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第3节　导数与函数的单调性(一)
课标要求　1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增
f'(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减
f'(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域;
第2步，求出导函数f'(x)的零点;
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f'(x)>0.(　　)
(2)在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f'(x)≥0.
(3)反例，f(x)＝－，虽然f'(x)＝>0，但f(x)＝－在其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性.
2.(人教B选修三P95A组T1改编)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，且y＝f'(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是　　　　，单调递减区间是　　　　.
答案　(0，1)　(1，2)
解析　由图知，当x∈(0，1)时，f'(x)>0，
当x∈(1，2)时，f'(x)<0，
故f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，2).
3.(人教A选修二P101习题T3改编)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是　　　　.
答案　(－∞，－2)，
解析　由f'(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)>0，
得x<－2或x>，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，.
4.(苏教选修一P213例2改编)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　[－3，0]
解析　f'(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.
考点一　利用导函数图象研究函数的单调性
例1 (1)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则其导函数f'(x)的图象可能是(　　)
(2)若定义在R上的函数y＝x3f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　)
A.[0，1] B.[0，2]
C.(－∞，0] D.(－∞，2]
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)由f(x)的图象可知，当x∈(－∞，0)时，函数f(x)单调递增，
则f'(x)≥0，故排除C，D;
当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)先单调递减、再单调递增最后单调递减，
则导函数值f'(x)应先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B，选A.
(2)由题图可得，
当0≤x≤2时，由y＝x3f'(x)≥0得f'(x)≥0，y＝f(x)在[0，2]上单调递增;
当x>2时，由y＝x3f'(x)<0得f'(x)<0，y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递减;
当x<0时，由y＝x3f'(x)>0得f'(x)<0，y＝f(x)在(－∞，0)上单调递减，
综上，函数y＝f(x)的单调递增区间为[0，2].
感悟提升　1.由原函数图象识别导函数图象的依据
若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数，则f'(x)＝0.
2.由导函数图象识别原函数图象的依据
若f'(x)>0，则f(x) 单调递增，若f'(x)<0，则f(x)单调递减.
训练1 (1)f'(x)是f(x)的导函数，若函数y＝f'(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　)
(2)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f'(x)，则>0的解集为(　　)
A.(1，6) B.(1，4)
C.(－∞，1)∪(6，＋∞) D.(1，4)∪(6，＋∞)
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)由y＝f'(x)的图象可得:在(－∞，b)上f'(x)≥0，在(b，＋∞)上f'(x)<0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得:y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D，且在x＝0处，f'(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.
(2)由题意，>0 f'(x)·f(x)>0，
由图可知，当x∈(－∞，4)时，
f(x)单调递增，f'(x)>0;
当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f'(x)<0，
所以当x∈(1，4)时，f'(x)>0且f(x)>0，
当x∈(6，＋∞)时，f'(x)<0且f(x)<0.
综上，>0的解集为(1，4)∪(6，＋∞).
考点二　不含参函数的单调性
例2 (1)(2026·烟台质检)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为　　　　.
(2)若函数f(x)＝x－ln x－，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
答案　(1)和　(2)(0，1)
解析　(1)由f(x)＝xsin x＋cos x可得f'(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
令f'(x)＝xcos x>0，
当x∈(－π，0)时，解得x∈;
当x∈(0，π)时，解得x∈.
因此可得f(x)的单调递增区间为.
(2)因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝1－.
令g(x)＝x－ex，x>0，
则g'(x)＝1－ex<0，
可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以g(x)所以当x∈(0，1)时，f'(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f'(x)<0，
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)的单调递增区间是(0，1).
感悟提升　确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点:一是不能漏掉求函数的定义域;二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
训练2 (1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
(2)函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为　　　　，单调递减区间为　　　　.
答案　(1)B　(2)(－∞，0)，(ln 2，＋∞)
(0，ln 2)
解析　(1)对于A，f'(x)＝2cos 2x，f'＝－1<0，不符合题意;
对于B，f'(x)＝(x＋1)ex>0，符合题意;
对于C，f'(x)＝3x2－1，f'＝－<0，不符合题意;
对于D，f'(x)＝－1＋，f'(2)＝－<0，不符合题意.
(2)f(x)的定义域为R，
f'(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，
令f'(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2).
考点三　含参函数的单调性
例3 已知函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x，其中a>0.讨论f(x)的单调性.
解　函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2ax－(a＋4)＋
＝，
因为a>0，由f'(x)＝0，
可得x1＝，x2＝，
①当>，即0当当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在上单调递减，
上单调递增;
②当a＝4，对任意的x>0，
f'(x)＝≥0，
即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增;
③当<，即a>4，
当当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在上单调递减，
上单调递增.
综上所述，当0函数f(x)在上单调递增，
在上单调递减;
当a＝4时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增;
当a>4时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减.
感悟提升　1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.如导函数与二次函数式有关，则分类讨论的标准一般有:判别式、二次项的系数、根的大小.
2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点.
训练3 (2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性.
解　由题意知f(x)的定义域为R，
f'(x)＝3x2－2x＋a，
对于f'(x)＝0，其判别式Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).
①当a≥时，Δ≤0，此时f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增;
②当a<时，Δ>0，
解f'(x)＝0，得
x1＝，x2＝，
令f'(x)>0，解得xx2;
令f'(x)<0，解得x1所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减.
综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增;
当a<时，f(x)在，
上单调递增，
在上单调递减.
一、单选题
1.函数f(x)＝2x－cos x在R上是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
答案　A
解析　∵f(x)＝2x－cos x，
∴f'(x)＝2＋sin x>0在R上恒成立，
∴f(x)在R上是增函数.
2.函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　f'(x)>0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f'(x)<0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，验证只有D符合.
3.下列函数在区间(0，π)上单调递减的是(　　)
A.y＝x－sin x B.y＝x＋cos x
C.y＝xsin x＋cos x D.y＝xcos x－sin x
答案　D
解析　A中，y'＝1－cos x，x∈(0，π)时，cos x<1，所以y'>0恒成立，
则y＝x－sin x在区间(0，π)上单调递增，A错误;
B中，y'＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x≤1，
所以y'≥0恒成立，则y＝x－sin x在区间(0，π)上单调递增，B错误;
C中，y'＝x'sin x＋x(sin x)'＋(cos x)'＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
当x∈时，cos x>0，
所以y'>0，y＝xsin x＋cos x在上是单调递增函数，C错误;
D中，y'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，
x∈(0，π)时，sin x>0，则y'<0恒成立，
所以y＝xcos x－sin x在区间(0，π)上单调递减，D正确.
4.若函数f(x)＝x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(－∞，－1)，(4，＋∞) B.(－1，4)
C.(0，4) D.(4，＋∞)
答案　C
解析　因为f(x)＝x2－3x－4ln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f'(x)＝x－3－
＝，
令f'(x)<0，解得0则函数f(x)的单调递减区间为(0，4).
5.已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝excos x的增区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为f(x)＝excos x，x∈(0，π)，
所以f'(x)＝(cos x－sin x)ex
＝excos，
令f'(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，f'(x)>0，
当x∈，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)在(0，π)上的增区间为.
6.设f'(x)是函数f(x)的导函数，在同一个直角坐标系中，y＝f(x)和y＝f'(x)的图象不可能是(　　)
答案　D
解析　对于A，f(x)＝x2和f'(x)＝x可满足，故A可能成立;
对于B，f(x)＝ln x和f'(x)＝(x>0)可满足，故B可能成立;
对于C，f(x)＝2x和f'(x)＝2xln 2可满足，故C可能成立;
对于D，因为f'(x)≥0或f'(x)≤0，所以f(x)为单调函数，故D错误.故选D.
7.函数f(x)＝的图象大致为(　　)
答案　C
解析　函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B;
当x>0时，函数f(x)＝，
则f'(x)＝，
当00，函数f(x)单调递增，
当x>e时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，排除D.
二、多选题
8.(2026·聊城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　)
A.函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞)上纯粹递增
B.函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增
C.函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减
D.函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减
答案　BC
解析　A项，f'(x)＝2x－2，由f'(1)＝0，
知A错误;
B项，f'(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时，
f'(x)>0恒成立，所以B正确;
C项，f'(x)＝cos x－2<0在[0，1]上恒成立，
所以C正确;
D项，f'(x)＝ex－3<0在[0，2]上不恒成立，
所以D错误.
9.已知函数f(x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　　)
A.(－1，0) B.(－2，－1)
C.(－1，3) D.(3，4)
答案　BD
解析　f'(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex
＝(x2－2x－3)ex，
令f'(x)>0，可得x2－2x－3>0，
解得x<－1或x>3，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)，
所以f(x)在(－2，－1)和(3，4)上单调递增.
三、填空题
10.函数f(x)＝＋x的单调递减区间为　　　　.
答案　
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝＋1＝，当x∈时，f'(x)<0，
当x∈时，f'(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为.
11.(2025·上海模拟)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f'(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式>0的解集为　　　　.
答案　(－3，－1)∪(0，1)
解析　依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f(x) 在区间(－3，－1)，(1，3)上单调递减，f'(x)<0;
f(x)在区间(－1，1)上单调递增，f'(x)>0.
所以>0的解集为(－3，－1)∪(0，1).
12.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为　　　　.
答案　－2
解析　f'(x)＝x2＋2mx＋n，
由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，
得f'(x)<0的解集为(－3，1)，
则－3，1是f'(x)＝0的解，
∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，
可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解　(1)f'(x)＝(x>0).
又由题意知f'(1)＝＝0，所以k＝1.
(2)由(1)知，f'(x)＝(x>0).
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h'(x)＝－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
由h(1)＝0知，当00，
所以f'(x)>0;
当x>1时，h(x)<0，
所以f'(x)<0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
14.已知函数f(x)＝－2x＋2ln a(a>0)，判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性.
解　由题知，f(x)＝－2x＋2ln a，
所以f'(x)＝，x>1，
当00，
f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
当a>时，令f'(x)＝0，x＝ln(2a)，
当1f(x)在(1，ln(2a))上单调递减;
当x>ln(2a)时，f'(x)>0，
f(x)在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.
综上，当0当a>时，f(x)在(1，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.(共49张PPT)
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第三章　一元函数的导数及其应用
第3节　导数与函数的单调性(一)
1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a，b)上__________
f'(x)<0 f(x)在(a，b)上__________
f'(x)＝0 f(x)在(a，b)上是__________
单调递增
单调递减
常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的________;
第2步，求出导函数f'(x)的______;
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
定义域
零点
常用结论与微点提醒
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f'(x)>0.(　　)
(2)在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f'(x)≥0.
(3)反例，f(x)＝－，虽然f'(x)＝>0，但f(x)＝－在其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
×
√
2.(人教B选修三P95A组T1改编)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，且y＝f'(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是　　　　，单调递减区间是________.
由图知，当x∈(0，1)时，f'(x)>0，
当x∈(1，2)时，f'(x)<0，
故f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，2).
(0，1)
( 1，2)
3.(人教A选修二P101习题T3改编)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间
是　　　　　　　　　　　　　　　　.
(－∞，－2)，
由f'(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)>0，
得x<－2或x>，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，.
4.(苏教选修一P213例2改编)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.
[－3，0]
f'(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.
考点聚焦突破
02
例1 (1)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则其导函数f'(x)的图象可能是(　　)
A
由f(x)的图象可知，当x∈(－∞，0)时，函数f(x)单调递增，
则f'(x)≥0，故排除C，D;
当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)先单调递减、再单调递增最后单调递减，
则导函数值f'(x)应先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B，选A.
考点一　利用导函数图象研究函数的单调性
(2)若定义在R上的函数y＝x3f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　)
A.[0，1] B.[0，2]
C.(－∞，0] D.(－∞，2]
B
由题图可得，
当0≤x≤2时，由y＝x3f'(x)≥0得f'(x)≥0，y＝f(x)在[0，2]上单调递增;
当x>2时，由y＝x3f'(x)<0得f'(x)<0，y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递减;
当x<0时，由y＝x3f'(x)>0得f'(x)<0，y＝f(x)在(－∞，0)上单调递减，
综上，函数y＝f(x)的单调递增区间为[0，2].
感悟提升
1.由原函数图象识别导函数图象的依据
若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数，则f'(x)＝0.
2.由导函数图象识别原函数图象的依据
若f'(x)>0，则f(x) 单调递增，若f'(x)<0，则f(x)单调递减.
训练1 (1)f'(x)是f(x)的导函数，若函数y＝f'(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　)
C
由y＝f'(x)的图象可得:在(－∞，b)上f'(x)≥0，在(b，＋∞)上f'(x)<0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得:y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D，且在x＝0处，f'(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.
(2)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f'(x)，则>0的解集为(　　)
A.(1，6) B.(1，4)
C.(－∞，1)∪(6，＋∞) D.(1，4)∪(6，＋∞)
由题意，>0 f'(x)·f(x)>0，由图可知，当x∈(－∞，4)时，
f(x)单调递增，f'(x)>0;
当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f'(x)<0，
所以当x∈(1，4)时，f'(x)>0且f(x)>0，当x∈(6，＋∞)时，f'(x)<0且f(x)<0.
综上，>0的解集为(1，4)∪(6，＋∞).
D
例2 (1)(2026·烟台质检)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，
则f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　.
和
由f(x)＝xsin x＋cos x可得f'(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
令f'(x)＝xcos x>0，当x∈(－π，0)时，解得x∈;
当x∈(0，π)时，解得x∈.
因此可得f(x)的单调递增区间为.
考点二　不含参函数的单调性
(2)若函数f(x)＝x－ln x－，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
(0，1)
因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝1－.
令g(x)＝x－ex，x>0，则g'(x)＝1－ex<0，
可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)所以当x∈(0，1)时，f'(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f'(x)<0，
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)的单调递增区间是(0，1).
感悟提升
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点:一是不能漏掉求函数的定义域;二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
训练2 (1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
B
对于A，f'(x)＝2cos 2x，f'＝－1<0，不符合题意;
对于B，f'(x)＝(x＋1)ex>0，符合题意;
对于C，f'(x)＝3x2－1，f'＝－<0，不符合题意;
对于D，f'(x)＝－1＋，f'(2)＝－<0，不符合题意.
(2)函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为　　　　　　　　　　　，单调递减区间为　　　　.
f(x)的定义域为R，f'(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，
令f'(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
(－∞，0)，(ln 2，＋∞)
(0，ln 2)
x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2).
例3 已知函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x，其中a>0.讨论f(x)的单调性.
考点三　含参函数的单调性
函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2ax－(a＋4)＋＝，
因为a>0，由f'(x)＝0，可得x1＝，x2＝，
①当>，即0当0时，f'(x)>0，即函数f(x)在上单调递减，
上单调递增;
②当a＝4，对任意的x>0，f'(x)＝≥0，
即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增;
③当<，即a>4，当时，f'(x)>0，
即函数f(x)在上单调递减，上单调递增.
综上所述，当0函数f(x)在上单调递增，在上单调递减;
当a＝4时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增;
当a>4时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减.
感悟提升
1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.如导函数与二次函数式有关，则分类讨论的标准一般有:判别式、二次项的系数、根的大小.
2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点.
训练3 (2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性.
由题意知f(x)的定义域为R，f'(x)＝3x2－2x＋a，
对于f'(x)＝0，其判别式Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).
①当a≥时，Δ≤0，此时f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增;
②当a<时，Δ>0，
解f'(x)＝0，得x1＝，x2＝，
令f'(x)>0，解得xx2;
令f'(x)<0，解得x1所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减.
综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增;
当a<时，f(x)在，
上单调递增，
在上单调递减.
课时对点精练
03
一、单选题
1.函数f(x)＝2x－cos x在R上是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定　　
A
∵f(x)＝2x－cos x，
∴f'(x)＝2＋sin x>0在R上恒成立，
∴f(x)在R上是增函数.
2.函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)　　　　
D
f'(x)>0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f'(x)<0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，验证只有D符合.
3.下列函数在区间(0，π)上单调递减的是(　　)
A.y＝x－sin x B.y＝x＋cos x
C.y＝xsin x＋cos x D.y＝xcos x－sin x 　　
D
A中，y'＝1－cos x，x∈(0，π)时，cos x<1，所以y'>0恒成立，
则y＝x－sin x在区间(0，π)上单调递增，A错误;
B中，y'＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x≤1，
所以y'≥0恒成立，则y＝x－sin x在区间(0，π)上单调递增，B错误;
C中，y'＝x'sin x＋x(sin x)'＋(cos x)'＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
当x∈时，cos x>0，
所以y'>0，y＝xsin x＋cos x在上是单调递增函数，C错误;
D中，y'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，
x∈(0，π)时，sin x>0，则y'<0恒成立，
所以y＝xcos x－sin x在区间(0，π)上单调递减，D正确.
4.若函数f(x)＝x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(－∞，－1)，(4，＋∞) B.(－1，4)
C.(0，4) D.(4，＋∞)　　
C
因为f(x)＝x2－3x－4ln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f'(x)＝x－3－＝，
令f'(x)<0，解得0则函数f(x)的单调递减区间为(0，4).
5.已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝excos x的增区间为(　　)
A. B.
C. D.
C
因为f(x)＝excos x，x∈(0，π)，
所以f'(x)＝(cos x－sin x)ex＝excos，
令f'(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，f'(x)>0，
当x∈，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)在(0，π)上的增区间为.
6.设f'(x)是函数f(x)的导函数，在同一个直角坐标系中，y＝f(x)和y＝f'(x)的图象不可能是(　　)
D
对于A，f(x)＝x2和f'(x)＝x可满足，故A可能成立;
对于B，f(x)＝ln x和f'(x)＝(x>0)可满足，故B可能成立;
对于C，f(x)＝2x和f'(x)＝2xln 2可满足，故C可能成立;
对于D，因为f'(x)≥0或f'(x)≤0，所以f(x)为单调函数，故D错误.故选D.
7.函数f(x)＝的图象大致为(　　)
C
函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B;
当x>0时，函数f(x)＝，则f'(x)＝，
当00，函数f(x)单调递增，
当x>e时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，排除D.
8. (2026·聊城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　)
A.函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞)上纯粹递增
B.函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增
C.函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减
D.函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减
BC
A项，f'(x)＝2x－2，由f'(1)＝0，
知A错误;
二、多选题
B项，f'(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时，
f'(x)>0恒成立，所以B正确;
C项，f'(x)＝cos x－2<0在[0，1]上恒成立，
所以C正确;
D项，f'(x)＝ex－3<0在[0，2]上不恒成立，
所以D错误.
9.已知函数f(x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　　)
A.(－1，0) B.(－2，－1)
C.(－1，3) D.(3，4)
BD
f'(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex＝(x2－2x－3)ex，
令f'(x)>0，可得x2－2x－3>0，
解得x<－1或x>3，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)，
所以f(x)在(－2，－1)和(3，4)上单调递增.
10.函数f(x)＝＋x的单调递减区间为　　　　.
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝＋1＝，
当x∈时，f'(x)<0，
当x∈时，f'(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为.
三、填空题
11.(2025·上海模拟)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f'(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式>0的解集为　　　　　　　　　　　.
(－3，－1)∪(0，1)
依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f(x) 在区间(－3，－1)，(1，3)上单调递减，f'(x)<0;
f(x)在区间(－1，1)上单调递增，f'(x)>0.
所以>0的解集为(－3，－1)∪(0，1).
12.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为　　　　.
－2
f'(x)＝x2＋2mx＋n，
由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，
得f'(x)<0的解集为(－3，1)，
则－3，1是f'(x)＝0的解，
∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，
可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.
13.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
f'(x)＝(x>0).
又由题意知f'(1)＝＝0，所以k＝1.
四、解答题
由(1)知，f'(x)＝(x>0).
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h'(x)＝－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
由h(1)＝0知，当00，
所以f'(x)>0;
当x>1时，h(x)<0，所以f'(x)<0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2)求函数f(x)的单调区间.
14.已知函数f(x)＝－2x＋2ln a(a>0)，判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性.
由题知，f(x)＝－2x＋2ln a，
所以f'(x)＝，x>1，
当00，
f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
当a>时，令f'(x)＝0，x＝ln(2a)，
当1f(x)在(1，ln(2a))上单调递减;
当x>ln(2a)时，f'(x)>0，
f(x)在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.
综上，当0当a>时，f(x)在(1，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.

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