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第2节　导数几何意义的应用
课标要求　1.会利用导数的几何意义求切点坐标或参数. 2.理解公切线的意义，会解决曲线的公切线问题.
考点一　求切点坐标或参数
例1 (1)(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝　　　　.
(2)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　.
答案　(1)4　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析　(1)设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a相切于点(x0，＋x0＋a)，
由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，
所以y'＋1＝2，解得x0＝0，
所以切点坐标为(0，1＋a)，
又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，
所以1＋a＝5，解得a＝4.
(2)因为y＝(x＋a)ex，所以y'＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y'＝(x0＋a＋1)，
化简，得＋ax0－a＝0.
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根，
所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，
所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
感悟提升　处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.
训练1 (1)(2026·莆田模拟)曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为(　　)
A.(－1，－1) B.
C.(1，e－1) D.(1，2e－1)2
(2)函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为(　　)
A.(－2，1) B.(－2，－1)
C.(－2，0) D.(－3，－2)
(3)(2026·四川部分学校联考)已知函数f(x)＝x2＋的图象在点(1，f(1))处的切线过点(3，0)，则a＝　　　　.
答案　(1)B　(2)D　(3)5
解析　(1)由y＝xex－x得y'＝(x＋1)ex－1，
因为曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，
所以令y'＝－1，则(x＋1)ex＝0，故x＝－1，
此时y＝－e－1－(－1)＝1－，
即P的坐标为.
(2)由f(x)＝x2＋aln x，得f'(x)＝x＋(x>0)，不妨设这两条相互垂直的切线的切点坐标为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，且f'(x1)·f'(x2)＝－1.
若a≥0，则f'(x)>0恒成立，不符合题意，
所以a<0，可排除A项.
此时易知y＝f'(x)单调递增，要满足题意则需
解得a∈(－3，－2).
(3)由题知f(1)＝1＋a，且f'(x)＝2x－，
则f'(1)＝2－a，
所以切线方程为y－(1＋a)＝(2－a)(x－1)，
又该切线过点(3，0)，
所以0－(1＋a)＝(2－a)(3－1)，则a＝5.
考点二　公切线问题
角度1　共切点的公切线问题
例2 已知曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，则a＝(　　)
A.1 B.
C.－ D.－1
答案　B
解析　对于y＝ln x，求导得y'＝，所以在点(1，0)处的切线斜率k＝1，
对于y＝a，求导得y'＝a，
所以a＝1，
解得a＝，故选B.
角度2　切点不同的公切线问题
例3 直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为(　　)
A. B.1
C.2 D.e
答案　B
解析　由y＝ex＋1，可得y'＝ex;
由y＝ex＋1，可得y'＝ex＋1，
设两个切点的坐标分别为(x1，＋1)和(x2，)，直线l的斜率k＝，
故x1＝x2＋1， 即x1≠x2，
所以k＝＝1，
即直线l的斜率为1.
感悟提升　公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
训练2 (1)若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n等于(　　)
A.－30 B.－25
C.26 D.28
(2)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为　　　　.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)，
与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m).
对于函数y＝x2－3ln x，y'＝2x－，
则2b－＝－1，
解得b＝1或b＝－(舍去)，
所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2.
对于函数y＝x3＋nx－52，y'＝3x2＋n，
则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，
整理得a3＝－27，则a＝－3，
所以n＝－3a2－1＝－28，故m－n＝26.
(2)设公共点的坐标为(x0，y0)(x0>0)，
∵f'(x)＝2ax，g'(x)＝，
则
一、单选题
1.曲线y＝(1－x)4在点处切线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　对函数求导得y'＝－×4(1－x)3
＝(x－1)3，
所以曲线在点处切线的斜率为k＝
(2－1)3＝1.
所以切线的倾斜角为.
2.曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案　C
解析　因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，
所以曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2，
因为f'(x)＝ex＋a，
所以f'(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1.
3.设函数f(x)＝x＋的图象过x轴上一点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　)
A.y＝－x B.y＝－x－1
C.y＝0 D.y＝x－1
答案　C
解析　令x＋＝0，即x(x＋2)＋1＝0，
即(x＋1)2＝0，解得x＝－1，
故P(－1，0)，f'(x)＝1－，
则f'(－1)＝1－＝0，
则其切线方程为y－0＝f'(－1)(x＋1)，
即y＝0.
4.已知直线y＝x是曲线f(x)＝ln x＋a的切线，则a＝(　　)
A.－1 B.1
C.－2 D.2
答案　B
解析　由f(x)＝ln x＋a，得f'(x)＝，
令直线y＝x与曲线f(x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)，
于是＝1且ln x0＋a＝x0，
所以a＝x0＝1.
5.若曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则实数a等于(　　)
A.－1 B.－
C.－2 D.2
答案　C
解析　∵y＝2sin x－2cos x，
∴y'＝2cos x＋2sin x，
∴曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线的斜率k＝y'＝2cos＋2sin＝2.
∵切线与直线x－ay＋1＝0垂直，
∴直线x－ay＋1＝0的斜率为－，
即＝－，
∴a＝－2.
6.过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为(　　)
A.y＝x B.y＝2x
C.y＝x D.y＝ex
答案　A
解析　由函数y＝ex－2＋1，可得y'＝ex－2，
设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，
把原点(0，0)代入方程，
可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，
即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，
所以切线方程为
y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.
7.已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则(　　)
A.k＝，b＝0 B.k＝1，b＝0
C.k＝，b＝－1 D.k＝1，b＝－1
答案　A
解析　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x相切的切点坐标为(x1，y1)，直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln(－x)相切的切点坐标为(x2，y2)，对y＝ln x求导得y'＝，对y＝－ln(－x)求导得
y'＝－·(－1)＝－，
所以有
得
解得
所以k＝.
二、多选题
8.设n∈N*，曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线的斜率为kn，与x轴的交点为(xn，0)，与y轴的交点为(0，yn)，则(　　)
A.kn＋yn＝－1
B.yn＝－knxn
C.x1x2·…·xn＝
D.k1k2·…·kn－1＝(－1)n－1y1y2·…·yn
答案　BC
解析　由于y'＝(n＋1)xn，所以kn＝n＋1，
切线方程为y＝(n＋1)x－n，
从而xn＝，yn＝－n.kn＋yn＝1，A错误;
yn＝－knxn，B正确;
x1x2·…·xn＝××…×，C正确;
k1k2·…·kn－1＝2×3×…×n＝n!，
(－1)n－1y1y2·…·yn＝(－1)n－1×(－1)n×1×2×…×n＝－n!，D错误.
9.过点P(a，b)作直线l与函数f(x)＝－2x3的图象相切，则(　　)
A.若P与原点重合，则l方程为y＝0
B.若l与直线x－6y＝0垂直，则6a＋b＝4
C.若点P在f(x)的图象上，则符合条件的l只有1条
D.若符合条件的l有3条，则<－
答案　AD
解析　设l与f(x)＝－2x3的图象切于点Q(t，－2t3)，
则切线斜率k＝f'(t)＝－6t2＝，
整理得4t3－6at2－b＝0.
对于A，若P与原点重合，则a＝b＝0，
所以t＝0，k＝0，l即x轴，方程为y＝0，
故A正确;
对于B，若l与直线x－6y＝0垂直，
则k＝－6t2＝－6，t＝±1，
当t＝1时，4－6a－b＝0，6a＋b＝4，
当t＝－1时，－4－6a－b＝0，6a＋b＝－4，故B错误;
对于C，当点P在f(x)的图象上时b＝－2a3，4t3－6at2＋2a3＝0，
所以(t－a)2(2t＋a)＝0，
解得t＝a，或t＝－，
当a≠0时，l有2条，故C错误;
对于D，设g(t)＝4t3－6at2－b，
g'(t)＝12t2－12at，
由g'(t)＝0得t＝0或t＝a，符合条件的l有3条，g(t)有3个零点，
则g(0)g(a)＝－b(－2a3－b)<0，
所以b(2a3＋b)<0，＋1<0，<－，故D正确.
三、填空题
10.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)，则点A的坐标是　　　　.
答案　(e，1)
解析　设A(x0，ln x0)，又y'＝，
则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，
将(－e，－1)代入得，
－1－ln x0＝(－e－x0)，
化简得ln x0＝，解得x0＝e，
则点A的坐标是(e，1).
11.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m＝　　　　.
答案　5
解析　依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.
∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，
∴f'(x)＝2x，h'(x)＝－4，
∴
∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.
12.若过点(1，t)可以作曲线y＝x－(x>0)的两条切线，则t的取值范围是　　　　.
答案　(－3，1)
解析　由y＝x－(x>0)求导，
得y'＝1＋，
设切点为P，
则切线方程y－(x－x0)，
由切线过(1，t)，
得t－(1－x0)，
整理得t＝＋1，
令＝s(s>0)，依题意方程t＝4s2－8s＋1(s>0)有两个不同的解，
函数t＝4s2－8s＋1＝4(s－1)2－3的对称轴为s＝1，且当s＝1时，tmin＝－3，
当s＝0时，t＝1.
作出函数t＝4s2－8s＋1(s>0)的图象.
由图知，方程t＝4s2－8s＋1(s>0)有两个不同的解等价于－3即t的取值范围为(－3，1).
四、解答题
13.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值;
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
解　f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
14.已知f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，求直线l的方程.
解　设直线l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
则y1＝，f'(x)＝ex，
∴f'(x1)＝，
∴切点为(x1，)，切线斜率k＝，
∴切线方程为y－(x－x1)，
即y＝·x－x1， ①
同理，设直线l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，g'(x)＝，
∴g'(x2)＝，
切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝，
∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)，
即y＝·x＋ln x2＋1， ②
由题意知，①与②相同，
∴
把③代入④得－x1＝－x1＋1，
即(1－x1)(－1)＝0，
解得x1＝1或x1＝0，
当x1＝1时，切线方程为y＝ex;
当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，
综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.(共41张PPT)
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第三章　一元函数的导数及其应用
第2节　导数几何意义的应用
1.会利用导数的几何意义求切点坐标或参数.
2.理解公切线的意义，会解决曲线的公切线问题.
课标要求
内容索引
考点聚焦突破
01
02
课时对点精练
考点聚焦突破
01
例1 (1)(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝　　　　.
4
设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a相切于点(x0，＋x0＋a)，
由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，
所以y'＋1＝2，解得x0＝0，
所以切点坐标为(0，1＋a)，
又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，
所以1＋a＝5，解得a＝4.
考点一　求切点坐标或参数
(2)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
因为y＝(x＋a)ex，所以y'＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，
切线斜率kOA＝y'＝(x0＋a＋1)，
化简，得＋ax0－a＝0.
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，
所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根，
所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，
所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
感悟提升
处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.
训练1 (1)(2026·莆田模拟)曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为(　　)
A.(－1，－1) B.
C.(1，e－1) D.(1，2e－1)2
B
由y＝xex－x得y'＝(x＋1)ex－1，
因为曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，
所以令y'＝－1，则(x＋1)ex＝0，故x＝－1，
此时y＝－e－1－(－1)＝1－，
即P的坐标为.
(2)函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为(　　)
A.(－2，1) B.(－2，－1)
C.(－2，0) D.(－3，－2)
由f(x)＝x2＋aln x，得f'(x)＝x＋(x>0)，不妨设这两条相互垂直的切线的切点坐标为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，且f'(x1)·f'(x2)＝－1.
若a≥0，则f'(x)>0恒成立，不符合题意，
所以a<0，可排除A项.
D
此时易知y＝f'(x)单调递增，
要满足题意则需
解得a∈(－3，－2).
(3)(2026·四川部分学校联考)已知函数f(x)＝x2＋的图象在点(1，f(1))处的切线过点(3，0)，则a＝　　　　.
5
由题知f(1)＝1＋a，且f'(x)＝2x－，
则f'(1)＝2－a，
所以切线方程为y－(1＋a)＝(2－a)(x－1)，
又该切线过点(3，0)，
所以0－(1＋a)＝(2－a)(3－1)，则a＝5.
角度1　共切点的公切线问题
B
对于y＝ln x，求导得y'＝，所以在点(1，0)处的切线斜率k＝1，
对于y＝a，求导得y'＝a，
所以a＝1，解得a＝，故选B.
考点二　公切线问题
例2 已知曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，则a＝(　　)
A.1 B.
C.－ D.－1
角度2　切点不同的公切线问题
例3 直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为(　　)
A. B.1
C.2 D.e
B
由y＝ex＋1，可得y'＝ex;由y＝ex＋1，可得y'＝ex＋1，
设两个切点的坐标分别为(x1，＋1)和(x2，)，
直线l的斜率k＝，故x1＝x2＋1， 即x1≠x2，
所以k＝＝1，即直线l的斜率为1.
感悟提升
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
训练2 (1)若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n等于(　　)
A.－30 B.－25
C.26 D.28
C
设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)，
与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m).
对于函数y＝x2－3ln x，y'＝2x－，
则2b－＝－1，
解得b＝1或b＝－(舍去)，
所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2.
对于函数y＝x3＋nx－52，y'＝3x2＋n，
则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，
整理得a3＝－27，则a＝－3，
所以n＝－3a2－1＝－28，故m－n＝26.
(2)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的
值为　　　　.
设公共点的坐标为(x0，y0)(x0>0)，
∵f'(x)＝2ax，g'(x)＝，
则
课时对点精练
02
一、单选题
1.曲线y＝(1－x)4在点处切线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
A
对函数求导得y'＝－×4(1－x)3＝(x－1)3，
所以曲线在点处切线的斜率为k＝(2－1)3＝1.
所以切线的倾斜角为.
2.曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
C
因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，
所以曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2，
因为f'(x)＝ex＋a，
所以f'(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1.
3.设函数f(x)＝x＋的图象过x轴上一点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　)
A.y＝－x B.y＝－x－1
C.y＝0 D.y＝x－1
C
令x＋＝0，即x(x＋2)＋1＝0，即(x＋1)2＝0，解得x＝－1，
故P(－1，0)，f'(x)＝1－，
则f'(－1)＝1－＝0，
则其切线方程为y－0＝f'(－1)(x＋1)，即y＝0.
4.已知直线y＝x是曲线f(x)＝ln x＋a的切线，则a＝(　　)
A.－1 B.1
C.－2 D.2
B
由f(x)＝ln x＋a，得f'(x)＝，
令直线y＝x与曲线f(x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)，
于是＝1且ln x0＋a＝x0，
所以a＝x0＝1.
5.若曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则实数a等于(　　)
A.－1 B.－
C.－2 D.2
C
∵y＝2sin x－2cos x，∴y'＝2cos x＋2sin x，
∴曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线的斜率k＝y'＝2cos＋2sin＝2.
∵切线与直线x－ay＋1＝0垂直，
∴直线x－ay＋1＝0的斜率为－，即＝－，∴a＝－2.
6.过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为(　　)
A.y＝x B.y＝2x
C.y＝x D.y＝ex
A
由函数y＝ex－2＋1，可得y'＝ex－2，
设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，
把原点(0，0)代入方程，
可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，
即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，
所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.
7.已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则(　　)
A.k＝，b＝0 B.k＝1，b＝0
C.k＝，b＝－1 D.k＝1，b＝－1
A
设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x相切的切点坐标为(x1，y1)，直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln(－x)相切的切点坐标为(x2，y2)，对y＝ln x求导得y'＝，对y＝－ln(－x)求导得y'＝－·(－1)＝－，
所以有
得
解得
所以k＝.
8.设n∈N*，曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线的斜率为kn，与x轴的交点为(xn，0)，与y轴的交点为(0，yn)，则(　　)
A.kn＋yn＝－1
B.yn＝－knxn
C.x1x2·…·xn＝
D.k1k2·…·kn－1＝(－1)n－1y1y2·…·yn
BC
由于y'＝(n＋1)xn，所以kn＝n＋1，
切线方程为y＝(n＋1)x－n，
二、多选题
从而xn＝，yn＝－n.kn＋yn＝1，A错误;
yn＝－knxn，B正确;
x1x2·…·xn＝××…×，C正确;
k1k2·…·kn－1＝2×3×…×n＝n!，
(－1)n－1y1y2·…·yn＝(－1)n－1×(－1)n×1×2×…×n＝－n!，D错误.
9.过点P(a，b)作直线l与函数f(x)＝－2x3的图象相切，则(　　)
A.若P与原点重合，则l方程为y＝0
B.若l与直线x－6y＝0垂直，则6a＋b＝4
C.若点P在f(x)的图象上，则符合条件的l只有1条
D.若符合条件的l有3条，则<－
AD
设l与f(x)＝－2x3的图象切于点Q(t，－2t3)，
则切线斜率k＝f'(t)＝－6t2＝，
整理得4t3－6at2－b＝0.
对于A，若P与原点重合，则a＝b＝0，
所以t＝0，k＝0，l即x轴，方程为y＝0，
故A正确;
对于B，若l与直线x－6y＝0垂直，
则k＝－6t2＝－6，t＝±1，
当t＝1时，4－6a－b＝0，6a＋b＝4，
当t＝－1时，－4－6a－b＝0，6a＋b＝－4，故B错误;
对于C，当点P在f(x)的图象上时b＝－2a3，4t3－6at2＋2a3＝0，
所以(t－a)2(2t＋a)＝0，
解得t＝a，或t＝－，
当a≠0时，l有2条，故C错误;
对于D，设g(t)＝4t3－6at2－b，
g'(t)＝12t2－12at，
由g'(t)＝0得t＝0或t＝a，符合条件的l有3条，g(t)有3个零点，
则g(0)g(a)＝－b(－2a3－b)<0，
所以b(2a3＋b)<0，＋1<0，<－，故D正确.
10.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)，则点A的坐标是　　　　.
设A(x0，ln x0)，又y'＝，
则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，
将(－e，－1)代入得，
－1－ln x0＝(－e－x0)，
化简得ln x0＝，解得x0＝e，
则点A的坐标是(e，1).
三、填空题
(e，1)
11.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m＝　　　　.
5
依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.
∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，
∴f'(x)＝2x，h'(x)＝－4，
∴
∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.
12.若过点(1，t)可以作曲线y＝x－(x>0)的两条切线，则t的取值范围是　　　　　　　.
(－3，1)
由y＝x－(x>0)求导，得y'＝1＋，
设切点为P，
则切线方程y－(x－x0)，
由切线过(1，t)，
得t－(1－x0)，
整理得t＝＋1，
令＝s(s>0)，依题意方程t＝4s2－8s＋1(s>0)有两个不同的解，
函数t＝4s2－8s＋1＝4(s－1)2－3的对称轴为s＝1，
且当s＝1时，tmin＝－3，
当s＝0时，t＝1.
作出函数t＝4s2－8s＋1(s>0)的图象.
由图知，方程t＝4s2－8s＋1(s>0)有两个不同的解等价于－3即t的取值范围为(－3，1).
13.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值;
f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).
由题意得
解得b＝0，a＝－3或1.
四、解答题
因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
14.已知f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，求直线l的方程.
设直线l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
则y1＝，f'(x)＝ex，
∴f'(x1)＝，
∴切点为(x1，)，切线斜率k＝，
∴切线方程为y－(x－x1)，
即y＝·x－x1， ①
同理，设直线l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，g'(x)＝，
∴g'(x2)＝，
切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝，
∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)，
即y＝·x＋ln x2＋1， ②
由题意知，①与②相同，
∴
把③代入④得－x1＝－x1＋1，
即(1－x1)(－1)＝0，
解得x1＝1或x1＝0，
当x1＝1时，切线方程为y＝ex;
当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，
综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.

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