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(共46张PPT)
第七章
7.8　空间向量的运算及应用(位置关系的证明)
立体几何与空间向量
复习目标　1. 理解空间向量的基本概念，掌握空间向量的运算法则.2. 理解直线的方向向量及平面的法向量．3. 能利用空间向量证明空间线、面平行与垂直关系．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z的值是 (　　)
A. －3 B. －4
C. 3 D. 4
A
2 若a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)分别是平面α与β的法向量，则平面α与β的位置关系是 (　　)
A. 平行 B. 垂直
C. 相交且不垂直 D. 无法判断
【解析】因为a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)分别是平面α与β的法向量，且a＝－b，所以两法向量平行，所以平面α与β平行．
A
3 下列说法中，正确的是 (　　)
A. 若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行
B. 若向量a，b所在的直线是异面直线，则向量a，b一定不共线
C. 若直线l的一个方向向量为e＝(1，0，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则l∥α
D. 若a，b，c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc
B
【解析】对于A，若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行或重合，故A错误；对于B，因为向量a，b所在的直线是异面直线，所以向量a，b一定不共线，故B正确；对于C，无法判断直线l是否在平面α内，故C错误；对于D，只有a，b，c三个向量不共面时，才有p＝xa＋yb＋zc，故D错误．
4 [2025无锡一中期中]如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列结论中正确的是 (　　)
D
5 [2025常熟梅李高级中学月考] 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足
B1Q⊥平面AD1P，则线段PQ的最小值为______．
活动二　典例悟法
题组一　空间向量的概念及基本运算
(1) 已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论中正确的是______；(填序号)
①a∥b，a∥c;
②a∥b，a⊥c；
③a∥c，a⊥b.
1
【解析】因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.
③
(2) 已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝_______.
－4
(1) 已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y).若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是_______________；
(－1，0，2)
用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
2
如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
3
【解析】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为
正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，
AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示
的空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)，
在例3的条件下，连接PC，求证：平面EFG∥平面PBC.
[2023新课标Ⅰ卷·18(1)]如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. 求证：B2C2∥A2D2.
【解析】方法一：在CC1，DD1上分别取CE＝DF＝1，连接BE，EF，FA，
则EF∥CD∥AB，且EF＝CD＝AB，
所以四边形EFAB为平行四边形，
所以AF∥BE，且AF＝BE.
又因为FD2∥AA2，且FD2＝AA2，
所以四边形AA2D2F为平行四边形，
所以AF∥A2D2.同理BE∥B2C2，
所以B2C2∥A2D2.
4
(多选)[2025全国一卷·9]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则下列结论中正确的是 (　　)
A. AD⊥A1C B. BC⊥平面AA1D
C. AD∥A1B1 D. CC1∥平面AA1D
BD
D为BC的中点，所以AD⊥BC.又AA1∩AD＝A，AA1 平面AA1D，AD 平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，故B正确；对于C，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB.若AD∥A1B1，则AD∥AB，与AD∩AB＝A相矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误；对于D，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1.又AA1 平面AA1D，CC1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确．故选BD.
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复习目标　1. 理解空间向量的基本概念，掌握空间向量的运算法则.2. 理解直线的方向向量及平面的法向量．3. 能利用空间向量证明空间线、面平行与垂直关系．
空间向量
活动一 基础引入
1 若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z的值是(　　)
A. －3 B. －4
C. 3 D. 4
2 若a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)分别是平面α与β的法向量，则平面α与β的位置关系是(　　)
A. 平行 B. 垂直
C. 相交且不垂直 D. 无法判断
3 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行
B. 若向量a，b所在的直线是异面直线，则向量a，b一定不共线
C. 若直线l的一个方向向量为e＝(1，0，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则l∥α
D. 若a，b，c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc
4 [2025无锡一中期中]如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列结论中正确的是(　　)
A. AC1＝12
B. 直线BD1与AC所成角的正弦值为
C. 向量与的夹角是60°
D. AC1⊥平面CB1D1
5 [2025常熟梅李高级中学月考] 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足B1Q⊥平面AD1P，则线段PQ的最小值为________．
活动二 典例悟法
题组一　空间向量的概念及基本运算
1 (1) 已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论中正确的是________；(填序号)
①a∥b，a∥c;
②a∥b，a⊥c；
③a∥c，a⊥b.
(2) 已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则 x＝________．
(1) 已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y).若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是________；
(2) 在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用向量，，表示，.
用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
题组二　空间平行关系的证明
2 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH；
(3) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，都有＝(＋＋＋).
3 如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
在例3的条件下，连接PC，求证：平面EFG∥平面PBC.
[2023新课标Ⅰ卷·18(1)]如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. 求证：B2C2∥A2D2.
题组三　空间垂直关系的证明
4 在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点．求证：
(1) BM∥平面D1AC；
(2) D1O⊥平面AB1C.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．求证：
(1) EF∥平面PAD；
(2) 平面PAB⊥平面PDC.
(多选)[2025全国一卷·9]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. AD⊥A1C B. BC⊥平面AA1D
C. AD∥A1B1 D. CC1∥平面AA1D
7．8　空间向量的运算及应用
(位置关系的证明)
1. A　解析：因为α∥β，所以u1∥u2，即存在实数λ，使得u1＝λu2，即(－3，y，2)＝λ(6，－2，z)，所以解得所以y＋z＝1－4＝－3.
2. A　解析：因为a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)分别是平面α与β的法向量，且a＝－b，所以两法向量平行，所以平面α与β平行．
3. B　解析：对于A，若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行或重合，故A错误；对于B，因为向量a，b所在的直线是异面直线，所以向量a，b一定不共线，故B正确；对于C，无法判断直线l是否在平面α内，故C错误；对于D，只有a，b，c三个向量不共面时，才有p＝xa＋yb＋zc，故D错误．
4. D　解析：由题意，得||＝||＝||＝6，·＝·＝·＝6×6×＝18.因为＝＋＋，所以||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋3×2×18＝216，则||＝6，故A错误；因为＝＋－，＝＋，所以||2＝|＋－|2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝3×36－2×18＝72，||2＝|＋|2＝||2＋||2＋2·＝36×2＋2×18＝108.又·＝(＋－)·(＋)＝·＋·－||2＋||2＋·－·＝36，则cos 〈，〉＝＝＝.设直线BD1与AC所成的角为θ，则sin θ＝，故B错误；因为BB1∥AA1，所以向量与的夹角即为与的夹角．又BB1＝BC＝6，∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，所以∠BB1C＝60°，所以与的夹角为∠BB1C的补角，即与的夹角为120°，故C错误；因为·＝(＋＋)·(－)＝·＋||2＋·－·－·－||2＝0，·＝(＋＋)·(－)＝·＋||2＋·－||2－·－·＝0，所以⊥，⊥，即AC1⊥B1C，AC1⊥B1D1.又B1C∩B1D1＝B1，B1C 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，故AC1⊥ 平面CB1D1，故D正确．
5. 　解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，设P(0，m，0)，0≤m≤1，Q(n，0，t)，则＝(n－1，－1，t－1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，m，0).因为B1Q⊥平面AD1P，所以·＝(n－1，－1，t－1)·(－1，0，1)＝1－n＋t－1＝t－n＝0，所以t＝n；·＝(n－1，－1，t－1)·(－1，m，0)＝1－n－m＝0，所以m＝1－n.又＝(n，－m，t)，所以||2＝n2＋m2＋t2＝2n2＋(1－n)2＝3n2－2n＋1＝3＋，故当n＝时，||＝，此时m＝1－n＝满足要求，则线段PQ的最小值为＝.
例1　(1) ③　解析：因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.
(2) －4　解析：因为a∥b，所以＝，即x＝－4.
变式训练　(1) (－1，0，2)　解析：由题意，得＝(－x，1，－y)，＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1).因为PA⊥平面ABC，所以⊥，⊥，即·＝x＋y－1＝0，·＝－2x－y＝0，所以x＝－1，y＝2.故点P的坐标是(－1，0，2).
(2) ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋[(＋)－]＝－＋＋.
＝＋＝－＋＋＝＋＋.
例2　(1) 连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由共面向量定理的推论，得E，F，G，H四点共面．
(2) 因为＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
(3) 如图，任取一点O，连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.
由(2)知，＝，同理＝，
所以＝，即EH与FG平行且相等，
所以四边形EFGH是平行四边形，
所以EG，FH交于一点M，且均被点M平分，
则＝(＋)＝＋＝[(＋)]＋[(＋)]＝(＋＋＋).
例3　因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)，
所以＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1).
设＝s＋t，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，
所以解得s＝t＝2，所以＝2＋2.
又与不共线，所以，与共面．
因为PB 平面EFG，所以PB∥平面EFG.
变式训练　因为＝(0，1，0)，＝(0，2，0)，
所以＝2，所以BC∥EF.
又EF 平面PBC，BC 平面PBC，
所以EF∥平面PBC.
同理可得GF∥平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF 平面EFG，GF 平面EFG，
所以平面EFG∥平面PBC.
链接高考
方法一：在CC1，DD1上分别取CE＝DF＝1，连接BE，EF，FA，
则EF∥CD∥AB，且EF＝CD＝AB，
所以四边形EFAB为平行四边形，
所以AF∥BE，且AF＝BE.
又因为FD2∥AA2，且FD2＝AA2，
所以四边形AA2D2F为平行四边形，
所以AF∥A2D2.同理BE∥B2C2，
所以B2C2∥A2D2.
方法二：以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，C2(0，0，3)，B2(0，2，2)，D2(2，0，2)，A2(2，2，1)，
所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，
所以＝，
又B2C2，A2D2不在同一条直线上，
所以B2C2∥A2D2.
例4　(1) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 O(1，1，0)，D1(0，0，)，B(2，2，0)，M(1，1，)，
所以＝(－1，－1，)，＝(－1，－1，)，
所以＝.
因为OD1与BM不在同一条直线上，
所以OD1∥BM.
又OD1 平面D1AC，BM 平面D1AC，
所以BM∥平面D1AC.
(2) 连接OB1，由(1)，得B1(2，2，)，A(2，0，0)，C(0，2，0).
因为·＝(－1，－1，)·(1，1，)＝0，
·＝(－1，－1，)·(－2，2，0)＝0，
所以⊥，⊥，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC.
又OB1∩AC＝O，OB1 平面AB1C，AC 平面AB1C，
所以D1O⊥平面AB1C.
变式训练　(1) 取AD的中点O，连接OP，OF.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
因为O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.
又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD.
因为PA＝PD＝AD，
所以PA⊥PD，OP＝OA＝.
以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A，F，D，P，B(，a，0)，C.
因为E为PC的中点，所以E.
易知平面PAD的一个法向量为 ＝.
因为＝，
且·＝·＝0，
所以⊥.
又EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2) 因为＝，＝(0，－a，0)，
所以·＝·(0，－a，0)＝0，
所以⊥，所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PDC，CD 平面PDC，
所以PA⊥平面PDC.
又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.
链接高考
BD　解析：方法一：对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.又AD 平面ABC，所以AA1⊥AD，则·＝0.因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，则·＝0.又＝＋＋，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2≠0，则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.又BC 平面ABC，所以AA1⊥BC.因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC.又AA1∩AD＝A，AA1 平面AA1D，AD 平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，故B正确；对于C，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB.若AD∥A1B1，则AD∥AB，与AD∩AB＝A相矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误；对于D，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1.又AA1 平面AA1D，CC1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确．故选BD.
方法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边长为2，高为h，则D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，h)，C(0，－1，0)，C1(0，－1，h)，B(0，1，0)，B1(0，1，h).对于A，＝(－，0，0)，＝(－，－1，－h)，则 ·＝(－)×(－)＝3≠0，即AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，D，＝(0，－2，0)，＝(0，0，h)，＝(0，0，h)，＝(－，0，0).设平面AA1D的法向量为n＝(x，y，z)，则得x＝z＝0，令y＝1，则n＝(0，1，0)，所以＝－2n，·n＝0，可得BC⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故B，D正确；对于C，＝(－，0，0)，＝(－，1，0)，则≠，显然AD∥A1B1不成立，故C错误．故选BD.7.8　空间向量的运算及应用(位置关系的证明)
一、 单选题
1 已知空间向量a＝(6，2，1)，b＝(2，x，－3).若(a－2b)⊥a，则x的值为(　　)
A. 4 B. 6 C. D.
2 已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是m，n；α，β，γ是三个不同平面，法向量分别是α，β，γ，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若α·γ＝0，β·γ＝0，则α⊥β
B. 若m∥α，m·n＝0，则n∥α
C. 若m·α＝0，n·α＝0，则m∥n
D. 若m∥α，m∥β，则α∥β
3 [2025武汉调研]在三棱柱ABC-A1B1C1中，设＝a，＝b，＝c，M，N分别为AB，CC1的中点，则等于(　　)
A. a＋b＋c
B. a－b＋c
C. a－b＋c
D. a＋b＋c
4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. MN在平面BB1C1C内
二、 多选题
5 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，若一点P在底面ABCD内(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则下列结论中正确的是(　　)
A. D1E与平面CC1D1D夹角的正弦值为
B. 点A1到D1E的距离为
C. 线段B1P长度的最大值为2
D. 与的数量积的取值范围是
6 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若直线l的方向向量为a＝(0，－1，1)，平面β的一个法向量为b＝(0，1，1)，则l⊥β
B. 若O是空间任意的一点，＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
C. 已知A(2，1，3)，B(1，3，1)，C(4，y，z)，若 ∥，则y－2z＝－17
D. 若e1和e2是相互垂直的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝e1－e2，则|a＋b|＝5
7 [2025南通一模]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AB，A1D1的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. C1F⊥平面DD1E
B. 向量，，不共面
C. 平面CEF与平面ABCD的夹角的正切值为
D. 平面CEF截该正方体所得的截面面积为
三、 填空题
8 已知平面α的法向量为 u＝(x，1，－2)，平面β的法向量为v＝(－1，y，2).若α∥β，则x＋y＝________．
9 已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧棱PB，PC，PD上分别有一点E，F，G，且满足＝，＝，＝λ.若A，E，F，G四点共面，则实数λ＝________．
10 已知梯形ABCD和矩形CDEF，在平面图形中，AB＝AD＝DE＝CD＝1，CD⊥AE.现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足平面ABCD垂直于平面CDEF.设＝2，＝μ，若AP∥平面DBN，则实数μ的值为________．
四、 解答题
11 如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证：
(1) EF∥平面PAB；
(2) 平面PAD⊥平面PDC.
12 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点．
(1) 求证：AG⊥平面ABCD；
(2) 线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．8　空间向量的运算及应用(位置关系的证明)
1. C　解析：因为a－2b＝(6，2，1)－2(2，x，－3)＝(2，2－2x，7)，(a－2b)⊥a，所以12＋4－4x＋7＝0，解得x＝.
2. D　解析：若α·γ＝0，β·γ＝0，则平面α，β同时垂直于平面γ，但无法确定平面α与β的位置关系，故A错误；若m∥α，m·n＝0，则m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，故B错误；若m·α＝0，n·α＝0，则m∥α或m α，n∥α或n α，但无法确定直线m，n的位置关系，故C错误；若m∥α，m∥β，则m⊥α，m⊥β，垂直于同一条直线的两平面平行，故D正确．
3. B　解析：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝＋＋＝－＋＋＝a－b＋c.
4. B　解析：以C1为坐标原点，C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝，所以M，N，所以＝.因为C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为·＝－×0＋0×a＋×0＝0，所以⊥.又MN 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
5. ABD　解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(1，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2).设P(x，y，0)，x，y∈[0，2]，则＝(x－2，y－2，－2)，＝(1，2，－2)，若B1P⊥D1E，则·＝x－2＋2(y－2)＋4＝0，整理，得x＝2－2y，则解得0≤y≤1，即P(2－2y，y，0)，y∈[0，1].对于A，易知平面CC1D1D的一个法向量为n＝(1，0，0)，则cos 〈n，〉＝＝＝，所以D1E与平面CC1D1D夹角的正弦值为，故A正确；对于B，因为＝(2，0，0)，所以点A1到D1E的距离为＝＝，故B正确；对于C，因为＝(－2y，y－2，－2)，所以||＝＝，且y∈[0，1]，则当且仅当y＝1时，||取到最大值3，所以线段B1P长度的最大值为3，故C错误；对于D，因为＝(2y，－y，0)，＝(2y－1，2－y，0)，所以·＝2y(2y－1)－y(2－y)＝5－，且y∈[0，1]，则当y＝时，·取到最小值－；当y＝1时，·取到最大值1，即与的数量积的取值范围是，故D正确．故选ABD.
6. BCD　解析：对于A，因为直线l的方向向量为a＝(0，－1，1)，平面β的一个法向量为b＝(0，1，1)，则a·b＝0×0＋(－1)×1＋1×1＝0，所以a⊥b，所以l∥β或l β，故A错误；对于B，因为＝＋＋，且＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面，故B 正确；对于C，因为＝(－1，2，－2)，＝(3，y－3，z－1)，设＝λ，所以解得所以y－2z＝－17，故C正确；对于D，因为a＋b＝4e1－3e2，所以|a＋b|＝|4e1－3e2|＝＝＝＝5，故D正确．故选BCD.
7. AC　解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C1(0，2，2)，F(1，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，E(2，1，0)，所以＝(1，－2，0)，＝(0，0，2)，＝(2，1，0).因为·＝·＝0，所以C1F⊥DD1，C1F⊥DE.因为DD1，DE为平面DD1E上相交的两条直线，所以C1F⊥平面DD1E，故A正确；因为A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，所以＝(0，1，－2)，＝(－1，－2，2)，＝(－2，－2，0)，所以＝2＋2，所以，，共面，故B错误；因为点C(0，2，0)，所以＝(2，－1，0)，＝(1，－2，2).设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得故n＝(1，2，).因为DD1⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，2).设平面CEF与平面ABCD的夹角为α，则cos α＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，所以sin α＝＝，则tanα＝＝，故C正确；连接CE并延长与DA的延长线交于点G，连接GF与AA1交于点H，与DD1的延长线交于点K，连接KC与C1D1交于点M，则截面为五边形FMCEH.因为CG＝2GE＝2，＝＝＝，所以AH＝，HG＝，HE＝.在△HGE中，由余弦定理，得cos ∠HGE＝＝＝，则sin ∠HGE＝＝，所以S△HGE＝HG×GE sin∠HGE＝×××＝.因为HE是△GKC的中位线，所以S△GKC＝4S△HGE＝，所以S四边形HECK＝，所以截面面积小于，故D错误．故选AC.
8. 0　解析：因为α∥β，所以u∥v，设u＝λv，则解得所以x＋y＝0.
9. 　解析：因为A，E，F，G四点共面，所以存在m，n∈R使得＝m＋n，所以－＝m(－)＋n(－)，所以＝m＋n＋(1－m－n)＝(1－m－n)＋m＋n.因为＝，即－＝－，所以＝－＋＋.因为＝λ，即(1－m－n)＋m＋n＝－λ＋λ＋λ，所以则1－λ＝－λ，解得λ＝.
10. 3　解析：易得CD⊥DE，CD⊥DA，又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AD 平面ABCD，所以AD⊥平面CDEF.因为DE 平面CDEF，所以AD⊥DE，故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，E(0，0，1)，C(0，2，0)，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，同理可得＝＋＝＋＝＋＝.设平面DBN的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则n＝(－1，1，－4).又＝＋＝，AP∥平面DBN，所以·n＝＋－＝0，解得μ＝3.
11. 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，
所以E，F，＝，＝(0，0，1)，＝(0，2，0)，＝(1，0，0)，＝(1，0，0).
(1) 因为＝－，
所以∥，即EF∥AB.
又AB 平面PAB，EF 平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
(2) 因为·＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0，·＝(0，2，0)·(1，0，0)＝0，
所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC，
又AP∩AD＝A，AP 平面PAD，AD 平面PAD，
所以DC⊥平面PAD.
因为DC 平面PDC，
所以平面PAD⊥平面PDC.
12. (1) 因为AE＝AF，G是EF的中点，所以AG⊥EF.
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD.
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG 平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD.
(2) 由(1)，得AG⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以AG⊥AD，AG⊥AB.
又因为四边形ABCD是边长为4的正方形，
所以AG，AD，AB两两垂直，
故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,
则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0).
假设线段AC上存在一点M，使MG∥平面ABF，
设＝λ，则＝λ，
因为＝(4，4，0)，所以＝(4λ，4λ，0).
设AG＝t(t>0)，则＝(0，0，t)，F(0，－1，t)，
所以＝－＝(－4λ，－4λ，t)，＝(0，－1，t)，＝(4，0，0).
设平面ABF的法向量为m＝(x，y，z)，
则则平面ABF的一个法向量为m＝(0，t，1).
因为MG∥平面ABF，
所以·m＝0，即－4λt＋t＝0，解得λ＝，
所以＝，此时＝，
即当＝时，MG∥平面ABF.

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