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第5节　导数中的函数构造问题
题型分析　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　通过导数的运算法则构造
角度1　利用f(x)与xn构造
例1 (2026·毕节模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf'(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为　　　　.
答案　(－∞，－4)∪(0，4)
解析　令F(x)＝xf(x)，
则F'(x)＝f(x)＋xf'(x)，
当x<0时，f(x)＋xf'(x)<0，
可以推出当x<0时，F'(x)<0，
∴F(x)在(－∞，0)上单调递减.
∵f(x)为偶函数，y＝x为奇函数，
∴F(x)为奇函数，
∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减.
根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，
根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0，4).
感悟提升　一般地，出现nf(x)＋xf'(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x);出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
角度2　利用f(x)与ex构造
例2 (2026·连云港联考)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R，有f'(x)－f(x)>0，则“x<2”是“e2x－3f(x＋1)>ex＋1f(2x－3)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
答案　A
解析　因为f'(x)－f(x)>0，
所以>0.
令g(x)＝，则g'(x)＝>0，
所以g(x)在R上单调递增.
由e2x－3f(x＋1)>ex＋1f(2x－3)，得>，得g(x＋1)>g(2x－3)，得x＋1>2x－3，得x<4，
所以“x<2”是“e2x－3f(x＋1)>ex＋1f(2x－3)”的充分不必要条件，故选A.
感悟提升　一般地，出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x);出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造
例3 (2026·邵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x＋f'(x)cos x>0，则(　　)
A.fC.f>f D.f>f
答案　B
解析　令F(x)＝，x≠＋kπ，k∈Z，
故F'(x)＝>0恒成立，
故F(x)＝，k∈Z上单调递增，故F即<，得<，得
f感悟提升　1.若F(x)＝f(x)sin x，则F'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x;
2.若F(x)＝，
则F'(x)＝;
3.若F(x)＝f(x)cos x，则F'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x;
4.若F(x)＝，
则F'(x)＝.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)，x∈R，f'(x)是其导函数，若f'(x)－4f(x)>0恒成立，且f＝1，则不等式f(x)－e4x－1<0的解集为　　　　.
(2)(2026·厦门调研)已知y＝f(x)是定义在(1，＋∞)上连续可导函数，其导函数为y＝f'(x)，若xf'(x)2ln x的解集为　　　　.
(3)(2026·杭州调研)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意x∈(0，π)，有f'(x)sin x>f(x)cos x，设a＝2f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为　　　　.
答案　(1)　(2)(e，e3)　(3)a解析　(1)令g(x)＝，
则g'(x)＝>0，
所以g(x)在R上单调递增.
又不等式f(x)－e4x－1<0，等价于<，
即g(x)<＝g，
所以x<，所以不等式f(x)－e4x－1<0的解集为.
(2)令g(x)＝(x>1)，
则g'(x)＝，
因为xf'(x)所以g'(x)<0，
则g(x)＝(x>1)在区间(1，＋∞)上单调递减，
又f(3)＝6，由f(ln x)>2ln x，
得到
所以1(3)令F(x)＝，x≠kπ，k∈Z，
则x∈(0，π)时，
F'(x)＝>0，
所以函数F(x)在(0，π)上单调递增，
于是F即2f所以a题型二　通过变量构造具体函数
例4 若实数a，b，c∈[0，1]，且满足ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.b>c>a
答案　C
解析　由ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，
得.
令f(x)＝，则f'(x)＝，
当x<1时，f'(x)>0，当x>1时，f'(x)<0，
所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
于是f(1)>f(1.2)>f(1.6)，
即f(a)>f(b)>f(c)，
又a，b，c∈[0，1]，所以a>b>c.
感悟提升　若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解.
训练2 (2026·十堰模拟)已知sin5α＋5cos α>cos5α＋5sin α，α∈[0，2π)，则α的取值范围为　　　　.
答案　∪
解析　令f(x)＝x5－5x，则f'(x)＝5(x4－1)，当x∈[－1，1]时，f'(x)≤0，
所以函数f(x)在[－1，1]上单调递减，
因为sin5α＋5cos α>cos5α＋5sin α，
所以sin5α－5sin α>cos5α－5cos α，
即f(sin α)>f(cos α)，
因为sin α，cos α∈[－1，1]，
所以sin α即sin α－cos α＝sin<0，
因为0≤α<2π，则－≤α－<，
所以－≤α－<0或π<α－<，
解得0≤α<<α<2π.
因此，α的取值范围是∪.
一、单选题
1.(2026·萍乡模拟)记x，y为实数，设甲:y>x>0;乙:x－cos yA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　令函数f(x)＝x＋cos x，求导得f'(x)＝1－sin x≥0，故f(x)在R上单调递增，
由y>x>0，得f(y)>f(x)，
即x－cos y由x－cos y即f(x)x，
故必要性不成立，
综上可知，甲是乙的充分不必要条件.
2.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f'(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A.(－1，1) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)
答案　B
解析　∵f(x)>2x＋4，∴f(x)－2x－4>0，
令g(x)＝f(x)－2x－4，
则g'(x)＝f'(x)－2>0，
∴g(x)为R上的增函数，
又∵g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.
∴由g(x)>g(－1)＝0得x>－1.
3.已知函数f(x)的定义域为R，设f(x)的导函数是f'(x)，且f(x)·f'(x)＋sin x>0恒成立，则(　　)
A.ff
C.< D.>
答案　D
解析　设g(x)＝f2(x)－2cos x，
则g'(x)＝2f(x)·f'(x)＋2sin x>0，
故g(x)在定义域R上是增函数，
所以g>g，
即f2>f2，
所以>.
4.若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f'(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是(　　)
A.eaf(a)>ebf(b) B.ebf(a)>eaf(b)
C.ebf(b)>eaf(a) D.eaf(b)>ebf(a)
答案　D
解析　令h(x)＝exf(x)，则h'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]，而f(x)＋f'(x)正负不确定，
则函数h(x)的单调性不确定，当a>b时，h(a)，h(b)的大小关系不确定，A，C错误;
令g(x)＝，由f(x)>f'(x)，得g'(x)＝<0，函数g(x)为R上的单调递减函数，
由a>b，得g(a)5.(2025·武汉三模)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，对任意的x∈(0，＋∞)都有2f(x)－xf'(x)>0成立，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.4f(1)C.4f(2)>f(4) D.f>9f
答案　C
解析　设g(x)＝(x>0)，可得g'(x)＝.
因为对任意的x∈(0，＋∞)都有2f(x)－xf'(x)>0，
即xf'(x)－2f(x)<0，且x3>0，
所以g'(x)<0，
这表明g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
逐一分析选项，
对于A，由g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g(1)>g(2)，即>，也就是4f(1)>f(2)，所以A错误;
仅根据已知条件无法得出f(1)＝0，所以B错误;
对于C，由g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g(2)>g(4)，即>，也就是4f(2)>f(4)，所以C正确;
对于D，由g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g所以D错误.
6.(2026·济南模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.c答案　A
解析　∵b＝，c＝，构造函数f(x)＝，x>1，则f'(x)＝，
当10;当x>e时，f'(x)<0，
故函数f(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
由于b＝＝f(4)，c＝＝f(3)，且e<3<4，
则f(3)>f(4)，即c>b，又b＝>＝a，
所以a7.(2026·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf'(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　)
A.(－2，0)∪(0，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，0)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2)∪(0，2)
答案　D
解析　设g(x)＝，x≠0.
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
因为g(－x)＝＝－＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
所以g(－2)＝－g(2).
因为f(－2)＝0，
所以g(－2)＝－g(2)＝0.
当x>0时，g'(x)＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
此时不等式>0的解集是(0，2).
因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2).
综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).
8.若ln x－ln y<(x>1，y>1)，则(　　)
A.ey－x>1 B.ey－x<1
C.ey－x－1>1 D.ey－x－1<1
答案　A
解析　依题意，ln x－令f(t)＝t－(t≠0)，则f'(t)＝1＋>0，
所以f(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增;
又x>1，y>1，得ln x>0，ln y>0，
则f(ln x)由单调递增得ln x∴10，
所以ey－x>e0＝1，A正确，B不正确;
又y－x－1无法确定与0的大小关系，故C，D不正确.
二、多选题
9.已知函数y＝f(x)对任意x∈满足f'(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式成立的是(　　)
A.f(0)>f B.f>f
C.f(0)>2f D.f答案　BD
解析　令F(x)＝，
依题意当x∈时，
F'(x)＝>0，
故函数F(x)在上单调递增.
由F(0)即f(0)由F>F，得>，
即f>f，B正确;
由F(0)即f(0)<2f，C错误;
由F得<，
即f10.已知a>b>0，且，则(　　)
A.0C.1e
答案　CD
解析　，
设f(x)＝，则f'(x)＝，
令f'(x)>0，解得0令f'(x)<0，解得x>e，
∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在x＝e处取得最大值f(e)＝，
在(0，e)内，函数f(x)有唯一的零点x＝1，在(e，＋∞)内，f(x)>0，
又∵a>b>0且f(a)＝f(b)>0，
∴1e，故选CD.
11.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2)－ln 2>f(1) 　B.f(4)－f(2)>ln 2
C.f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　D.f(e2)－f(e)>1
答案　ABD
解析　构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
则g'(x)＝f'(x)－，
因为xf'(x)－1>0，所以g'(x)>0.
故g(x)是增函数，由g(2)>g(1)，
得f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确;
由g(4)>g(2)，得f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确;
由g(e)>g(2)，得f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，可得f(e)＋1>f(2)＋ln 2，故C错误;
由g(e2)>g(e)，得f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1，
故D正确.故选ABD.
三、填空题
12.已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)＋f(x)>0，且f(1)＝1，则xf(x)>1的解集为　　　　.
答案　(1，＋∞)
解析　令g(x)＝xf(x)，则g'(x)＝xf'(x)＋f(x)>0，则g(x)在R上单调递增，
因为f(1)＝1，则g(1)＝1，
则原不等式为g(x)>g(1)，故x>1.
13.已知函数f(x)在R上可导，且f'(x)＋f(x)<0，则不等式ex＋2·f(x＋2)答案　(－1，＋∞)
解析　设g(x)＝exf(x)，
则g'(x)＝ex[f'(x)＋f(x)]<0，
故g(x)在R上单调递减，
又ex＋2f(x＋2)即g(x＋2)故x＋2>－x，x>－1.故不等式ex＋2f(x＋2)14.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x2>x1>0时，>，若f(2)＝e2＋1，则ln xf(ln x)－xln x>2的解集为　　　　.
答案　(1，e2)
解析　由>，
得x1f(x1)－x1>x2f(x2)－x2，
令g(x)＝xf(x)－xex，
则g(x1)>g(x2)，又x2>x1>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
∵ln xf(ln x)－xln x>2，
g(2)＝2f(2)－2e2＝2，∴g(ln x)>g(2)，
∴0数学
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第三章　一元函数的导数及其应用
第5节　导数中的函数构造问题
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
题型分析
角度1　利用f(x)与xn构造
例1 (2026·毕节模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf'(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为　　　　　　　　　　.
(－∞，－4)∪(0，4)
令F(x)＝xf(x)，
则F'(x)＝f(x)＋xf'(x)，
当x<0时，f(x)＋xf'(x)<0，
可以推出当x<0时，F'(x)<0，
题型一　通过导数的运算法则构造
∴F(x)在(－∞，0)上单调递减.
∵f(x)为偶函数，y＝x为奇函数，
∴F(x)为奇函数，
∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减.
根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，
根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0，4).
感悟提升
一般地，出现nf(x)＋xf'(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x);出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
角度2　利用f(x)与ex构造
例2 (2026·连云港联考)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R，有f'(x)－f(x)>0，则“x<2”是“e2x－3f(x＋1)>ex＋1f(2x－3)”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
A
因为f'(x)－f(x)>0，所以>0.
令g(x)＝，则g'(x)＝>0，
所以g(x)在R上单调递增.
由e2x－3f(x＋1)>ex＋1f(2x－3)，得>，得g(x＋1)>g(2x－3)，
得x＋1>2x－3，得x<4，
所以“x<2”是“e2x－3f(x＋1)>ex＋1f(2x－3)”的充分不必要条件，故选A.
感悟提升
一般地，出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x);出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造
例3 (2026·邵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x＋f'(x)cos x>0，则(　　)
A.fC.f>f D.f>f
令F(x)＝，x≠＋kπ，k∈Z，
故F'(x)＝>0恒成立，
B
故F(x)＝，k∈Z上单调递增，故F即<，得<，得f感悟提升
1.若F(x)＝f(x)sin x，则F'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x;
2.若F(x)＝，
则F'(x)＝;
3.若F(x)＝f(x)cos x，则F'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x;
4.若F(x)＝，
则F'(x)＝.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)，x∈R，f'(x)是其导函数，若f'(x)－4f(x)>0恒成立，
且f＝1，则不等式f(x)－e4x－1<0的解集为　　　　　　.
令g(x)＝，则g'(x)＝>0，
所以g(x)在R上单调递增.
又不等式f(x)－e4x－1<0，等价于<，即g(x)<＝g，
所以x<，所以不等式f(x)－e4x－1<0的解集为.
(2)(2026·厦门调研)已知y＝f(x)是定义在(1，＋∞)上连续可导函数，其导函数为y＝f'(x)，若xf'(x)2ln x的解集为　　　　.
(e，e3)
令g(x)＝(x>1)，则g'(x)＝，
因为xf'(x)则g(x)＝(x>1)在区间(1，＋∞)上单调递减，
又f(3)＝6，由f(ln x)>2ln x，得到
所以1(3)(2026·杭州调研)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意x∈(0，π)，有f'(x)sin x>f(x)cos x，设a＝2f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为　　　　.
a令F(x)＝，x≠kπ，k∈Z，则x∈(0，π)时，
F'(x)＝>0，所以函数F(x)在(0，π)上单调递增，
于是F例4 若实数a，b，c∈[0，1]，且满足ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.b>c>a
C
由ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，
得.
令f(x)＝，则f'(x)＝，
题型二　通过变量构造具体函数
当x<1时，f'(x)>0，当x>1时，f'(x)<0，
所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
于是f(1)>f(1.2)>f(1.6)，
即f(a)>f(b)>f(c)，
又a，b，c∈[0，1]，所以a>b>c.
感悟提升
若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解.
训练2 (2026·十堰模拟)已知sin5α＋5cos α>cos5α＋5sin α，α∈[0，2π)，则α的取
值范围为　　　　　　　　　　　　.
∪
令f(x)＝x5－5x，则f'(x)＝5(x4－1)，当x∈[－1，1]时，f'(x)≤0，
所以函数f(x)在[－1，1]上单调递减，
因为sin5α＋5cos α>cos5α＋5sin α，
所以sin5α－5sin α>cos5α－5cos α，
即f(sin α)>f(cos α)，
因为sin α，cos α∈[－1，1]，
所以sin α即sin α－cos α＝sin<0，
因为0≤α<2π，则－≤α－<，
所以－≤α－<0或π<α－<，
解得0≤α<<α<2π.
因此，α的取值范围是∪.
课时对点精练
一、单选题
1.(2026·萍乡模拟)记x，y为实数，设甲:y>x>0;乙:x－cos yA.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件　　
A
令函数f(x)＝x＋cos x，求导得f'(x)＝1－sin x≥0，故f(x)在R上单调递增，
由y>x>0，得f(y)>f(x)，即x－cos y由x－cos y即f(x)x，故必要性不成立，
综上可知，甲是乙的充分不必要条件.
2.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f'(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A.(－1，1) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)
B
∵f(x)>2x＋4，∴f(x)－2x－4>0，令g(x)＝f(x)－2x－4，
则g'(x)＝f'(x)－2>0，
∴g(x)为R上的增函数，
又∵g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.
∴由g(x)>g(－1)＝0得x>－1.
3.已知函数f(x)的定义域为R，设f(x)的导函数是f'(x)，且f(x)·f'(x)＋sin x>0恒成立，则(　　)
A.ff
C.< D.>
D
设g(x)＝f2(x)－2cos x，则g'(x)＝2f(x)·f'(x)＋2sin x>0，
故g(x)在定义域R上是增函数，
所以g>g，即f2>f2，所以>.
4.若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f'(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是(　　)
A.eaf(a)>ebf(b) B.ebf(a)>eaf(b)
C.ebf(b)>eaf(a) D.eaf(b)>ebf(a)
D
令h(x)＝exf(x)，则h'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]，而f(x)＋f'(x)正负不确定，
则函数h(x)的单调性不确定，当a>b时，h(a)，h(b)的大小关系不确定，
A，C错误;
令g(x)＝，由f(x)>f'(x)，得g'(x)＝<0，
函数g(x)为R上的单调递减函数，
由a>b，得g(a)5.(2025·武汉三模)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，对任意的x∈(0，＋∞)都有2f(x)－xf'(x)>0成立，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.4f(1)C.4f(2)>f(4) D.f>9f
C
设g(x)＝(x>0)，可得g'(x)＝.
因为对任意的x∈(0，＋∞)都有2f(x)－xf'(x)>0，
即xf'(x)－2f(x)<0，且x3>0，
所以g'(x)<0，
这表明g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
逐一分析选项，
对于A，由g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g(1)>g(2)，即>，也就是4f(1)>f(2)，所以A错误;
仅根据已知条件无法得出f(1)＝0，所以B错误;
对于C，由g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g(2)>g(4)，即>，也就是4f(2)>f(4)，所以C正确;
对于D，由g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g所以D错误.
6.(2026·济南模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.cA
∵b＝，c＝，构造函数f(x)＝，x>1，则f'(x)＝，
当10;当x>e时，f'(x)<0，
故函数f(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
由于b＝＝f(4)，c＝＝f(3)，且e<3<4，
则f(3)>f(4)，即c>b，又b＝>＝a，所以a7.(2026·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf'(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　)
A.(－2，0)∪(0，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，0)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0，2)
D
设g(x)＝，x≠0.
因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x).
因为g(－x)＝＝－＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
所以g(－2)＝－g(2).
因为f(－2)＝0，所以g(－2)＝－g(2)＝0.
当x>0时，g'(x)＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
此时不等式>0的解集是(0，2).
因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2).
综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).
8.若ln x－ln y<(x>1，y>1)，则(　　)
A.ey－x>1 B.ey－x<1
C.ey－x－1>1 D.ey－x－1<1
A
依题意，ln x－令f(t)＝t－(t≠0)，则f'(t)＝1＋>0，
所以f(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增;
又x>1，y>1，得ln x>0，ln y>0，
则f(ln x)由单调递增得ln x∴10，
所以ey－x>e0＝1，A正确，B不正确;
又y－x－1无法确定与0的大小关系，故C，D不正确.
二、多选题
9.已知函数y＝f(x)对任意x∈满足f'(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式成立的是(　　)
A.f(0)>f B.f>f
C.f(0)>2f D.fBD
令F(x)＝，依题意当x∈时，
F'(x)＝>0，
故函数F(x)在上单调递增.
由F(0)由F>F，得>，即f>f，B正确;
由F(0)由F得<，
即f10.已知a>b>0，且，则(　　)
A.0C.1e
，
设f(x)＝，则f'(x)＝，
令f'(x)>0，解得0令f'(x)<0，解得x>e，
CD
∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在x＝e处取得最大值f(e)＝，
在(0，e)内，函数f(x)有唯一的零点x＝1，在(e，＋∞)内，f(x)>0，
又∵a>b>0且f(a)＝f(b)>0，
∴1e，故选CD.
11.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　 )
A.f(2)－ln 2>f(1) 　B.f(4)－f(2)>ln 2
C.f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　D.f(e2)－f(e)>1
构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
则g'(x)＝f'(x)－，
因为xf'(x)－1>0，所以g'(x)>0.
故g(x)是增函数，由g(2)>g(1)，
得f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确;
ABD
由g(4)>g(2)，得f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，
即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确;
由g(e)>g(2)，得f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，可得f(e)＋1>f(2)＋ln 2，故C错误;
由g(e2)>g(e)，得f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，即f(e2)－2>f(e)－1，
即f(e2)－f(e)>1，
故D正确.故选ABD.
三、填空题
12.已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)＋f(x)>0，且f(1)＝1，则xf(x)>1的解集为　　　　　　.
(1，＋∞)
令g(x)＝xf(x)，则g'(x)＝xf'(x)＋f(x)>0，则g(x)在R上单调递增，
因为f(1)＝1，则g(1)＝1，
则原不等式为g(x)>g(1)，故x>1.
13.已知函数f(x)在R上可导，且f'(x)＋f(x)<0，则不等式ex＋2·f(x＋2)(－1，＋∞)
设g(x)＝exf(x)，
则g'(x)＝ex[f'(x)＋f(x)]<0，
故g(x)在R上单调递减，
又ex＋2f(x＋2)即g(x＋2)故x＋2>－x，x>－1.故不等式ex＋2f(x＋2)14.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x2>x1>0时，>，若f(2)＝e2＋1，则ln xf(ln x)－xln x>2的解集为　　　　　　.
由>，得x1f(x1)－x1>x2f(x2)－x2，
令g(x)＝xf(x)－xex，则g(x1)>g(x2)，又x2>x1>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
∵ln xf(ln x)－xln x>2，
g(2)＝2f(2)－2e2＝2，∴g(ln x)>g(2)，
∴0(1，e2)

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