AE⊥DE.又PA⊥平面ABC，ED 平面ABC，所以PA⊥DE.因为PA∩AE＝A，PA 平面PAE，AE 平面PAE，所以DE⊥平面PAE，故A正确；对于B, 假设PB⊥AD.因为PA⊥平面ABC，AD 平面ABC，所以PA⊥AD.又PA∩PB＝P，PA 平面PAB，PB 平面PAB，所以AD⊥平面PAB.因为AB 平面PAB，所以AD⊥AB，但在正六边形ABCDEF中，∠DAB＝60°，所以假设不成立，即PB与AD不垂直，故B错误；对于C，在正六边形ABCDEF中，BC，AE不平行，所以它们相交，所以直线BC与平面PAE相交，故C正确；对于D, 过点A作PB的垂线，垂足为H.假设平面PAB⊥平面PBC.因为平面PAB∩平面PBC＝PB，AH 平面PAB，所以AH⊥平面PBC.又BC 平面PBC，所以AH⊥BC.又PA⊥BC，PA∩AH＝A，PA 平面PAB，AH 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又AB 平面PAB，所以BC⊥AB，这与底面是正六边形矛盾，故D错误．故选AC.
5. 1　解析：因为△A1B1C1为等腰直角三角形，且A1C1＝B1C1＝2，D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以平面A1B1C1⊥平面AA1B1B.又平面A1B1C1∩平面AA1B1B＝A1B1，C1D 平面A1B1C1，所以C1D⊥平面AA1B1B.因为AB1 平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1.要使AB1⊥平面C1DF，只需AB1⊥DF即可．如图，在平面AA1B1B中，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(－，4)，D(0，0)，B1(，0).设F(，h).因为AB1⊥DF，所以×＝－1，解得h＝1，即B1F＝1.
例1　①④　解析：对于①，由l⊥α，α∥β，得l⊥β.又因为m β，所以l⊥m，故①正确；对于②，由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l β.又因为m β，所以l与m异面或平行或相交，故②不正确；对于③，由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β，故③不正确；对于④，由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m β，所以m∥α，故④正确．故正确的命题为①④.
例2　(1) 因为AB⊥平面PAD，PH 平面PAD，
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中边AD上的高，
所以PH⊥AD.
因为AB∩AD＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD.
(2) 如图，取PA的中点M，连接MD，ME.
因为E是PB的中点，
所以ME＝AB，ME∥AB.
又因为DF＝AB，DF∥AB，
所以ME＝DF，ME∥DF，
所以四边形MEFD是平行四边形，
所以EF∥MD.
因为PD＝AD，M为PA的中点，
所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，MD 平面PAD，
所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以MD⊥平面PAB，
所以EF⊥平面PAB.
变式训练　(1) 由题意，知E为B1C的中点．
又D为AB1的中点，所以DE∥AC.
因为DE 平面AA1C1C，AC 平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2) 因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC，所以AC⊥CC1.
因为AC⊥BC，CC1 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.
又BC1 平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，
所以矩形BCC1B1是正方形，
所以BC1⊥B1C.
因为AC 平面B1AC，B1C 平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
又AB1 平面B1AC，所以BC1⊥AB1.
链接高考
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，同理可得PA⊥AB，
所以△PAB为直角三角形，
所以PB＝＝.
又BC＝1，PC＝，所以PB2＋BC2＝PC2，
则△PBC为直角三角形，且BC⊥PB.
因为BC⊥PA，PA∩PB＝P，PB 平面PAB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
例3　(1) 如图，取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，
所以EH＝AB，EH∥AB.
又CD＝AB，CD∥AB，
所以EH＝CD，EH∥CD，
所以四边形DCEH是平行四边形，
所以CE∥DH.
又DH 平面PAD，CE 平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
(2) 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可得AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，
所以AB⊥平面EFG.
因为M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD.
又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
因为MN 平面EMN，
所以平面EFG⊥平面EMN.
变式训练1　因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.
又CD∥AB，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面PAC.
又MN 平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.
变式训练2　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，
所以EF∥PA，FG∥AC.
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，
所以EF∥平面PAC，
同理可得FG∥平面PAC.
又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面PAC.
链接高考
1. 因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC.
又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且A1C 平面ACC1A1，AC 平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.
因为BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
2. D　解析：如图，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝AB＝4，PC＝PD＝2，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，PF，EF，则PE⊥AB，EF⊥AB.又PE∩EF＝E，PE 平面PEF，EF 平面PEF，所以AB⊥平面PEF.又AB 平面ABCD，所以平面PEF⊥平面ABCD.过点P 作PO⊥EF，垂足为O.因为平面PEF∩平面ABCD＝EF，PO 平面PEF，所以PO⊥平面ABCD.由题意，得PE＝2，PF＝2，EF＝4，则PE2＋PF2＝EF2，即PE⊥PF.由S△PEF＝PE·PF＝PO·EF，得PO＝＝，所以四棱锥的高为.
例4　(1) 在三棱台ABC-DEF中，AC∥DF，AC 平面ACE，DF 平面ACE，所以DF∥平面ACE.
因为DF 平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，
所以DF∥a.
(2) 线段BE上存在点G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：
取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD，如图1.
因为CF＝EF，所以GF⊥CE.
因为在三棱台ABCDEF中，AB⊥BC，
所以DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF，DE 平面DEF，得CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，CF 平面CBEF，EF 平面CBEF，
所以DE⊥平面CBEF.
因为GF 平面CBEF，所以DE⊥GF.
因为GF⊥CE，GF⊥DE，CE∩DE＝E，CE 平面CDE，DE 平面CDE，所以GF⊥平面CDE.
又GF 平面DFG，所以平面DFG⊥平面CDE.
如图2，在平面CBEF中，延长CB，FG相交于点H.
因为O为CE的中点，所以CO＝EO.
易得△HOC≌△FOE，所以CH＝EF.
又EF＝2BC，所以HB＝BC＝EF.
由BC∥EF，得△HGB∽△FGE，所以＝＝，
所以BG＝BE.
图1 图2
变式训练　(1) 连接AC交BD于点O，连接OF.
因为四边形ABCD是矩形，所以O为AC的中点．
又F为EC的中点，所以OF为△ACE的中位线，所以OF∥AE.
又OF 平面BDF，AE 平面BDF，
所以AE∥平面BDF.
(2) 当P为AE的中点时，有PM⊥BE.证明如下：
取BE的中点H，连接DP，PH，CH.
因为P为AE的中点，H为BE的中点，
所以PH∥AB.
又AB∥CD，所以PH∥CD，
所以P，H，C，D四点共面．
因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD 平面ABCD，CD⊥BC，
所以CD⊥平面BCE.
又BE 平面BCE，所以CD⊥BE.
因为BC＝CE，H为BE的中点，所以CH⊥BE.
又CD∩CH＝C，CD 平面DPHC，CH 平面DPHC，
所以BE⊥平面DPHC.
又PM 平面DPHC，所以PM⊥BE.7.3　直线、平面垂直的判定及其性质
一、 单选题
1 [2025常州期中]已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列条件中，一定能得到直线l⊥α的是(　　)
A. α⊥β，l∥β B. l⊥a，a∥α
C. l∥a，a⊥α D. l⊥a，l⊥b，a α，b α
2 已知α，β是两个不同的平面，直线l α，则“l⊥β”是“α⊥β”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 [2025景德镇期中]已知四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成的角α在旋转过程中(　　)
A. 逐步变大 B. 逐步变小
C. 先变小后变大 D. 先变大后变小
4 [2025江阴高级中学月考]如图，在棱长为1的正方体中，P是线段A1B上一动点(不与点A1，B重合)，给出下列结论：①平面AA1P⊥平面D1A1P；②∠APD1一定是锐角；③DC1⊥D1P；④三棱锥B1D1PC的体积为定值．其中正确的有(　　)
A. ①③ B. ②④
C. ①②③ D. ①③④
二、 多选题
5 [2025淮安期末]已知平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若直线m∥α，m∥β，则m∥l
B. 若平面γ⊥α，γ⊥β，则γ⊥l
C. 若m α，n β，m⊥n，则m⊥β
D. 若P∈m，P∈α，m⊥l，则m⊥β
6 [2025常州西夏墅高级中学学情测试]如图，已知底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点P的位置不确定，点M在棱CD上，且AM⊥BM，平面PAM⊥平面ABCD，则下列结论中正确的是(　　)
A. PA⊥BM
B. 平面PAM⊥平面PBM
C. 存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行
D. 若AD＝2，MD＝2，PM＝1，且平面PBM⊥平面ABCD，则三棱锥P-ABM的体积为
7 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，M，N分别是AB，A1B1的中点，则下列结论中一定成立的是(　　)
A. A1N＝MB
B. A1M∥BN
C. A1C⊥AB1
D. CM⊥AB
三、 填空题
8 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD ⊥ 底面ABCD，且PD＝1.若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．
(第8题) (第9题)
9 如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均相等，∠BAD＝，E是棱AB的中点，设平面α经过直线A1E，且α∩平面B1BCC1＝l1，α∩平面C1CDD1＝l2.若α⊥平面A1ACC1，则异面直线l1与l2所成角的余弦值为________．
10 [2025扬州中学月考]已知正四棱锥S-ABCD的各棱长均为2，E是棱SB的中点，动点P满足PB⊥SA，则PE＋PC的最小值为________．
四、 解答题
11 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝AB，G是棱A1C1的中点．求证：
(1) BC⊥AB1；
(2) 平面AB1G⊥平面A1BC.
12 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC，△PAD为等边三角形，E为PA的中点．
(1) 求证：BE∥平面PDC；
(2) 求证：PB⊥BC；
(3) 若平面PAD⊥平面PCD，求证：平面PAD⊥平面ABCD.
7．3　直线、平面垂直的判定及其性质
1. C　解析：对于A，若α⊥β，l∥β，则l与α相交或l与α平行或l α，故A错误；对于B，若l⊥a，a∥α，则l与α相交或l与α平行或l α，故B错误；对于C，若l∥a，a⊥α，则l⊥α，故C正确；对于D，若l⊥a，l⊥b，a α，b α，则l与α相交或l与α平行或l α，故D错误．
2. A　解析：根据面面垂直的判定定理可知，若l α，l⊥β，则α⊥β，即充分性成立；反之，若α⊥β，l α，则l与β的位置关系不确定，即必要性不成立，所以“l⊥β”是“α⊥β”的充分且不必要条件．
3. D　解析：如图，由题意知，初始时刻ED与BF所成的角为0，故B，C错误；在四边形AEFD绕EF旋转的过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，因为DF∩FC＝F，DF 平面DFC，FC 平面DFC，所以EF⊥平面DFC.又EF 平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，故点D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，所以一定存在某一时刻EP⊥BF.易知DP⊥平面EFCB，因为BF 平面EFCB，所以DP⊥BF.又DP∩PE＝P，DP 平面DPE，PE 平面DPE，所以BF⊥平面DPE，此时DE与BF所成的角为，然后α开始变小，所以直线ED，BF所成的角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确．
　
4. D　解析：因为A1D1⊥AA1，A1D1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1均在平面A1B1BA内，所以A1D1⊥平面A1B1BA，即A1D1⊥平面AA1P.又A1D1 平面D1A1P，所以平面AA1P⊥平面D1A1P，故①正确；易知当P为A1B的中点时，AP⊥A1B，又由①知平面AA1P⊥平面D1A1P，且平面AA1P∩平面D1A1P＝A1B，AP 平面AA1P，所以AP⊥平面D1A1P.因为PD1 平面D1A1P，所以AP⊥PD1，所以∠APD1＝90°，所以∠APD1不一定是锐角，故②错误；连接DC1，D1C，则DC1⊥D1C.易得A1D1⊥平面DCC1D1.因为A1D1 平面A1D1CB，所以平面A1D1CB⊥平面DCC1D1.因为平面A1D1CB∩平面DCC1D1＝D1C，DC1 平面DCC1D1，所以DC1⊥平面A1D1CB.又D1P 平面A1D1CB，所以DC1⊥D1P，故③正确；由题意，得△D1PC的面积S＝D1C·BC＝，三棱锥B1-D1PC的高即为点B1到平面A1D1CB的距离，距离为，所以三棱锥B1-D1PC的体积V＝×S×＝，为定值，故④正确．综上，正确的有①③④.
5. AB　解析：对于A，如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线也与它们的交线平行，故A正确；对于B，如果一个平面与两个相交平面都垂直，那么这个平面与它们的交线也垂直，故B正确；对于C，如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，记平面ABB′A′为α，平面BCC′B′为β，A′B为直线m，BC为直线n，则A′B⊥BC，但A′B与平面BCC′B′不垂直，故C错误；对于D，如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，记平面ADD′A′为α，平面ABCD为β，AD为直线l，取正方体的外接球球心为O，AD的中点为P，记OP为直线m，则P∈平面ADD′A′，OP⊥AD，但OP不垂直于平面ABCD，故D错误．故选AB.
6. ABD　解析：对于A，因为平面PAM⊥平面ABCD，平面PAM∩平面ABCD＝AM，AM⊥BM，BM 平面ABCD，所以BM⊥平面PAM.又PA 平面PAM，所以PA⊥BM，故A正确；对于B，由A知BM⊥平面PAM，又BM 平面PBM，所以平面PAM⊥平面PBM，故B正确；对于C，设平面PAM∩平面PBC＝l，假设l∥底面ABCD.因为平面ABCD∩平面PAM＝AM，平面ABCD∩平面PBC＝BC，所以l∥AM，l∥BC，所以AM∥BC，则点M与点D重合，可得AD⊥BD，与四边形ABCD为矩形矛盾，所以假设不成立，故C错误；对于D，在Rt△ADM中，AD＝2，MD＝2，所以∠MAD＝，∠BAM＝－∠MAD＝，所以AM＝BM＝2，所以S△AMB＝×2×2＝4.因为平面PBM⊥平面ABCD，平面PBM∩平面ABCD＝BM，AM⊥BM，AM 平面ABCD，所以AM⊥平面PBM.又PM 平面PBM，所以AM⊥PM，同理可证BM⊥PM.又因为AM∩BM＝M，AM，BM均在平面AMB内，所以PM⊥平面AMB.又PM＝1，所以三棱锥P-ABM的体积为×1×4＝，故D正确．故选ABD.
7. ABD　解析：对于A，由直三棱柱的性质可得AB＝A1B1，AB∥A1B1.因为M，N分别是AB，A1B1的中点，所以A1N＝MB＝AB，故A正确；对于B，由A可得A1N＝MB，且A1N∥MB，所以四边形A1NBM是平行四边形，所以A1M∥BN，故B正确；对于C，因为多面体ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以A1A⊥平面ABC.又CM 平面ABC，所以A1A⊥CM.因为CA＝CB，M是AB的中点，所以AB⊥CM.又AB∩A1A＝A，AB 平面ABB1A1，A1A 平面ABB1A1，所以CM⊥平面ABB1A1.又AB1 平面ABB1A1，所以CM⊥AB1.若A1C⊥AB1，则由CM∩A1C＝C，CM 平面CMA1，A1C 平面CMA1，得AB1⊥平面CMA1.又A1M 平面CMA1，所以AB1⊥A1M.在四边形ABB1A1中，若AB1⊥A1M，则△AA1M∽△A1B1A，所以＝，即A1B1＝AA1，但题目中没有对应的条件，所以A1C⊥AB1不一定成立，故C错误；对于D，因为CA＝CB，M是AB的中点，所以CM⊥AB，故D正确．故选ABD.
8. 垂直　解析：如图，取PC的中点H，连接DH，EH.因为PD＝CD，所以DH⊥PC①.因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥BC.又PD∩CD＝D，PD，CD均在平面PCD内，所以BC⊥平面PCD.又DH 平面PCD，所以BC⊥DH②.由①②及PC∩BC＝C，PC，BC均在平面PBC内，得DH⊥平面PBC.因为E，F分别是PB，AD的中点，所以BC∥EH且FD＝BC＝EH.又AD∥BC，所以FD∥EH，所以四边形EFDH为平行四边形，所以EF∥DH，故EF⊥平面PBC.
9. 　解析：由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均相等，∠BAD＝，得四边形ABCD是菱形．如图，连接BD，B1D1，且AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，则BD⊥AC，B1D1⊥A1C1.易得AA1⊥平面ABCD.因为BD 平面ABCD，所以AA1⊥BD.又AA1∩AC＝A，AA1 平面AA1C1C，AC 平面AA1C1C，所以BD⊥平面A1ACC1.取AD的中点F，连接A1F，连接EF交AC于点G，所以EF∥BD，且G是AO的中点，所以EF⊥平面A1ACC1.又EF 平面A1EF，所以平面A1EF⊥平面A1ACC1.因为A1E 平面A1EF，所以平面A1EF即为平面α.取B1C1，D1C1的中点分别为M，N，连接MN交A1C1于点H，H即为O1C1的中点，所以A1H＝GC，且A1H∥GC，所以四边形A1HCG是平行四边形，所以A1G∥HC.因为A1G 平面CMN，CH 平面CMN，所以A1G∥平面CMN.因为EF∥BD∥B1D1∥MN，EF 平面CMN，MN 平面CMN，所以EF∥平面CMN.因为A1G∩EF＝G，A1G 平面A1EF，EF 平面A1EF，所以平面A1EF∥平面CMN.又平面B1C1CB∩平面MNC＝CM，平面D1C1CD∩平面CMN＝CN，所以CM∥l1，CN∥l2，所以异面直线l1与l2所成的角即为CM与CN所成的角．设AB＝2，则直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2.由∠BAD＝，得BD＝AB＝B1D1＝2，MN＝B1D1＝1，且CM＝CN＝＝＝.由余弦定理，得cos ∠MCN＝＝＝，即直线l1与l2所成角的余弦值为.
10. 　解析：如图，分别取SA，AB的中点M，N，连接DM，BM，EN，PN，CN.设BM∩EN＝F.因为△SAD，△SAB为等边三角形，所以DM⊥SA，BM⊥SA.又DM∩BM＝M，DM，BM均在平面BDM内，所以SA⊥平面BDM，所以点P∈平面BDM.又N，E分别为AB，SB的中点，所以NE∥SA，且F为NE的中点，所以NE⊥平面BDM，且点E关于平面BDM的对称点为点N，则PE＋PC＝PN＋PC≥CN＝＝，当且仅当C，P，N三点共线时，等号成立，所以PE＋PC的最小值为.
11. (1) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.
因为BC 平面ABC，所以AA1⊥BC.
又BC⊥AB，AA1∩AB＝A，AA1 平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，
所以BC⊥平面ABB1A1.
因为AB1 平面ABB1A1，所以BC⊥AB1.
(2) 因为AA1＝AB，所以矩形ABB1A1为正方形，
所以A1B⊥AB1.
由(1)知，BC⊥AB1.
又A1B∩BC＝B，A1B 平面A1BC，BC 平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC.
又因为AB1 平面AB1G，
所以平面AB1G⊥平面A1BC.
12. (1) 取PD的中点N，连接EN，CN.
因为E为PA的中点，所以EN∥AD，且EN＝AD.
又AD∥BC，AD＝2BC，所以EN∥BC，EN＝BC，
故四边形ENCB为平行四边形，所以BE∥CN.
又BE 平面PDC，CN 平面PDC，
所以BE∥平面PDC.
(2) 取AD的中点M，连接PM，MB.
因为△PAD为等边三角形，M是AD的中点，
所以PM⊥AD.
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝2BC，
所以DM＝BC，且DM∥BC，
所以四边形BCDM是平行四边形．
因为∠ADC＝90°，所以四边形BCDM是矩形，
所以BM⊥AD.
因为PM∩BM＝M，PM 平面PBM，BM 平面PBM，
所以AD⊥平面PBM.
又PB 平面PBM，所以AD⊥PB.
因为AD∥BC，所以PB⊥BC.
(3) 连接AN.因为△PAD为等边三角形，N是PD的中点，
所以AN⊥PD.
因为平面PAD⊥平面PCD，且平面PAD∩平面PCD＝PD，AN 平面PAD，所以AN⊥平面PCD.
因为CD 平面PCD，所以AN⊥CD.
在直角梯形ABCD中，AD⊥CD.
又AN∩AD＝A，AN 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
因为CD 平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD.

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