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7.6　空间图形的表面积与体积
一、 单选题
1 [2025宿迁期中]已知一个正四棱台油槽可以装汽油190 L(1 L＝1 000cm3)，若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度为(　　)
A. 25cm B. 75cm
C. 100cm D. 150cm
2 [2025河北省级联测]已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为S1，过圆锥顶点的截面面积最大值为S0，若S1∶S0＝∶2，则该圆锥的侧面积为(　　)
A. 2π B.
C. 3π D. 6π
3 [2025广州一模]已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成的角为，则该圆台的侧面积为(　　)
A. B.
C. D. 3π
4 [2025苏北七市二模]已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多选题
5 [2025郴州模拟]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积与体积的比值为3，P，Q分别是棱BC，BB1的中点，G是线段AD1上的一个动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. AA1＝3
B. 多面体ADD1A1-PQB1C1C的体积为
C. 存在一点G，使得GC1∥AP
D. 若AC1⊥平面PQG，则平面PQG截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积是3
6 有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该空间图形的体积可能是(　　)
A. B. C. D.
7 [2025安庆二模]如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝，BB1＝1，P为正三棱柱表面上异于点B1的点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 存在点P，使得PB1⊥BC1
B. 直线PB1与平面BB1C1C所成的角最大为45°
C. 若P，A，B1，C1不共面，则四面体PAB1C1的体积的最大值为
D. 若PB1＝，则点P的轨迹的长为
三、 填空题
8 [2025南京一调]用与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的空间图形，若截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该空间图形的体积为________．
9 将3个6 cm×6 cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图1，将这6个部分接入一个边长为 3 cm 的正六边形上，如图2.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为________cm3.
图1 图2
　　　
10 [2025常州月考]如图，已知四面体ABCD的体积为V，M为棱BC的中点，E为线段DM上靠近点D 的三等分点，F为线段AE上靠近点A的三等分点，过点F的平面α与棱AB，AC，AD分别交于点P，Q，R，设四面体APQR的体积为V′，则的最小值为________．
四、 解答题
11 [2025苏锡常镇一模]如图，在四面体ABCD中，AB＝BD＝2，∠ADC＝∠BDC＝90°，E为棱AD的中点，F为棱AC上的动点．
(1) 求证：平面ACD⊥平面BEF；
(2) 已知二面角A-DC-B的大小为30°，当直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体ABEF的体积．
12 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为6的正方形，平面ABFE与平面CDEF的交线为EF.
(1) 求证：EF∥AB；
(2) 若平面FBC⊥平面ABCD，△FBC的边BC上的高FH＝4，EF＝3，求该多面体的体积．
7．6　空间图形的表面积与体积
1. B　解析：设四棱台的高为h cm.易得上底面的面积为3 600 cm2，下底面的面积为1 600 cm2，所以棱台的体积V＝×(3 600＋1 600＋)h＝190 000，解得h＝75.故油槽的深度为75 cm.
2. A　解析：因为轴截面不是最大面积，所以轴截面顶角θ为钝角．设母线长为l，所以l2sin θ∶l2＝∶2，即sin θ＝，所以θ＝120°.因为r＝，所以l＝2，所以该圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π.
3. B　解析：如图，球的半径为OA，OB.由题意，得∠OAB＝，则△OAB是等边三角形，即∠AOB＝，所以∠O1OB＝.因为球O的表面积为4π，所以4π×OA2＝4π，解得OA＝1，所以OB＝AB＝1，所以O1B＝OB＝，故圆台的侧面积为π××1＝.
4. A　解析：设圆锥的底面半径为r，高为h.圆锥的外接球的半径即为轴截面等边三角形的外接圆的半径．由正弦定理，得＝2R＝2，则r＝，则圆锥的高为h＝r＝，故该圆锥的体积为V＝πr2h＝π××＝.
5. BD　解析：对于A，由题意，得＝3，解得AA1＝2，故A错误；对于B，因为四面体ABPQ的体积为VA-BPQ＝S△BPQ·AB＝××1×1×2＝，所以多面体ADD1A1-PQB1C1C的体积为VABCD-A1B1C1D1－VA-BPQ＝8－＝，故B正确；对于C，设CC1的中点为R，连接PR，则PR∥AD1.因为AP在平面APRD1内，且G是线段AD1上一个动点，所以点G在平面APRD1内．又点C1在平面APRD1外，所以GC1，AP为异面直线，故C错误；对于D，连接BC1，易得BC1⊥B1C.结合正方体的结构特点易证AB⊥B1C，又AB，BC1是平面ABC1内的两条相交直线，所以B1C⊥平面ABC1.又AC1 平面ABC1，所以AC1⊥B1C，同理可证AC1⊥D1C.又B1C，D1C是平面B1CD1内的两条相交直线，所以AC1⊥平面B1CD1.又AC1⊥平面PQG，所以平面B1CD1∥平面PQG.又P，Q分别是棱BC，BB1的中点，所以平面PQG截正方体的截面分别交棱CD，DD1，D1A1，A1B1的中点F，H，I，J，所以截面为正六边形PFHIJQ.又PQ＝，所以截面面积为6××()2＝3，故D正确．故选BD.
6. BCD　解析：如图1，①若AB⊥平面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB＝2，△ABD，△ABC都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积V＝×2××2×2×sin 60°＝；②若AB⊥平面BCD，△ACD为边长为2的正三角形，AB＝，△ABD，△ABC都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积V＝××××＝；③如图2，若△BCD为边长为2的正三角形，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，AB＝BC＝CD＝AD＝2，AC＝2，满足题目条件，取AC的中点E.因为AB＝BC，所以BE⊥AC，且BE＝AC＝，同理可得DE＝.因为BE2＋DE2＝BD2，所以BE⊥DE.又AC∩DE＝E，AC 平面ACD，DE 平面ACD，所以BE⊥平面ACD，故其体积为V＝×××2×2＝.故选BCD.
图1 　图2
7. AC　解析：对于A，当P为BC的中点时，·＝(＋)·(＋)＝(－＋)·(＋)＝－1＋0＋0＋1＝0，所以PB1⊥BC1，故A正确；对于B，当点P位于点A1时，∠A1B1C1为直线PB1与平面BB1C1C所成的角，易知∠A1B1C1＝60°，故B错误；对于C，易知当点P位于点A1(或棱BC上)时，点P到平面AB1C1的距离最远，此时四面体PAB1C1的体积最大．以点A1为例，此时VP-AB1C1＝VA1-AB1C1＝VA-A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1＝×××××1＝，故C正确；对于D，若PB1＝，如图，在棱BC上取点D，使BD＝1，在棱AB上取点E，使BE＝1，在棱A1C1上取中点H，则B1H＝，可得＝，所以点P的轨迹由，，，这几段圆弧构成，且其所在圆的半径依次为A1B1＝，B1C1＝，BD＝1，HC1＝，圆心角依次为45°，45°，60°，180°，，，，的长分别为，，，，故点P的轨迹的长为，故D错误．故选AC.
8. 3π　解析：方法一：作出空间图形的轴截面如图1所示，则所求空间图形是由一个底面直径为2，高为2的圆柱与一个底面直径为2，高为2的圆柱的一半构成，所以所求空间图形的体积为V＝π×12×2＋π×12×2＝3π.
方法二：如图2，将空间图形补形成底面直径为2，高为6的圆柱体，则补形后的圆柱体的体积为π×12×6＝6π，故原空间图形的体积为3π.
图1 图2
9. 108　解析：将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积的一半，即为×63＝108(cm3).
10. 　解析：如图，连接AM.由题意，得＝＝＝＋＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋.令则所以＝＋＋.由F，P，Q，R四点共面，得1＝＋＋≥3，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，所以xyz≥.设点C到平面BAD的距离为d，则点Q到平面BAD的距离为·d＝yd.又因为S△BAD＝AB·AD sin ∠BAD，S△APR＝AP·AR sin ∠BAD，所以＝＝·y＝xyz≥，所以的最小值为.
11. (1) 因为∠ADC＝∠BDC＝90°，
所以DC⊥AD，DC⊥BD.
又AD∩BD＝D，AD 平面ABD，BD 平面ABD，
所以DC⊥平面ABD.
因为BE 平面ABD，
所以DC⊥BE.
因为E为棱AD的中点，且AB＝BD，
所以BE⊥AD.
又AD∩DC＝D，AD 平面ACD，DC 平面ACD，
所以BE⊥平面ACD.
因为BE 平面BEF，
所以平面ACD⊥平面BEF.
(2) 由(1)知，二面角A-DC-B的平面角为∠ADB，则∠ADB＝30°.
因为BE⊥平面ACD，
所以∠BFE为BF与平面ACD所成的角．
在Rt△BED中，BD＝2，则DE＝，BE＝1，
所以sin ∠BFE＝＝.
又sin ∠BFE的最大值为，所以BF的最小值为，
此时BF⊥AC.
因为BE⊥平面ACD，AC 平面ACD，所以BE⊥AC.
又BE∩BF＝B，BE 平面BEF，BF 平面BEF，
所以AC⊥平面BEF.
又EF 平面BEF，所以EF⊥AC.
易得EF＝＝，AF＝＝，
所以S△AEF＝AF·EF＝，
所以四面体ABEF的体积为VB-AEF＝S△AEF·BE＝××1＝.
12. (1) 因为四边形ABCD是正方形，
所以AB∥CD.
又AB 平面CDEF，CD 平面CDEF，
所以AB∥平面CDEF.
因为AB 平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，
所以EF∥AB.
(2) 如图，连接BE，CE.
因为平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD＝BC，FH 平面FBC，FH⊥BC，
所以FH⊥平面ABCD，
同理可得AB⊥平面FBC.
又EF∥AB，所以EF⊥平面FBC，
所以FH，EF分别为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-FBC的高，
所以该多面体的体积V＝VE-ABCD＋VE-FBC＝AB·AD·FH＋×BC·FH·EF＝×62×4＋××6×4×3＝60.(共37张PPT)
第七章
7.6　空间图形的表面积与体积
立体几何与空间向量
复习目标　掌握空间图形的表面积与体积的求解方法．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
A
2 如图1，在水平放置的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB＝AC＝2，现往内灌进一些水，水深为2.将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为△A1B1C，如图2，则容器的高h为 (　　)
A
图1
图2
A
4 贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的上底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的下底面面积是上底面面积的4倍，若几何体Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的高之比分别为3∶3∶5，则几何体Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的体积之比为 (　　)
A. 3∶6∶10 B. 3∶9∶25
C. 3∶21∶35 D. 9∶21∶35
D
36π
活动二　典例悟法
1
12
已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的空间图形的表面积为____________.
空间图形的表面积的求法
1. 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
2. 求不规则空间图形的表面积时，通常将所给空间图形分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得空间图形的表面积．
[2025温州三模改编]已知圆台上、下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的表面积为_______；若A为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点A出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点A，则爬行的最
短距离为___________．
2
11π
(1) 如图，点A，B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一只蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是_____；
【解析】画出展开图如图，则最短距离为 AB＝1×2＋2＝4.
4
(2) 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么需要爬行的最短距离是______；
25
(3) 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达端点A1，若圆柱底面半径为3，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为____________；
(4) 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从点A出发，绕侧面一周又回到点A，则它爬行的最短路线长是_______．
题组二　空间图形的体积
[2025安阳二模]在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周所得到的旋转体的体积为 (　　)
A. 12π B. 16π
C. 20π D. 24π
3
B
如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按如图2折叠，折痕 EF∥DC.其中，点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，且MF⊥CF.
(1) 求证：CF⊥平面MDF；
(2) 求三棱锥M-CDE的体积．
4
图1
图2
【解析】(1) 因为PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AD.
又四边形ABCD是矩形，
所以CD⊥AD.
因为PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AD⊥平面PCD.
因为CF 平面PCD，
所以AD⊥CF，即MD⊥CF.
如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥ AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到三棱锥D-ABC，如图2所示．
(1) 求证：BC⊥平面ACD；
(2) 求三棱锥D-ABC的体积．
图1
图2
B
C
谢谢观看
Thank you for watching7.6　空间图形的表面积与体积
复习目标　掌握空间图形的表面积与体积的求解方法．
柱　　锥　　　台
活动一 基础引入
1 [2025南通期末]已知某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为(　　)
A. B. C. D.
2 如图1，在水平放置的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB＝AC＝2，现往内灌进一些水，水深为2.将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为△A1B1C，如图2，则容器的高h为(　　)
图1 图2
A. 3 B. 4 C. 4 D. 6
3 [2025锡山高级中学期中]如图，圆柱的轴截面为正方形，A是上底面的一个动点，O为上底面圆的圆心，CD是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥A-OCD的体积最大值为2，则该圆柱的侧面积为(　　)
A. 9π B. 10π C. 12π D. 14π
4 贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的上底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的下底面面积是上底面面积的4倍，若几何体Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的高之比分别为3∶3∶5，则几何体Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的体积之比为(　　)
A. 3∶6∶10 B. 3∶9∶25 C. 3∶21∶35 D. 9∶21∶35
5 已知圆台的内切球O与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，若圆台的上底面半径为，则球O的体积为________．
活动二 典例悟法
题组一　空间图形的侧面积与表面积
1 一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的空间图形的表面积为________．
空间图形的表面积的求法
1. 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
2. 求不规则空间图形的表面积时，通常将所给空间图形分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得空间图形的表面积．
2 [2025温州三模改编]已知圆台上、下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的表面积为________；若A为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点A出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点A，则爬行的最短距离为________．
(1) 如图，点A，B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一只蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是________；
(2) 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么需要爬行的最短距离是________；
(3) 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达端点A1，若圆柱底面半径为3，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为________；
(4) 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从点A出发，绕侧面一周又回到点A，则它爬行的最短路线长是________．
题组二　空间图形的体积
3 [2025安阳二模]在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周所得到的旋转体的体积为(　　)
A. 12π B. 16π C. 20π D. 24π
4 如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按如图2折叠，折痕 EF∥DC.其中，点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，且MF⊥CF.
(1) 求证：CF⊥平面MDF；
(2) 求三棱锥M-CDE的体积．
图1 图2
如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到三棱锥DABC，如图2所示．
(1) 求证：BC⊥平面ACD；
(2) 求三棱锥DABC的体积．
　　　
图1　　　　　　　图2
1 [2024新课标Ⅰ卷·5]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　)
A. 2π B. 3π
C. 6π D. 9π
2 [2024天津卷·9]如图，在五面体ABC-DEF中，已知AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　)
A. B. ＋
C. D. －
3 [2023新课标Ⅰ卷·14]在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
7．6　空间图形的表面积与体积
1. A　解析： 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，所以∠PAO为PA与底面所成的角，故∠PAO＝60°.因为AO＝AB＝，所以PO＝AO tan ∠PAO＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积V＝S正方形ABCD·PO＝×22×＝.
2. A　解析：在图1中，V水＝×2×2×2＝4，在图2中，V水＝VABC-A1B1C1－VC-A1B1C1＝×2×2×h－××2×2×h＝h，所以h＝4，解得h＝3.
3. C　解析：设圆柱的底面半径为r.因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的母线长为2r.因为O为上底面圆的圆心，CD是圆柱下底面圆的直径，所以S△OCD＝×2r×2r＝2r2，所以当点A到平面OCD的距离最大时，三棱锥A-OCD的体积取得最大值，所以当AO⊥平面OCD时，三棱锥A-OCD的体积取得最大值，所以×2r2×r＝2，解得r＝，所以该圆柱的侧面积为2π××2＝12π.
4. D　解析：设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3m，由上到下的三个几何体的体积分别记为V1，V2，V3，则V1＝3mS，V2＝(S＋4S＋)×3m＝7mS，V3＝(S＋4S＋)×5m＝mS，所以V1∶V2∶V3＝3mS∶7mS∶mS＝9∶21∶35.
5. 36π　解析：圆台的上底面半径为，由于圆台的内切球O与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，根据切线长定理可知，圆台的下底面半径为×3＝3，母线长为 ＋3＝4，所以圆台的高为＝6，即球的直径为6，半径为3，所以球的体积为×33＝36π.
例1　12　解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，设该正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得×6××22×h＝2，解得h＝1，所以斜高h′＝＝2，所以该六棱锥的侧面积为S侧＝6××2×2＝12.
变式训练　(5＋)π　解析：由题意，得形成的空间图形如图所示，该空间图形是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩下的部分，所以该空间图形的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面的面积之和，即为π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.
例2　11π　＋4　解析：圆台的表面积为S＝π×(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.圆台侧面展开图是一个扇环，设其所在扇形所对圆心角为θ，则θ＝＝π.作出圆台侧面展开图的示意图，如图，OE＝2，过点A作AB与小半圆切于点B，连接OB，过点D作CD与小半圆切于点C，且两切线交于点F，连接OC，则AB⊥OB，CD⊥OC，易知蚂蚁从点A到点D的最短距离为AB＋＋CD.由上可知OB＝2＝OA，所以∠AOB＝，AB＝＝2，同理可得∠DOC＝，CD＝2，所以∠BOC＝，所以＝4π×＝，所以爬行的最短距离为2＋2＋＝4＋.
变式训练　(1) 4　解析：画出展开图如图，则最短距离为 AB＝1×2＋2＝4.
(2) 25　解析：画出展开图如图，则最短距离AB＝＝25.
(3) 　解析：画出展开图如图，则最短距离AA1＝＝.
(4) 4　解析：画出展开图如图，＝2π＝4α，即α＝，则最短距离AA′＝＝4.　
例3　B　解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，则两个底面三角形的外接圆圆心分别为B1C1，BC的中点O1，O2，如图，BC＝B1C1＝2.设棱柱的外接球的半径为R，圆心为O.由4πR2＝12π，得R＝，由对称性知，O为O1，O2的中点，则2＋2＝2＋2＝3，所以CC1＝2.易知侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周后得到的空间图形是底面半径为2，高为2的圆柱，所以其体积为V＝π×(2)2×2＝16π.
例4　(1) 因为PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AD.
又四边形ABCD是矩形，
所以CD⊥AD.
因为PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AD⊥平面PCD.
因为CF 平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.
又MF⊥CF，MD∩MF＝M，MD 平面MDF，MF 平面MDF，
所以CF⊥平面MDF.
(2) 因为PD⊥DC，PC＝2，CD＝1，
所以∠PCD＝60°，PD＝.
由(1)知FD⊥CF，在Rt△DCF中，CF＝CD＝.
过点F作FG⊥CD交CD于点G，
则FG＝FC·sin 60°＝×＝，
所以DE＝FG＝，
故ME＝PE＝－＝，
所以MD＝＝＝.　
又S△CDE＝DE·DC＝××1＝，
故VM-CDE＝MD·S△CDE＝××＝.
变式训练　(1) 由题意，得AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，所以BC⊥平面ACD.
(2) 由(1)可知，BC为三棱锥B-ACD的高，BC＝2.
又S△ACD＝×2×2＝2，
所以VB-ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，
由等体积性可知，三棱锥D-ABC的体积为.
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1. B　解析：设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为.因为它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，解得r＝3(负值舍去)，所以圆锥的体积为π×9×＝3π.
2. C　解析：如图，用一个完全相同的五面体HIJLMN与该五面体相嵌，使得D，N；E，M；F，L重合．因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，所以形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，故VABC-DEF＝VABC-JIH＝××1×1××4＝.
3. 　解析：如图，过点A1作A1M⊥AC，垂足为M.易知A1M为四棱台ABCD-A1B1C1D1的高．因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，所以A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝，故AM＝，则A1M＝＝＝，所以该棱台的体积为V＝×(4＋1＋)×＝.

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