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课标要求　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'，
f'(x0)＝.
(2)函数y＝f(x)的导函数
f'(x)＝.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f'(x)＝cos x
f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f'(x)＝axln a
f(x)＝ex f'(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f'(x)＝
f(x)＝ln x f'(x)＝
4.导数的运算法则
若f'(x)，g'(x)存在，则有:
(1)[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x);
(3)(g(x)≠0);
(4)[cf(x)]'＝cf'(x).
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx'＝yu'·ux'，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.
2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上;“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上.
3.函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f'(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况.(　　)
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导函数f'(x)＝cos x.(　　)
(3)求f'(x0)时，可先求f(x0)，再求f'(x0).(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f'(x)＝－cos x，错误.
(3)求f'(x0)时，应先求f'(x)，再代入求值，错误.
(4)函数y＝x2与x＝0这条直线只有一个公共点，但它们相交，错误.
2.(人教B选修三P87例3改编)(多选)下列导数运算中正确的是(　　)
A.(e5x－1)'＝5e5x－1
B.[ln(2x＋1)]'＝
C.()'＝
D.'＝－2cos
答案　ABC
解析　选项D中，'＝2cos.
3.(人教A选修二P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)＝f'cos x－sin x，则f'＝　　　　　.
答案　1－
解析　f'(x)＝－f'sin x－cos x，
令x＝，得f'＝－f'，
解得f'＝1－.
4.(人教A选修二P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝　　　　.
答案　2e
解析　由y＝xex，得y'＝ex(x＋1)，
所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为2e，
由y＝aln x＋2，得y'＝，
所以该曲线在点(1，2)处切线斜率为a.
因为两切线平行，所以a＝2e.
考点一　导数的概念
例1 设f(x)在x＝x0处可导，下列式子与f'(x0)相等的是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　对于A，＝－＝－f'(x0)，
A错误;
对于B，＝f'(x0)，B正确;
对于C，＝2＝2f'(x0)，C错误;
对于D，＝－＝－f'(x0)，
D错误.故选B.
感悟提升　由导数的定义可知，若函数
y＝f(x)在x＝x0处可导，则f'(x0)＝， 它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(x0＋Δx)－f(x0)时，分母也应该是(x0＋Δx)－x0，要注意公式的变形.
训练1 若函数f(x)在x＝1处的导数为2，则＝(　　)
A.2 B.1
C. D.6
答案　B
解析　由函数f(x)在x＝1处的导数为2，得f'(1)＝2，所以f'(1)＝1.
考点二　导数的运算
例2 (1)设函数f(x)的导数为f'(x)，且f(x)＝x2＋3xf'(2)＋ln x，则f'(2)＝　　　　.
答案　－
解析　f'(x)＝2x＋3f'(2)＋， 故f'(2)＝4＋3f'(2)＋，故f'(2)＝－.
(2)求下列函数的导数:
①y＝x2sin x;
②y＝ln;
③y＝;
④y＝xsincos.
解　①y'＝(x2)'sin x＋x2(sin x)'
＝2xsin x＋x2cos x.
②y'＝·()'＝.
③y'＝＝－.
④∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y'＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
感悟提升　导数运算的注意点
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
训练2 (1)(多选)(2025·河南名校调研)下列求导运算正确的是(　　)
A.'＝1－
B.(e2x)'＝e2x
C.(log2x)'＝
D.'＝
(2)设函数f(x)的导函数是f'(x)，若f(x)＝f'(π)x2－cos x，则f'＝　　　　.
答案　(1)AC　(2)
解析　(1)对于A，'＝1－，故A正确;
对于B，(e2x)'＝e2x(2x)'＝2e2x，故B错误;
对于C，(log2x)'＝，故C正确;
对于D，'＝＝－，故D错误.
(2)因为f(x)＝f'(π)x2－cos x，
所以f'(x)＝2f'(π)x＋sin x，
所以f'(π)＝2πf'(π)， 解得f'(π)＝0，
所以f'(x)＝sin x，所以f'.
考点三　求切线方程
例3 (1)(2026·江西六校联考)已知函数f(x)＝则曲线f(x)在点(7，f(7))处的切线方程为(　　)
A.8x＋y－40＝0 B.4x＋y－12＝0
C.8x－y－72＝0 D.x＋4y－22＝0
(2)(多选)(2026·商洛模拟)过点(1，0)向曲线y＝x3－x作切线，则切线方程可能是(　　)
A.2x－y－2＝0 B.3x－y－3＝0
C.x＋4y－1＝0 D.2x＋y－2＝0
答案　(1)A　(2)AC
解析　(1)当x∈(0，2]时，f'(x)＝2x－3，
当x∈(6，8]时，f(x)＝2f(x－2)＝8f(x－6)，
则f'(x)＝8f'(x－6)，
所以f(7)＝8f(1)＝－16，f'(7)＝8f'(1)＝－8，
则所求切线方程为y－(－16)＝－8(x－7)，即8x＋y－40＝0.故选A.
(2)令f(x)＝x3－x，
则f'(x)＝3x2－1.
设切点坐标为(x0，－x0)，
则切线方程为y－(－x0)＝(3－1)(x－x0)，
将(1，0)代入，整理得2－3＋1＝2－2＋1＝0，
即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，切线方程为2x－y－2＝0;
当x0＝－时，切线方程为x＋4y－1＝0.
故选AC.
感悟提升　求函数y＝f(x)的切线方程
若已知曲线y＝f(x)和点P(x0，y0)，求过点P的切线方程.
(1)当P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f'(x0)(x－x0).
(2)当P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1，f(x1));
第二步:写出过点P'(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1);
第三步:将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y－f(x1)＝f'(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程.
训练3 (1)曲线y＝＋sin在点(0，1)处的切线方程为(　　)
A.y＝x－1 B.x＝1
C.y＝1 D.y＝x＋1
(2)(多选)下列函数的图象与直线y＝x＋1相切的有(　　)
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝sin x＋1 D.y＝x3＋1
答案　(1)D　(2)AC
解析　(1)因为y＝＋sin(π－2x)＝＋sin 2x，
所以y'＝－＋2cos 2x，
所以曲线y＝＋sin(π－2x)在点(0，1)处的切线斜率为－＋2cos 0＝－1＋2＝1，
所以切线方程为y－1＝1×(x－0)，
即y＝x＋1.
(2)对于A，若y＝ex与y＝x＋1相切，设切点为(x1，y1)，易知y'＝ex，
则＝1，解得x1＝0，
即切点为(0，1)，切线为y＝x＋1，故A正确;
对于B，若y＝ln x与y＝x＋1相切，
设切点为(x2，y2)，易知y'＝(ln x)'＝，
则＝1，解得x2＝1，
切点为(1，0)，切线方程为y＝x－1，故B错误;
对于C，若y＝sin x＋1与y＝x＋1相切，
设切点为(x3，y3)，
易知y'＝cos x，
则cos x3＝1，解得x3＝2kπ，k∈Z，
当k＝0时，切点为(0，1)，切线方程为y＝x＋1，故C正确;
对于D，易知y＝x3＋1与y＝x＋1有三个交点，(0，1)，(1，2)，(－1，0)，
又y'＝3x2，显然在三个交点处的斜率均不是1，
所以y＝x＋1不是切线，故D错误.
一、单选题
1.已知f(x)＝，则f'＝(　　)
A.－2－ln 2 B.－2＋ln 2
C.2－ln 2 D.2＋ln 2
答案　D
解析　依题意有
f'(x)＝，
f'＝2＋ln 2.
2.若函数f(x)满足＝2，则＝(　　)
A.2 B.1
C.0 D.－1
答案　D
解析　因为＝2，
所以
＝－
＝－×2＝－1.
3.(2026·湛江模拟)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1
C.y＝2x D.y＝3x
答案　B
解析　由f(x)＝ex＋2x，得f'(x)＝ex＋2，
则f'(0)＝3，又f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.
4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
答案　B
解析　由导函数的图象可得，导函数f'(x)的值在[－1，0]上逐渐增大，在[0，1]上逐渐减小，
所以函数f(x)在[－1，0]上增长速度逐渐变快，在[0，1]上增长速度逐渐变慢，故选B.
5.(2026·厦门模拟)已知直线l与曲线y＝x3－x在原点处相切，则l的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由y'＝3x2－1，得y'|x＝0＝－1，
即直线l的斜率为－1，所以l的倾斜角为.
6.函数y＝f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　)
A.2f'(3)B.2f'(3)<2f'(5)C.f(5)－f(3)<2f'(3)<2f'(5)
D.2f'(5)<2f'(3)答案　A
解析　由图可知，f'(3)<即2f'(3)7.已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f'(x)，则f'(－1)＝(　　)
A.－ B.
C.－2 D.2
答案　A
解析　因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，两边求导，
得f'(x)＝f'(－x)·(－x)'，
f'(x)＝－f'(－x).
又f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，
所以f'(1)＝.
所以f'(－1)＝－f'(1)＝－.
二、多选题
8.(2026·濮阳段考)下列求导运算正确的有(　　)
A.'＝－sin
B.(xln x)'＝ln x＋1
C.'＝
D.'＝x2－1
答案　BCD
解析　'＝0，故A错误;
(xln x)'＝ln x＋1，故B正确;
'＝，故C正确;
'＝x2－1＋0＝x2－1，故D正确.
9.(2026·郑州调研)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　)
A.lm的斜率的最小值为－2
B.lm的斜率的最小值为－3
C.l0的方程为y＝1
D.l－1的方程为y＝9x＋6
答案　BCD
解析　因为f'(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3.
因为f'(0)＝0，f(0)＝1，
所以l0的方程为y＝1.
因为f'(－1)＝9，f(－1)＝－3，
所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6.
三、填空题
10.(2026·衡阳调研)若函数f(x)＝f'(－1)·x2－2x＋1，则f'(－1)＝　　　　.
答案　－1
解析　因为f(x)＝f'(－1)x2－2x＋1，
所以f'(x)＝f'(－1)x－2，
得到f'(－1)＝－f'(－1)－2，
解得f'(－1)＝－1.
11.函数f(x)＝x3－3x2的图象上过点(3，0)的所有切线的方程为　　　　.
答案　y＝0和y＝9x－27
解析　由题意得f'(x)＝3x2－6x.设切点为(x0，y0)，
则f'(x0)＝3－6x0，
所以切线的方程为
y－y0＝(3－6x0)(x－x0).
又切线过点(3，0)，
所以0－y0＝(3－6x0)(3－x0).
又y0＝－3，
化简得2－12＋18x0＝0，
所以x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，切线方程为y＝0;
当x0＝3时，切线方程为y＝9(x－3)，
即y＝9x－27.
12.(2026·西安部分学校联考)若M是曲线f(x)＝2x2－ln x上任意一点，则点M到直线y＝3x－6的最小距离为　　　　.
答案　
解析　设曲线在点M(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线y＝3x－6平行，此时点M到直线y＝3x－6的距离最小.
因为f'(x)＝4x－，x>0，
所以4x0－＝3，即4－3x0－1＝0，
解得x0＝1或x0＝－(舍去)，
所以f(1)＝2，即切点为M(1，2)，
所以切点到直线y＝3x－6的距离为.
四、解答题
13.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＝2xf'(e)＋ln x.
(1)求f'(e)及f(e)的值;
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程.
解　(1)∵f(x)＝2xf'(e)＋ln x，
∴f'(x)＝2f'(e)＋，
f'(e)＝2f'(e)＋，
∴f'(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，
∴f(e)＝－＋ln e＝－1.
(2)∵f(x)＝－＋ln x，
f'(x)＝－，
∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，
f'(e2)＝－，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为
y－(2－2e)＝(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
14.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
解　(1)因为f'(x)＝3x2－8x＋5，
所以f'(2)＝1，
又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，－4＋5x0－4)，
因为f'(x0)＝3－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，－4＋5x0－4)，
所以－4＋5x0－2＝(3－8x0＋5)·(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或x0＝1，
所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.(共51张PPT)
数学
高考总
复
习
第三章　一元函数的导数及其应用
第1节　导数的概念、意义及运算
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作________或_________，
f'(x0)＝________________________.
(2)函数y＝f(x)的导函数
f'(x)＝.
f'(x0)
y'
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，相应的切线方程为_______________________.
斜率
y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
0
αxα-1
cos x
-sin x
axln a
ex
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝_____
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝_____
f(x)＝sin x f'(x)＝_____
f(x)＝cos x f'(x)＝_____
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f'(x)＝_____
f(x)＝ex f'(x)＝_____
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f'(x)＝
f(x)＝ln x f'(x)＝
4.导数的运算法则
若f'(x)，g'(x)存在，则有:
(1)[f(x)±g(x)]'＝______________;
(2)[f(x)g(x)]'＝______________________;
(3)(g(x)≠0);
(4)[cf(x)]'＝_________.
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx'＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)
cf'(x)
yu'·ux'
常用结论与微点提醒
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.
2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上;“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上.
3.函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f'(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况.(　　)
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导函数f'(x)＝cos x.(　　)
(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f'(x)＝－cos x，错误.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
(3)求f'(x0)时，可先求f(x0)，再求f'(x0).(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)
(3)求f'(x0)时，应先求f'(x)，再代入求值，错误.
(4)函数y＝x2与x＝0这条直线只有一个公共点，但它们相交，错误.
×
×
2.(人教B选修三P87例3改编)(多选)下列导数运算中正确的是(　 　)
A.(e5x－1)'＝5e5x－1
B.[ln(2x＋1)]'＝
C.()'＝
D.'＝－2cos
ABC
选项D中，'＝2cos.
3.(人教A选修二P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)＝f'cos x－sin x，则f'＝　　　　　.
f'(x)＝－f'sin x－cos x，
令x＝，得f'＝－f'，
解得f'＝1－.
1-
4.(人教A选修二P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝　　　　.
2e
由y＝xex，得y'＝ex(x＋1)，
所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为2e，
由y＝aln x＋2，得y'＝，
所以该曲线在点(1，2)处切线斜率为a.
因为两切线平行，所以a＝2e.
考点聚焦突破
02
例1设f(x)在x＝x0处可导，下列式子与f'(x0)相等的是(　　)
A.
B.
C.
D.
B
考点一　导数的概念
对于A，＝－＝－f'(x0)，
A错误;
对于B，＝f'(x0)，B正确;
对于C，＝2＝2f'(x0)，C错误;
对于D，＝－＝－f'(x0)，
D错误.故选B.
感悟提升
由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f'(x0)＝， 它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(x0＋Δx)－f(x0)时，分母也应该是(x0＋Δx)－x0，要注意公式的变形.
训练1 若函数f(x)在x＝1处的导数为2，则＝(　　)
A.2 B.1
C. D.6
B
由函数f(x)在x＝1处的导数为2，得f'(1)＝2，
所以f'(1)＝1.
－
考点二　导数的运算
例2 (1)设函数f(x)的导数为f'(x)，且f(x)＝x2＋3xf'(2)＋ln x，则f'(2)＝　　　　.
f'(x)＝2x＋3f'(2)＋， 故f'(2)＝4＋3f'(2)＋，故f'(2)＝－.
(2)求下列函数的导数:
①y＝x2sin x;
②y＝ln;
①y'＝(x2)'sin x＋x2(sin x)'＝2xsin x＋x2cos x.
②y'＝·()'＝.
③y＝;
④y＝xsincos.
③y'＝＝－.
④∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y'＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
感悟提升
导数运算的注意点
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
训练2 (1)(多选)(2025·河南名校调研)下列求导运算正确的是(　　 )
A.'＝1－ B.(e2x)'＝e2x
C.(log2x)'＝ D.'＝
AC
对于A，'＝1－，故A正确;
对于B，(e2x)'＝e2x(2x)'＝2e2x，故B错误;
对于C，(log2x)'＝，故C正确;
对于D，'＝＝－，故D错误.
(2)设函数f(x)的导函数是f'(x)，若f(x)＝f'(π)x2－cos x，则f'＝　　　　.
因为f(x)＝f'(π)x2－cos x，
所以f'(x)＝2f'(π)x＋sin x，
所以f'(π)＝2πf'(π)， 解得f'(π)＝0，
所以f'(x)＝sin x，所以f'.
例3 (1)(2026·江西六校联考)已知函数f(x)＝则曲线f(x)在点(7，f(7))处的切线方程为(　　)
A.8x＋y－40＝0 B.4x＋y－12＝0
C.8x－y－72＝0 D.x＋4y－22＝0
A
当x∈(0，2]时，f'(x)＝2x－3，
当x∈(6，8]时，f(x)＝2f(x－2)＝8f(x－6)，则f'(x)＝8f'(x－6)，
所以f(7)＝8f(1)＝－16，f'(7)＝8f'(1)＝－8，
则所求切线方程为y－(－16)＝－8(x－7)，即8x＋y－40＝0.故选A.
考点三　求切线方程
(2)(多选)(2026·商洛模拟)过点(1，0)向曲线y＝x3－x作切线，则切线方程可能是(　　)
A.2x－y－2＝0 B.3x－y－3＝0
C.x＋4y－1＝0 D.2x＋y－2＝0
AC
令f(x)＝x3－x，则f'(x)＝3x2－1.
设切点坐标为(x0，－x0)，
则切线方程为y－(－x0)＝(3－1)(x－x0)，
将(1，0)代入，整理得2－3＋1＝2－2＋1＝0，
即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，切线方程为2x－y－2＝0;
当x0＝－时，切线方程为x＋4y－1＝0.故选AC.
感悟提升
求函数y＝f(x)的切线方程
若已知曲线y＝f(x)和点P(x0，y0)，求过点P的切线方程.
(1)当P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f'(x0)(x－x0).
(2)当P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1，f(x1));
第二步:写出过点P'(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1);
第三步:将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y－f(x1)＝f'(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程.
训练3 (1)曲线y＝＋sin在点(0，1)处的切线方程为(　　)
A.y＝x－1 B.x＝1
C.y＝1 D.y＝x＋1
D
因为y＝＋sin(π－2x)＝＋sin 2x，
所以y'＝－＋2cos 2x，
所以曲线y＝＋sin(π－2x)在点(0，1)处的切线斜率为－＋2cos 0＝－1＋2＝1，
所以切线方程为y－1＝1×(x－0)，即y＝x＋1.
(2)(多选)下列函数的图象与直线y＝x＋1相切的有(　　)
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝sin x＋1 D.y＝x3＋1
AC
对于A，若y＝ex与y＝x＋1相切，设切点为(x1，y1)，易知y'＝ex，
则＝1，解得x1＝0，
即切点为(0，1)，切线为y＝x＋1，故A正确;
对于B，若y＝ln x与y＝x＋1相切，
设切点为(x2，y2)，易知y'＝(ln x)'＝，
则＝1，解得x2＝1，切点为(1，0)，切线方程为y＝x－1，故B错误;
对于C，若y＝sin x＋1与y＝x＋1相切，
设切点为(x3，y3)，
易知y'＝cos x，
则cos x3＝1，解得x3＝2kπ，k∈Z，
当k＝0时，切点为(0，1)，切线方程为y＝x＋1，故C正确;
对于D，易知y＝x3＋1与y＝x＋1有三个交点，(0，1)，(1，2)，(－1，0)，
又y'＝3x2，显然在三个交点处的斜率均不是1，
所以y＝x＋1不是切线，故D错误.
课时对点精练
03
一、单选题
1.已知f(x)＝，则f'＝(　　)
A.－2－ln 2 B.－2＋ln 2
C.2－ln 2 D.2＋ln 2
D
依题意有f'(x)＝，
f'＝2＋ln 2.
2.若函数f(x)满足＝2，则＝(　　)
A.2 B.1
C.0 D.－1
D
因为＝2，
所以
＝－
＝－×2＝－1.
3.(2026·湛江模拟)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1
C.y＝2x D.y＝3x
B
由f(x)＝ex＋2x，得f'(x)＝ex＋2，
则f'(0)＝3，又f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.
4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
B
由导函数的图象可得，导函数f'(x)的值在[－1，0]上逐渐增大，在[0，1]上逐渐减小，
所以函数f(x)在[－1，0]上增长速度逐渐变快，在[0，1]上增长速度逐渐变慢，故选B.
5.(2026·厦门模拟)已知直线l与曲线y＝x3－x在原点处相切，则l的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
C
由y'＝3x2－1，得y'|x＝0＝－1，
即直线l的斜率为－1，所以l的倾斜角为.
6.函数y＝f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　)
A.2f'(3)B.2f'(3)<2f'(5)C.f(5)－f(3)<2f'(3)<2f'(5)
D.2f'(5)<2f'(3)A
由图可知，f'(3)<即2f'(3)7.已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f'(x)，则f'(－1)＝(　　)
A.－ B.
C.－2 D.2
A
因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，两边求导，
得f'(x)＝f'(－x)·(－x)'，f'(x)＝－f'(－x).
又f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，
所以f'(1)＝.所以f'(－1)＝－f'(1)＝－.
二、多选题
8.(2026·濮阳段考)下列求导运算正确的有(　 　)
A.'＝－sin B.(xln x)'＝ln x＋1
C.'＝ D.'＝x2－1
BCD
'＝0，故A错误;
(xln x)'＝ln x＋1，故B正确;
'＝，故C正确;
'＝x2－1＋0＝x2－1，故D正确.
9.(2026·郑州调研)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　 　)
A.lm的斜率的最小值为－2 B.lm的斜率的最小值为－3
C.l0的方程为y＝1 D.l－1的方程为y＝9x＋6
BCD
因为f'(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3.
因为f'(0)＝0，f(0)＝1，
所以l0的方程为y＝1.
因为f'(－1)＝9，f(－1)＝－3，
所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6.
三、填空题
10.(2026·衡阳调研)若函数f(x)＝f'(－1)·x2－2x＋1，则f'(－1)＝　　　　.
－1
因为f(x)＝f'(－1)x2－2x＋1，
所以f'(x)＝f'(－1)x－2，
得到f'(－1)＝－f'(－1)－2，
解得f'(－1)＝－1.
11.函数f(x)＝x3－3x2的图象上过点(3，0)的所有切线的方程为　　　　　　　　　　　　　　.
y＝0和y＝9x－27
由题意得f'(x)＝3x2－6x.设切点为(x0，y0)，
则f'(x0)＝3－6x0，
所以切线的方程为
y－y0＝(3－6x0)(x－x0).
又切线过点(3，0)，
所以0－y0＝(3－6x0)(3－x0).
又y0＝－3，
化简得2－12＋18x0＝0，
所以x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，切线方程为y＝0;
当x0＝3时，切线方程为y＝9(x－3)，
即y＝9x－27.
12.(2026·西安部分学校联考)若M是曲线f(x)＝2x2－ln x上任意一点，则点M到直
线y＝3x－6的最小距离为　　　　.
设曲线在点M(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线y＝3x－6平行，
此时点M到直线y＝3x－6的距离最小.
因为f'(x)＝4x－，x>0，所以4x0－＝3，即4－3x0－1＝0，
解得x0＝1或x0＝－(舍去)，
所以f(1)＝2，即切点为M(1，2)，
所以切点到直线y＝3x－6的距离为.
四、解答题
13.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＝2xf'(e)＋ln x.
(1)求f'(e)及f(e)的值;
∵f(x)＝2xf'(e)＋ln x，∴f'(x)＝2f'(e)＋，
f'(e)＝2f'(e)＋，
∴f'(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，
∴f(e)＝－＋ln e＝－1.
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程.
∵f(x)＝－＋ln x，
f'(x)＝－，
∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，
f'(e2)＝－，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为
y－(2－2e)＝(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
14.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;
因为f'(x)＝3x2－8x＋5，
所以f'(2)＝1，
又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
设切点坐标为(x0，－4＋5x0－4)，
因为f'(x0)＝3－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，－4＋5x0－4)，
所以－4＋5x0－2＝(3－8x0＋5)·(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或x0＝1，
所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.

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