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第6节　导数与函数的极值
课标要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会利用极值求参数.
1.函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f'(a)＝0;而且在点x＝a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
2.函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f'(b)＝0;而且在点x＝b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
1.对于可导函数f(x)，f'(x)＝0是f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f(x)＝x3，f'(x)＝3x2，f'(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数可能没有极值，也可能不止一个.(　　)
(2)单调函数没有极值.(　　)
(3)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.(　　)
(4)极大值一定大于极小值.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.(人教B选修三P100练习AT1改编)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　A
解析　由题意知在x＝－1处f'(－1)＝0，且其两侧导数值符号左负右正.
3.(人教A选修二P91例5改编)函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为　　　　，极小值为　　　　.
答案　　－
解析　因为f(x)＝x3－4x＋4，
所以f'(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
由f'(x)>0，得x<－2或x>2，
由f'(x)<0，得－2故f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，
在(－2，2)上单调递减，故f(x)的极大值为f(－2)＝，极小值为f(2)＝－.
4.(人教A选修二P104T9改编)函数f(x)＝x(x－c)2有极值，则实数c的取值范围是　　　　　　.
答案　(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析　f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)
＝3x2－4cx＋c2.
由题意知f'(x)有变号零点，
∴Δ＝16c2－12c2＝4c2>0，解得c≠0，
即c∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
考点一　根据函数图象判断极值
例1 (多选)已知f'(x)为函数f(x)的导函数，若函数y＝f'(x)－1的大致图象如图所示，则(　　)
A.f(x)有3个极值点
B.x＝－4是f(x)的极大值点
C.x＝0是f(x)的极大值点
D.f(x)在(0，4)上单调递减
答案　AB
解析　根据函数y＝f'(x)－1的图象可知，
在区间(－∞， －4)，(0，4)，f'(x)>0，f(x)单调递增;
在区间(－4，0)，(4，＋∞)，f'(x)<0，f(x)单调递减.
所以f(x)有3个极值点，x＝－4是f(x)的极大值点，f(x)在(0，4)上单调递增，
x＝0是f(x)的极小值点，所以A，B正确.
感悟提升　由函数y＝f(x)的导函数图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点:(1)由y＝f'(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点;(2)由导函数y＝f'(x)的图象可以看出y＝f'(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
训练1 (多选)
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(－1)为f(x)的极小值
答案　BC
解析　根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，
可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当－2可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
当0可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，
可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确;
f(0)为f(x)的极大值，B正确;
f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.
考点二　求已知函数的极值
例2 (2026·苏州模拟节选)已知函数h(x)＝aln x－x2－(a－2)x，求h(x)的极值.
解　易知h(x)的定义域为(0，＋∞)，
求导得h'(x)＝－2x－(a－2)＝－，
令h'(x)＝0，解得x＝1或x＝－，
①当a≥0时，由h'(x)>0，得0由h'(x)<0，得x>1，
因此函数h(x)有极大值h(1)＝1－a，没有极小值;
②当0<－<1，即－20，得－由h'(x)<0，得01，
因此函数h(x)有极小值h＝aln－a，极大值h(1)＝1－a;
③当－＝1，即a＝－2时，h'(x)≤0，
因此函数h(x)没有极值;
④当－>1，即a<－2时，
由h'(x)>0，得1由h'(x)<0，得0－，
因此函数h(x)有极小值h(1)＝1－a，极大值h＝aln－a，
综上，当a≥0时，函数h(x)有极大值h(1)＝1－a，没有极小值;
当－2当a＝－2时，函数h(x)没有极值;
当a<－2时，函数h(x)有极小值h(1)＝1－a，极大值h＝aln－a.
感悟提升　运用导数求函数f(x)极值的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导函数f'(x);(3)解方程f'(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有根;(4)检验f'(x)在f'(x)＝0的根x0左右两侧值的符号;(5)求出极值.
训练2 (1)(2026·深圳质检)已知函数f(x)＝x2ln x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在x＝处取得极大值－
B.f(x)在x＝处取得极大值
C.f(x)在x＝处取得极小值－
D.f(x)在x＝处取得极小值
答案　C
解析　f'(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，且x∈(0，＋∞).
令f'(x)＝0，得x＝，所以x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)在x＝处取得极小值fln ＝－.故选C.
(2)(2026·青岛模拟节选)已知函数f(x)＝e2x＋ex－ax，讨论f(x)极值点的个数.
解　函数f(x)的定义域为R，
由题意知，f'(x)＝2e2x＋ex－a，
当a≤0时，f'(x)>0，所以f(x)在R上单调递增，
即f(x)极值点的个数为0;
当a>0时，令f'(x)＝0，t＝ex>0，
可得2t2＋t－a＝0，
易知Δ＝1＋8a>0，
故解关于t的方程2t2＋t－a＝0得，t1＝<0(舍去)，t2＝>0，
即ex＝t2，则x＝ln t2，
所以当x>ln t2时，f'(x)>0，
当x所以f(x)在(ln t2，＋∞)上单调递增，
在(－∞，ln t2)上单调递减，
即f(x)极值点的个数为1.
综上，当a≤0时，f(x)极值点的个数为0;
当a>0时，f(x)极值点的个数为1.
考点三　由函数的极值求参数
例3 (2025·上海卷)已知f(x)＝x2－(m＋2)x＋mln x，m∈R.
(1)若f(1)＝0，求不等式f(x)≤x2－1的解集;
(2)若函数y＝f(x)满足在(0，＋∞)上存在极大值，求m的取值范围.
解　(1)由题设条件可得，f(1)＝1－(m＋2)＝0，
解得m＝－1，
此时f(x)＝x2－x－ln x.
由f(x)≤x2－1，可得ln x＋x－1≥0，
令g(x)＝ln x＋x－1(x>0)，
则g'(x)＝＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
易知g(1)＝0，所以要使g(x) ≥0，
即g(x)≥g(1)，
可得x≥1.
综上，不等式f(x)≤x2－1的解集为[1，＋∞).
(2)f'(x)＝.
令f'(x)＝0，得x＝1或.
①当>1，即m>2时，
由f'(x)>0，得0;
由f'(x)<0，得1故f(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减，
此时f(x)在x＝1处取得极大值.
②当0<<1，即0由f'(x)>0，得01;
由f'(x)<0，得故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
此时f(x)在x＝处取得极大值.
③当＝1，即m＝2时，f'(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上无极大值.
④当≤0，即m≤0时，
由f'(x)<0，得0由f'(x)>0，得x>1.
故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
此时f(x)在x＝1处取得极小值，无极大值.
综上可知，m的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞).
感悟提升　1.已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验.
2.判断极值点的个数，转化为导数的根的个数.
训练3 (2026·汕头模拟)设a∈R，若函数f(x)＝x3－x2＋x＋2在(1，2)内存在极值点，则a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　由题意可得f'(x)＝2x2－ax＋1，
若函数f(x)在(1，2)内存在极值点.
则f'(x)在(1，2)内有变号零点，
即ax＝2x2＋1在(1，2)上有解，
a＝2x＋在(1，2)上有解，
等价于直线y＝a与y＝2x＋在(1，2)内的图象有交点，
因为y＝2x＋在(1，2)上单调递增，
所以y＝2x＋∈，
所以a∈.
一、单选题
1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y＝(1－x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案　D
解析　由题图可知，当x<－2时，f'(x)>0;
当－2当1当x>2时，f'(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值.
2.函数f(x)＝x3＋x2－3x－1的极小值点是(　　)
A.1 B.
C.－3 D.(－3，8)
答案　A
解析　f'(x)＝x2＋2x－3，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，
所以函数f(x)＝x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，
故f(x)在x＝1处有极小值，极小值点为1.
3.函数f(x)＝(x－ln x)(ln x－2)的极小值和极大值分别为(　　)
A.1－e，－(2－ln 2)2
B.e－1，－(ln 2)2
C.e－1，2－ln 2
D.－e，－ln 2
答案　A
解析　f'(x)＝，
则f(x)在(0，2)，(e，＋∞)上单调递增，
在(2，e)上单调递减，故f(x)的极大值为f(2)＝－(2－ln 2)2，极小值为f(e)＝1－e.
4.已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是(　　)
A.[0，1] 　　　　B.(－∞，0]∪[1，＋∞)
C.[0，2] 　　　　D.(－∞，0]∪[2，＋∞)
答案　C
解析　由f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1，
得f'(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.
根据题意得[2(a－1)]2－4≤0，
解得0≤a≤2.
5.(2026·江西省重点高中联考)已知x＝2是函数f(x)＝x2＋aln x的极值点，则a＝(　　)
A.8 B.4
C.－4 D.－8
答案　D
解析　由题设知f'(x)＝2x＋，
令f'(2)＝4＋＝0，可得a＝－8，
此时f'(x)＝2x－，x>0，
所以02时，f'(x)>0，
所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
故x＝2是f(x)的极小值点，符合题意.
故a＝－8.故选D.
6.已知函数f(x)＝xln x－ax有极值－e，则a等于(　　)
A.1 B.2
C.e D.3
答案　B
解析　由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝ln x＋1－a.
令f'(x)>0，得x>ea－1;
令f'(x)<0，得0所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增，
则函数f(x)的极小值点是ea－1，无极大值点，
故f(ea－1)＝ea－1ln ea－1－aea－1＝－e，
解得a＝2.
7.(2026·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由f(x)＝ex－ax2－2ax，
得f'(x)＝ex－2ax－2a.
因为函数f(x)＝e2－ax2－2ax有两个极值点，
所以f'(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点，
令f'(x)＝0，得，
设g(x)＝，y＝;
则g'(x)＝－，
令g'(x)＝0，即－＝0，解得x＝0，
当x>0时，g'(x)<0;
当x<0时，g'(x)>0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.
当x→－∞时，
g(x)→－∞;
当x→＋∞时，g(x)→0.
分别作出函数g(x)＝与y＝的图象，如图所示，
由图可知，0<<1，解得a>，
所以实数a的取值范围为.
二、多选题
8.(2025·新高考Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　)
A.f(0)＝0
B.当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2
C.f(x)≥2当且仅当x≥
D.x＝－1是f(x)的极大值点
答案　ABD
解析　根据奇函数的定义有f(0)＝0，A正确;
当x<0时，－x>0，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(x2－3)e－x＋2]
＝－(x2－3)e－x－2，B正确;
当x>0时，f'(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x－1)·(x＋3)ex，
所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以x＝1是极小值点，f(1)＝2－2e，
因为函数f(x)是奇函数，所以x＝－1是极大值点，D正确;
极大值f(－1)＝2e－2>2＝f()，而－1<，
C错误.
9.(2026·运城调研)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则下面结论正确的为(　　)
A.a＝－1
B.f(x)的单调递增区间为(－2，1)
C.f(x)的极小值为1
D.f(x)的极大值为5e－3
答案　AD
解析　由题可得f'(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，x∈R，
因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，
所以f'(－2)＝0，则4－2(a＋2)＋a－1＝0，
解得a＝－1，
故f(x)＝(x2－x－1)ex－1，
f'(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)ex－1，
当x<－2或x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增;
当－2故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，
单调递减区间为(－2，1)，故A正确，B错误;
由上可知，f(x)的极大值为f(－2)＝5e－3，极小值为f(1)＝－1，故C错误，D正确.
三、填空题
10.函数f(x)＝2x－xln x的极值是　　　　.
答案　e
解析　因为f'(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，
令f'(x)>0，解得0令f'(x)<0，解得x>e，
则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以x＝e时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.
11.(2025·新高考Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝　　　　.
答案　－4
解析　由题意得
f(x)＝x3－(3＋a)x2＋(3a＋2)x－2a，
所以f'(x)＝3x2－2(3＋a)x＋3a＋2，
因为x＝2是函数f(x)的极值点，
所以f'(2)＝0，
即3×22－2×2(3＋a)＋3a＋2＝0，
解得a＝2，经检验，满足题意，
所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，
所以f(0)＝－4.
12.若函数f(x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(－∞，－1)
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2x－1＋，
由题意知2x2－x＋a＝0在(1，＋∞)上有解，
相应二次函数的对称轴为直线x＝，
所以2×12－1＋a<0，解得a<－1，
所以a∈(－∞，－1).
四、解答题
13.已知函数f(x)＝＋x(a∈R).
(1)若f'(0)＝0，求实数a的值;
(2)讨论函数f(x)的极值.
解　(1)由函数f(x)＝＋x，
可得f'(x)＝1－，
所以f'(0)＝＝1－a＝0，解得a＝1.
(2)函数f(x)＝＋x的定义域为R，
且f'(x)＝1－，
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值;
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a;
令f'(x)<0，解得x所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值;
当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
14.(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f'(x)＝ex－1，
则f'(1)＝e－1.
f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0.
(2)易知函数f(x)的定义域为R，
f'(x)＝ex－a.
当a≤0时，f'(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值;
当a>0时，由f'(x)>0，得x>ln a，由f'(x)<0，得x所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，
在区间(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－aln a－a3.
由题意知a－aln a－a3<0(a>0)，
等价于1－ln a－a2<0(a>0).
令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)，
则g'(a)＝－－2a<0，
所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减，
又g(1)＝0，故当00;
当a>1时，g(a)<0.
故实数a的取值范围为(1，＋∞).(共53张PPT)
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高考总
复
习
第三章　一元函数的导数及其应用
第6节　导数与函数的极值
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会利用极值求参数.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f'(a)＝0;而且在点x＝a附近的左侧________，右侧__________.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
2.函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f'(b)＝0;而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_________.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
3.极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为______.
f'(x)<0
f'(x)>0
f'(x)>0
f'(x)<0
极值点
极值
常用结论与微点提醒
1.对于可导函数f(x)，f'(x)＝0是f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f(x)＝x3，f'(x)＝3x2，f'(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数可能没有极值，也可能不止一个.(　　)
(2)单调函数没有极值.(　　)
(3)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.(　　)
(4)极大值一定大于极小值.(　　)
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
√
√
2.(人教B选修三P100练习AT1改编)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
由题意知在x＝－1处f'(－1)＝0，且其两侧导数值符号左负右正.
A
3.(人教A选修二P91例5改编)函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为　　　　，极小值为　　　　.
因为f(x)＝x3－4x＋4，所以f'(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
由f'(x)>0，得x<－2或x>2，由f'(x)<0，得－2故f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，
在(－2，2)上单调递减，故f(x)的极大值为f(－2)＝，极小值为f(2)＝－.
4.(人教A选修二P104T9改编)函数f(x)＝x(x－c)2有极值，则实数c的取值范围是　　　　　　　　　　　　.
(－∞，0)∪(0，＋∞)
f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2.
由题意知f'(x)有变号零点，
∴Δ＝16c2－12c2＝4c2>0，解得c≠0，
即c∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
考点聚焦突破
02
例1 (多选)已知f'(x)为函数f(x)的导函数，若函数y＝f'(x)－1的大致图象如图所示，则(　　)
A.f(x)有3个极值点
B.x＝－4是f(x)的极大值点
C.x＝0是f(x)的极大值点
D.f(x)在(0，4)上单调递减
AB
根据函数y＝f'(x)－1的图象可知，
在区间(－∞， －4)，(0，4)，f'(x)>0，f(x)单调递增;
考点一　根据函数图象判断极值
在区间(－4，0)，(4，＋∞)，f'(x)<0，f(x)单调递减.
所以f(x)有3个极值点，x＝－4是f(x)的极大值点，f(x)在(0，4)上单调递增，
x＝0是f(x)的极小值点，所以A，B正确.
感悟提升
由函数y＝f(x)的导函数图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点:(1)由y＝f'(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点;(2)由导函数y＝f'(x)的图象可以看出y＝f'(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
训练1 (多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(－1)为f(x)的极小值
BC
根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，
可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当－2可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
当0可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，
可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确;
f(0)为f(x)的极大值，B正确;
f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.
例2 (2026·苏州模拟节选)已知函数h(x)＝aln x－x2－(a－2)x，求h(x)的极值.
考点二　求已知函数的极值
易知h(x)的定义域为(0，＋∞)，
求导得h'(x)＝－2x－(a－2)＝－，
令h'(x)＝0，解得x＝1或x＝－，
①当a≥0时，由h'(x)>0，得0由h'(x)<0，得x>1，
因此函数h(x)有极大值h(1)＝1－a，没有极小值;
②当0<－<1，即－20，得－由h'(x)<0，得01，
因此函数h(x)有极小值h＝aln－a，极大值h(1)＝1－a;
③当－＝1，即a＝－2时，h'(x)≤0，
因此函数h(x)没有极值;
④当－>1，即a<－2时，
由h'(x)>0，得1由h'(x)<0，得0－，
因此函数h(x)有极小值h(1)＝1－a，极大值h＝aln－a，
综上，当a≥0时，函数h(x)有极大值h(1)＝1－a，没有极小值;
当－2极大值h(1)＝1－a;
当a＝－2时，函数h(x)没有极值;
当a<－2时，函数h(x)有极小值h(1)＝1－a，
极大值h＝aln－a.
感悟提升
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导函数f'(x);(3)解方程f'(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有根;(4)检验f'(x)在f'(x)＝0的根x0左右两侧值的符号;(5)求出极值.
训练2 (1)(2026·深圳质检)已知函数f(x)＝x2ln x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在x＝处取得极大值－ B.f(x)在x＝处取得极大值
C.f(x)在x＝处取得极小值－ D.f(x)在x＝处取得极小值
C
f'(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，且x∈(0，＋∞).
令f'(x)＝0，得x＝，所以x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)在x＝处取得极小值fln ＝－.故选C.
(2)(2026·青岛模拟节选)已知函数f(x)＝e2x＋ex－ax，讨论f(x)极值点的个数.
函数f(x)的定义域为R，
由题意知，f'(x)＝2e2x＋ex－a，
当a≤0时，f'(x)>0，所以f(x)在R上单调递增，
即f(x)极值点的个数为0;
当a>0时，令f'(x)＝0，t＝ex>0，
可得2t2＋t－a＝0，
易知Δ＝1＋8a>0，
故解关于t的方程2t2＋t－a＝0得，t1＝<0(舍去)，
t2＝>0，
即ex＝t2，则x＝ln t2，所以当x>ln t2时，f'(x)>0，
当x所以f(x)在(ln t2，＋∞)上单调递增，
在(－∞，ln t2)上单调递减，
即f(x)极值点的个数为1.
综上，当a≤0时，f(x)极值点的个数为0;
当a>0时，f(x)极值点的个数为1.
例3 (2025·上海卷)已知f(x)＝x2－(m＋2)x＋mln x，m∈R.
(1)若f(1)＝0，求不等式f(x)≤x2－1的解集;
考点三　由函数的极值求参数
由题设条件可得，f(1)＝1－(m＋2)＝0，解得m＝－1，
此时f(x)＝x2－x－ln x.
由f(x)≤x2－1，可得ln x＋x－1≥0，令g(x)＝ln x＋x－1(x>0)，
则g'(x)＝＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
易知g(1)＝0，所以要使g(x) ≥0，即g(x)≥g(1)，可得x≥1.
综上，不等式f(x)≤x2－1的解集为[1，＋∞).
(2)若函数y＝f(x)满足在(0，＋∞)上存在极大值，求m的取值范围.
f'(x)＝.令f'(x)＝0，得x＝1或.
①当>1，即m>2时，
由f'(x)>0，得0;
由f'(x)<0，得1故f(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减，
此时f(x)在x＝1处取得极大值.
②当0<<1，即0由f'(x)>0，得01;
由f'(x)<0，得故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
此时f(x)在x＝处取得极大值.
③当＝1，即m＝2时，f'(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在(0，＋∞)上无极大值.
④当≤0，即m≤0时，由f'(x)<0，得0由f'(x)>0，得x>1.故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
此时f(x)在x＝1处取得极小值，无极大值.
综上可知，m的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞).
感悟提升
1.已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验.
2.判断极值点的个数，转化为导数的根的个数.
训练3 (2026·汕头模拟)设a∈R，若函数f(x)＝x3－x2＋x＋2在(1，2)内存在极
值点，则a的取值范围是　　　　　.
由题意可得f'(x)＝2x2－ax＋1，
若函数f(x)在(1，2)内存在极值点.
则f'(x)在(1，2)内有变号零点，
即ax＝2x2＋1在(1，2)上有解，
a＝2x＋在(1，2)上有解，
等价于直线y＝a与y＝2x＋在(1，2)内的图象有交点，
因为y＝2x＋在(1，2)上单调递增，
所以y＝2x＋∈，
所以a∈.
课时对点精练
03
一、单选题
1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y＝(1－x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D
由题图可知，当x<－2时，f'(x)>0;当－2当1当x>2时，f'(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值.
2.函数f(x)＝x3＋x2－3x－1的极小值点是(　　)
A.1 B.
C.－3 D.(－3，8)
A
f'(x)＝x2＋2x－3，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，
所以函数f(x)＝x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，
在(－3，1)上单调递减，
故f(x)在x＝1处有极小值，极小值点为1.
3.函数f(x)＝(x－ln x)(ln x－2)的极小值和极大值分别为(　　)
A.1－e，－(2－ln 2)2 B.e－1，－(ln 2)2
C.e－1，2－ln 2 D.－e，－ln 2
A
f'(x)＝，
则f(x)在(0，2)，(e，＋∞)上单调递增，
在(2，e)上单调递减，故f(x)的极大值为f(2)＝－(2－ln 2)2，
极小值为f(e)＝1－e.
4.已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是(　　)
A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)
C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)
C
由f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1，
得f'(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.
根据题意得[2(a－1)]2－4≤0，
解得0≤a≤2.
5.(2026·江西省重点高中联考)已知x＝2是函数f(x)＝x2＋aln x的极值点，则a＝(　　)
A.8 B.4
C.－4 D.－8
D
由题设知f'(x)＝2x＋，令f'(2)＝4＋＝0，可得a＝－8，
此时f'(x)＝2x－，x>0，
所以02时，f'(x)>0，
所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
故x＝2是f(x)的极小值点，符合题意.故a＝－8.故选D.
6.已知函数f(x)＝xln x－ax有极值－e，则a等于(　　)
A.1 B.2
C.e D.3
B
由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝ln x＋1－a.
令f'(x)>0，得x>ea－1;
令f'(x)<0，得0所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增，
则函数f(x)的极小值点是ea－1，无极大值点，
故f(ea－1)＝ea－1ln ea－1－aea－1＝－e，解得a＝2.
7.(2026·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
D
由f(x)＝ex－ax2－2ax，得f'(x)＝ex－2ax－2a.
因为函数f(x)＝e2－ax2－2ax有两个极值点，
所以f'(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点，
令f'(x)＝0，得，设g(x)＝，y＝;
则g'(x)＝－，令g'(x)＝0，即－＝0，解得x＝0，
当x>0时，g'(x)<0;当x<0时，g'(x)>0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.
当x→－∞时，g(x)→－∞;当x→＋∞时，g(x)→0.
分别作出函数g(x)＝与y＝的图象，如图所示，
由图可知，0<<1，解得a>，
所以实数a的取值范围为.
8.(2025·新高考Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　 　)
A.f(0)＝0 B.当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2
C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x＝－1是f(x)的极大值点
ABD
根据奇函数的定义有f(0)＝0，A正确;
当x<0时，－x>0，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(x2－3)e－x＋2]＝－(x2－3)e－x－2，B正确;
当x>0时，f'(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x－1)·(x＋3)ex，
二、多选题
所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以x＝1是极小值点，f(1)＝2－2e，
因为函数f(x)是奇函数，所以x＝－1是极大值点，D正确;
极大值f(－1)＝2e－2>2＝f()，而－1<，
C错误.
9.(2026·运城调研)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则下面结论正确的为(　　)
A.a＝－1 B.f(x)的单调递增区间为(－2，1)
C.f(x)的极小值为1 D.f(x)的极大值为5e－3
AD
由题可得f'(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，x∈R，
因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，
所以f'(－2)＝0，则4－2(a＋2)＋a－1＝0，
解得a＝－1，
故f(x)＝(x2－x－1)ex－1，
f'(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)ex－1，
当x<－2或x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增;
当－2故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，
单调递减区间为(－2，1)，故A正确，B错误;
由上可知，f(x)的极大值为f(－2)＝5e－3，极小值为f(1)＝－1，
故C错误，D正确.
10.函数f(x)＝2x－xln x的极值是　　　　.
因为f'(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，
令f'(x)>0，解得0令f'(x)<0，解得x>e，
则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以x＝e时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.
三、填空题
e
11.(2025·新高考Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝　　　　.
－4
由题意得f(x)＝x3－(3＋a)x2＋(3a＋2)x－2a，
所以f'(x)＝3x2－2(3＋a)x＋3a＋2，
因为x＝2是函数f(x)的极值点，所以f'(2)＝0，
即3×22－2×2(3＋a)＋3a＋2＝0，
解得a＝2，经检验，满足题意，
所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，
所以f(0)＝－4.
12.若函数f(x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为　　　　　　　　.
(－∞，－1)
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2x－1＋，
由题意知2x2－x＋a＝0在(1，＋∞)上有解，
相应二次函数的对称轴为直线x＝，
所以2×12－1＋a<0，解得a<－1，
所以a∈(－∞，－1).
13.已知函数f(x)＝＋x(a∈R).
(1)若f'(0)＝0，求实数a的值;
由函数f(x)＝＋x，
可得f'(x)＝1－，
所以f'(0)＝＝1－a＝0，解得a＝1.
四、解答题
函数f(x)＝＋x的定义域为R，
且f'(x)＝1－，
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值;
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a;
令f'(x)<0，解得x(2)讨论函数f(x)的极值.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值;
当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
14.(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;
当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f'(x)＝ex－1，
则f'(1)＝e－1.
f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0.
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
易知函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex－a.
当a≤0时，f'(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值;
当a>0时，由f'(x)>0，得x>ln a，由f'(x)<0，得x所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，
在区间(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－aln a－a3.
由题意知a－aln a－a3<0(a>0)，
等价于1－ln a－a2<0(a>0).
令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)，
则g'(a)＝－－2a<0，
所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减，
又g(1)＝0，故当00;
当a>1时，g(a)<0.
故实数a的取值范围为(1，＋∞).

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