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第7节　导数与函数的最值
课标要求　1.理解函数最值与极值的关系. 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 3.了解最值在现实生活中的应用.
1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件:
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤:
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值;
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点.
2.若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点.
3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(　　)
(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.(　　)
(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(　　)
(4)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)反例:有极值的函数不一定有最值，如图所示，函数f(x)有极值，但没有最值.同理，有最值的函数不一定有极值，如f(x)＝x，x∈[－1，1].(3)反例:f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(湘教选修二P49T7改编)已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈，则f(x)的最大值为　　　　，最小值为　　　　.
答案　　－10
解析　f'(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
因为x∈，所以f'(x)<0，
故f(x)在上单调递减，
所以f(x)的最大值为f，最小值为f(1)＝－10.
3.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝　　　　.
答案　4
解析　f'(x)＝x2－4，x∈[0，3]，
当x∈[0，2)时，f'(x)<0;
当x∈(2，3]时，f'(x)>0，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增.
又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，则在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
4.(人教A选修二P98T7改编)将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别为　　　　，　　　　.
答案　　
解析　设一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长为－x.
∴两个正方形的面积和为S＝x2＋＝2x2－，
则S'＝4x－，
令S'＝0，解得x＝，
故当0当0，S单调递增.
∴当x＝时，S取得极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为.
考点一　求已知函数的最值
例1 已知函数f(x)＝xln x－a(x－1)，求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值.
解　f(x)＝xln x－a(x－1)，
则f'(x)＝ln x＋1－a，
由f'(x)＝0，得x＝ea－1.
所以f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增.
①当ea－1≤1，即a≤1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(1)＝0.
②当1所以f(x)的最小值为f(ea－1)＝a－ea－1.
③当ea－1≥e，即a≥2时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)的最小值为f(e)＝a＋e－ae.
综上，当a≤1时，f(x)的最小值为0;
当1当a≥2时，f(x)的最小值为a＋e－ae.
感悟提升　1.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
2.若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
训练1 已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2.
(1)若a＝e，求f(x)在[0，2]上的最值;
(2)若a>0，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
解　函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，
求导得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a).
(1)∵a＝e，∴f(x)＝(x－1)ex－ex2，
f'(x)＝x(ex－e)，
当x∈[0，2]时，令f'(x)＝0，得x＝1(x＝0舍去)，
∵f(1)＝－e，f(0)＝－1，f(2)＝e2－2e，
∴f(x)min＝f(1)＝－e，
f(x)max＝f(2)＝e2－2e.
(2)若a>0，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex－a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝e2－2a;
②当1函数f(x)在[1，ln a)上单调递减，在(ln a，2]上单调递增，
因此函数f(x)的最小值为f(ln a)＝a(ln a－1)－a(ln a)2;
③当ln a≤1，即0因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝－a.
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2－2a;
当e当0考点二　由函数的最值求参数
例2 (2026·巴中诊断)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a－5，2a＋1)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，4] B.(－1，4)
C. D.
答案　C
解析　由f(x)＝3x－x3，
可得f'(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)，
当－10，
当x<－1或x>1时，f'(x)<0，
所以函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，可得f(－1)＝－2，
令f(x)＝－2，可得x＝－1或x＝2，
则f(x)的图象如图所示，
因为函数在区间(a－5，2a＋1)上有最小值，
故a－5<－1<2a＋1≤2，解得－1感悟提升　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
训练2 (2026·河北名校联考)已知函数f(x)＝ax－ln x的最小值为0，则a＝　　　　.
答案　
解析　由f(x)＝ax－ln x，
得f'(x)＝a－，x>0.
若a≤0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无最小值，则a>0，
则f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以f(x)min＝f＝1＋ln a＝0，
解得a＝.
考点三　生活中的优化问题
例3 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本c(x)(单位:万元)与ln成正比(其中x(单位:台)表示产量)，并知当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价p(x)(单位:万元)与产量x(单位:台)的函数关系为p(x)＝－(其中x≥10).若生产的产品当年能全部售完，则该工厂的最大年利润为　　　　万元.(参考数据:取ln 2为0.7，ln 3为1.1，ln 5为1.6)
答案　24.4
解析　记当年销售该产品x台获得的利润为f(x)(单位:万元).
依题设，c(x)＝kln，k>0，
当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得，0.7＝kln，
可得k＝1，∴c(x)＝ln，
∴f(x)＝p(x)x－c(x)－10
＝x－ln－10
＝－x2＋x－ln x＋ln 10(x≥10).
∴f'(x)＝－x＋＝－，
∵x≥10，∴当x∈[10，50)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(50，＋∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
∴当x＝50时，f(x)取得极大值也是最大值，
f(50)＝－×502＋×50－ln 50＋ln 10＝24.4，
∴当年产量为50台时，利润f(x)最大，最大利润是24.4万元.
感悟提升　解决最优化问题，应从以下几个方面入手:
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域;
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.
训练3 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x≥0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝4ln(2x＋1)，如果该个体户准备投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投　　　　千元.
答案　
解析　设投入m千元(0≤m≤5)销售B商品，则投入(5－m)千元销售A商品，所获得的总收益为S(m)千元，
则S(m)＝2(5－m)＋4ln(2m＋1)＝4ln(2m＋1)－2m＋10(0≤m≤5)，
可得S'(m)＝4×－2＝.
当0≤m<时，S'(m)>0，函数S(m)单调递增;
当所以当m＝时，函数S(m)取得最大值，即总收益最大.
一、单选题
1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f'(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值
C.函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
答案　C
解析　由题图可知，当x≤c时，f'(x)≥0，
所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，
又a因为f'(c)＝0，f'(e)＝0，且当x0;当c当x>e时，f'(x)>0.
所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确;
由题图可知，当d≤x≤e时，f'(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)>f(e)，所以D不正确.故选C.
2.函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上的最值是(　　)
A.最大值是4，最小值是－
B.最大值是2，最小值是－
C.最大值是4，最小值是－
D.最大值是2，最小值是－
答案　A
解析　因为f(x)＝x3－4x＋4，
所以f'(x)＝x2－4，
由f'(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2，
由f'(x)＝x2－4<0，得－2所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
又f(0)＝4，f(2)＝－，f(3)＝1，
所以f(x)在[0，3]上的最大值是4，最小值是－，故B，C，D错误.
3.已知函数f(x)＝－x＋2sin x，x∈[0，π]，则函数f(x)的最大值为(　　)
A.0 B.2－
C. D.
答案　C
解析　f(x)＝－x＋2sin x，x∈[0，π]，
∴f'(x)＝－1＋2cos x，
令f'(x)＝0，得x＝，
∴f，
又f(0)＝0，f(π)＝－π，
∴f(x)max＝f.
4.当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f'(2)＝(　　)
A.－1 B.－
C. D.1
答案　B
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
依题意可知而f'(x)＝，
所以
所以f'(x)＝－，
因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时取最大值，满足题意.
所以f'(2)＝－1＋＝－.故选B.
5.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足关系式y＝－x3＋ax2＋x(a为常数).若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　　)
A.6万斤 B.8万斤
C.7万斤 D.9万斤
答案　B
解析　由题意，利润函数g(x)＝－x3＋ax2＋x－(2＋x)(0≤x≤10)，
即g(x)＝－x3＋ax2－2，
则＝－×33＋9a－2，解得a＝2.
故g(x)＝－x3＋2x2－2，
则g'(x)＝－x2＋4x＝－x(x－8).
令g'(x)>0，则有0令g'(x)<0，则有8故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤.故选B.
6.(2026·山东烟台部分学校联考)已知函数f(x)＝(k－x)ex在区间[0，1]上的最大值为k，则函数f(x)在(0，＋∞)上(　　)
A.有极大值，无最小值
B.无极大值，有最小值
C.有极大值，有最大值
D.无极大值，无最大值
答案　D
解析　f'(x)＝(k－x－1)ex，
则当x0，
当x>k－1时，f'(x)<0，所以f(x)在(－∞，k－1)上单调递增，在(k－1，＋∞)上单调递减，
又f(0)＝k，f(x)在区间[0，1]上的最大值为k，
所以k－1≤0，即k≤1，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极大值和最大值.故选D.
7.(2026·南京调研)已知函数f(x)＝x3－x在区间(m，6－m2)上有最小值，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞， ) B.(－，1)
C.[－2， ) D.[－2，1)
答案　D
解析　由函数f(x)＝x3－x，
可得f'(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，
当x<－1时，f'(x)>0，f(x)单调递增;
当－1当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
要使函数f(x)在区间(m，6－m2)上有最小值，
则满足
由m3－m≥－，可得m3－3m＋2≥0，
即(m－1)2(m＋2)≥0，解得m≥－2，
所以－2≤m<1，即实数m的取值范围为[－2，1).故选D.
二、多选题
8.对于函数f(x)＝－2ln x＋x2－3x，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增
B.2是函数f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递减区间是(0，2)
D.函数f(x)的最小值为－2ln 2－2
答案　ACD
解析　∵f(x)＝－2ln x＋x2－3x，
x∈(0，＋∞)，
∴f'(x)＝－＋2x－3＝，
令f'(x)＝0，则x＝2，
令f'(x)<0，解得0令f'(x)>0，解得x>2，
∴f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，2是函数f(x)的极小值点，故A，C正确，B错误;
又f(x)min＝f(2)＝－2ln 2＋4－6＝－2ln 2－2，故D正确.故选A，C，D.
9.(2026·莆田模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋1)ex，则下列说法中正确的是(　　)
A.f(x)在R上有两个极值点
B.f(x)无最大值、无最小值
C.f(x)有最小值、无最大值
D.函数f(x)在R上有三个零点
答案　AC
解析　∵f(x)的定义域为R，f'(x)＝(x2－x－2)ex＝(x－2)(x＋1)ex，
∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f'(x)>0;当x∈(－1，2)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(2)＝－e2，当x<0时，x2－3x＋1>0，ex>0，
∴f(x)>0在(－∞，0)上恒成立，
可作出f(x)的图象如图所示，
对于A，f(x)的极大值点为－1，极小值点为2，
A正确;
对于B，C，f(－1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，B错误，C正确;
对于D，由图象可知，f(x)在R上有且仅有两个零点，D错误.
三、填空题
10.已知函数y＝(x＋a)ex的最小值为－1，则实数a＝　　　　.
答案　－1
解析　y'＝(x＋a＋1)ex，
当x∈(－∞，－a－1)时，y'<0，函数单调递减，当x∈(－a－1，＋∞)时，y'>0，函数单调递增，故当x＝－a－1时，函数取得极小值，也是最小值，为－e－a－1，
故－e－a－1＝－1，所以a＝－1.
11.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　km/h
的速度行驶.
答案　80
解析　设全程运输成本为y元，
由题意，得
y＝＝240，v>0，
y'＝240.
令y'＝0，得v＝80.
当v>80时，y'>0;当0所以函数y＝在(0，80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增，
所以当v＝80时，全程运输成本最小.
12.(2026·绵阳模拟)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x，若f(m)＝g(n)，则m－n的最小值为　　　　.
答案　1
解析　由题设f(m)＝g(n)＝t，
则ln m＝n＝t，
得m＝et，n＝t，则m－n＝et－t，
设h(x)＝ex－x，h'(x)＝ex－1，
令h'(x)＝0，得x＝0，
当x∈(－∞，0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
所以当x＝0时，函数取得最小值，h(0)＝1，
所以m－n的最小值为1.
四、解答题
13.小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，当年产量为x万件时，需另投入流动成本W(x)万元.已知在年产量不足4万件时，W(x)＝x3＋2x，在年产量不小于4万件时，W(x)＝7x＋－27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;(年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大 最大年利润是多少
解　(1)由题意，当0P(x)＝6x－2－＝－x3＋4x－2;
当x≥4时，P(x)＝6x－2－＝25－x－.
所以P(x)＝
(2)当0令P'(x)＝0，解得x＝2.
易得P(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，
所以当0当x≥4时，P(x)＝25－≤25－2＝9，当且仅当x＝，即x＝8时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，最大年利润是9万元.
14.已知函数f(x)＝，设实数a>0，求函数F(x)＝af(x)在[a，2a]上的最小值.
解　因为F(x)＝af(x)，
所以F'(x)＝(a>0，x>0)，
令F'(x)>0得0令F'(x)<0得x>e，
所以F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以F(x)在[a，2a]上的最小值为
F(x)min＝min{F(a)，F(2a)}.
因为F(a)－F(2a)＝ln a－ln(2a)＝ln ，
所以当0F(x)min＝F(a)＝ln a.
当a>2时，F(a)－F(2a)>0，
F(x)min＝F(2a)＝ln(2a).
综上所述，当0当a>2时，F(x)在[a，2a]上的最小值为ln(2a).(共53张PPT)
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习
第三章　一元函数的导数及其应用
第7节　导数与函数的最值
1.理解函数最值与极值的关系.
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
3.了解最值在现实生活中的应用.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件:
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤:
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的______;
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值___________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
极值
f(a)，f(b)
常用结论与微点提醒
1.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点.
2.若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点.
3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
(1)反例:有极值的函数不一定有最值，如图所示，函数f(x)有极值，但没有最值.同理，有最值的函数不一定有极值，如f(x)＝x，x∈[－1，1].
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(　　)
(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.(　　)
(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(　　)
(4)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.(　　)
(3)反例:f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.
√
×
2.(湘教选修二P49T7改编)已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈，则f(x)的最大
值为　　　　，最小值为　　　　.
f'(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
因为x∈，所以f'(x)<0，
故f(x)在上单调递减，
所以f(x)的最大值为f，最小值为f(1)＝－10.
3.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝　　　　.
4
f'(x)＝x2－4，x∈[0，3]，
当x∈[0，2)时，f'(x)<0;
当x∈(2，3]时，f'(x)>0，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增.
又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，则在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
4.(人教A选修二P98T7改编)将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，
要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别为　　　　，　　　　.
设一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长为－x.
∴两个正方形的面积和为S＝x2＋＝2x2－，
则S'＝4x－，令S'＝0，解得x＝，
故当00，S单调递增.
∴当x＝时，S取得极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为.
考点聚焦突破
02
例1 已知函数f(x)＝xln x－a(x－1)，求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值.
考点一　求已知函数的最值
f(x)＝xln x－a(x－1)，则f'(x)＝ln x＋1－a，由f'(x)＝0，得x＝ea－1.
所以f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增.
①当ea－1≤1，即a≤1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(1)＝0.
②当1在(ea－1，e]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(ea－1)＝a－ea－1.
③当ea－1≥e，即a≥2时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)的最小值为f(e)＝a＋e－ae.
综上，当a≤1时，f(x)的最小值为0;
当1当a≥2时，f(x)的最小值为a＋e－ae.
感悟提升
1.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
2.若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
训练1 已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2.
(1)若a＝e，求f(x)在[0，2]上的最值;
函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，
求导得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a).
∵a＝e，∴f(x)＝(x－1)ex－ex2，f'(x)＝x(ex－e)，
当x∈[0，2]时，令f'(x)＝0，得x＝1(x＝0舍去)，
∵f(1)＝－e，f(0)＝－1，f(2)＝e2－2e，
∴f(x)min＝f(1)＝－e，f(x)max＝f(2)＝e2－2e.
(2)若a>0，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
若a>0，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex－a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝e2－2a;
②当1函数f(x)在[1，ln a)上单调递减，在(ln a，2]上单调递增，
因此函数f(x)的最小值为f(ln a)＝a(ln a－1)－a(ln a)2;
③当ln a≤1，即0因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝－a.
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2－2a;
当e当0例2 (2026·巴中诊断)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a－5，2a＋1)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，4] B.(－1，4)
C. D.
C
由f(x)＝3x－x3，
可得f'(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)，
当－10，
当x<－1或x>1时，f'(x)<0，
考点二　由函数的最值求参数
所以函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，
在区间(－1，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
可得f(－1)＝－2，
令f(x)＝－2，可得x＝－1或x＝2，
则f(x)的图象如图所示，
因为函数在区间(a－5，2a＋1)上有最小值，
故a－5<－1<2a＋1≤2，解得－1感悟提升
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
训练2 (2026·河北名校联考)已知函数f(x)＝ax－ln x的最小值为0，则a＝　　　　.
由f(x)＝ax－ln x，得f'(x)＝a－，x>0.
若a≤0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无最小值，则a>0，
则f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以f(x)min＝f＝1＋ln a＝0，
解得a＝.
例3 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本c(x)(单位:万元)与ln成正比(其中x(单位:台)表示产量)，并知当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价p(x)(单位:万元)与产量x(单位:台)的函数关系为p(x)＝－(其中x≥10).若生产的产品当年能全部售完，则该工厂的最大年利润为　　　　万元.(参考数据:取ln 2为0.7，ln 3为1.1，ln 5为1.6)
24.4
考点三　生活中的优化问题
记当年销售该产品x台获得的利润为f(x)(单位:万元).
依题设，c(x)＝kln，k>0，
当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得，0.7＝kln，
可得k＝1，∴c(x)＝ln，
∴f(x)＝p(x)x－c(x)－10
＝x－ln－10
＝－x2＋x－ln x＋ln 10(x≥10).
∴f'(x)＝－x＋＝－，
∵x≥10，∴当x∈[10，50)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(50，＋∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
∴当x＝50时，f(x)取得极大值也是最大值，
f(50)＝－×502＋×50－ln 50＋ln 10＝24.4，
∴当年产量为50台时，利润f(x)最大，最大利润是24.4万元.
感悟提升
解决最优化问题，应从以下几个方面入手:
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域;
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.
训练3 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x≥0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝4ln(2x＋1)，如果该个体户准备投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B
商品需投　　　　千元.
设投入m千元(0≤m≤5)销售B商品，则投入(5－m)千元销售A商品，所获得的总收益为S(m)千元，
则S(m)＝2(5－m)＋4ln(2m＋1)＝4ln(2m＋1)－2m＋10(0≤m≤5)，
可得S'(m)＝4×－2＝.
当0≤m<时，S'(m)>0，函数S(m)单调递增;
当所以当m＝时，函数S(m)取得最大值，即总收益最大.
课时对点精练
03
一、单选题
1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f'(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值
C.函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
C
由题图可知，当x≤c时，f'(x)≥0，所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，
又a因为f'(c)＝0，f'(e)＝0，且当x0;当c当x>e时，f'(x)>0.
所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确;
由题图可知，当d≤x≤e时，f'(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)>f(e)，所以D不正确.故选C.
2.函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上的最值是(　　)
A.最大值是4，最小值是－ B.最大值是2，最小值是－
C.最大值是4，最小值是－ D.最大值是2，最小值是－
A
因为f(x)＝x3－4x＋4，所以f'(x)＝x2－4，
由f'(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2，
由f'(x)＝x2－4<0，得－2所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
又f(0)＝4，f(2)＝－，f(3)＝1，
所以f(x)在[0，3]上的最大值是4，最小值是－，故B，C，D错误.
3.已知函数f(x)＝－x＋2sin x，x∈[0，π]，则函数f(x)的最大值为(　　)
A.0 B.2－
C. D.
C
f(x)＝－x＋2sin x，x∈[0，π]，
∴f'(x)＝－1＋2cos x，令f'(x)＝0，得x＝，
∴f，又f(0)＝0，f(π)＝－π，
∴f(x)max＝f.
4.当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f'(2)＝(　　)
A.－1 B.－
C. D.1
B
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
依题意可知而f'(x)＝，
所以
所以f'(x)＝－，
因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时取最大值，满足题意.
所以f'(2)＝－1＋＝－.故选B.
5.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足关系式y＝－x3＋ax2＋x(a为常数).若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　　)
A.6万斤 B.8万斤
C.7万斤 D.9万斤
B
由题意，利润函数g(x)＝－x3＋ax2＋x－(2＋x)(0≤x≤10)，
即g(x)＝－x3＋ax2－2，
则＝－×33＋9a－2，解得a＝2.
故g(x)＝－x3＋2x2－2，
则g'(x)＝－x2＋4x＝－x(x－8).
令g'(x)>0，则有0令g'(x)<0，则有8故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤.故选B.
6.(2026·山东烟台部分学校联考)已知函数f(x)＝(k－x)ex在区间[0，1]上的最大值为k，则函数f(x)在(0，＋∞)上(　　)
A.有极大值，无最小值 B.无极大值，有最小值
C.有极大值，有最大值 D.无极大值，无最大值
D
f'(x)＝(k－x－1)ex，则当x0，
当x>k－1时，f'(x)<0，所以f(x)在(－∞，k－1)上单调递增，
在(k－1，＋∞)上单调递减，又f(0)＝k，f(x)在区间[0，1]上的最大值为k，
所以k－1≤0，即k≤1，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极大值和最大值.故选D.
7.(2026·南京调研)已知函数f(x)＝x3－x在区间(m，6－m2)上有最小值，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞， ) B.(－，1)
C.[－2， ) D.[－2，1)
D
由函数f(x)＝x3－x，可得f'(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，
当x<－1时，f'(x)>0，f(x)单调递增;
当－1当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
要使函数f(x)在区间(m，6－m2)上有最小值，
则满足
由m3－m≥－，可得m3－3m＋2≥0，
即(m－1)2(m＋2)≥0，解得m≥－2，
所以－2≤m<1，即实数m的取值范围为[－2，1).故选D.
8.对于函数f(x)＝－2ln x＋x2－3x，下列说法正确的是(　 　)
A.f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增 B.2是函数f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递减区间是(0，2) D.函数f(x)的最小值为－2ln 2－2
ACD
∵f(x)＝－2ln x＋x2－3x，x∈(0，＋∞)，
∴f'(x)＝－＋2x－3＝，
令f'(x)＝0，则x＝2，令f'(x)<0，解得00，解得x>2，
∴f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，2是函数f(x)的极小值点，故A，C正确，B错误;
又f(x)min＝f(2)＝－2ln 2＋4－6＝－2ln 2－2，故D正确.故选A，C，D.
二、多选题
9.(2026·莆田模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋1)ex，则下列说法中正确的是(　　)
A.f(x)在R上有两个极值点 B.f(x)无最大值、无最小值
C.f(x)有最小值、无最大值 D.函数f(x)在R上有三个零点
AC
∵f(x)的定义域为R，f'(x)＝(x2－x－2)ex＝(x－2)(x＋1)ex，
∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f'(x)>0;当x∈(－1，2)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(2)＝－e2，
当x<0时，x2－3x＋1>0，ex>0，
∴f(x)>0在(－∞，0)上恒成立，
可作出f(x)的图象如图所示，
对于A，f(x)的极大值点为－1，极小值点为2，
A正确;
对于B，C，f(－1)不是f(x)的最大值，
f(2)是f(x)的最小值，B错误，C正确;
对于D，由图象可知，f(x)在R上有且仅有两个零点，D错误.
10.已知函数y＝(x＋a)ex的最小值为－1，则实数a＝　　　　.
y'＝(x＋a＋1)ex，
当x∈(－∞，－a－1)时，y'<0，函数单调递减，当x∈(－a－1，＋∞)时，y'>0，函数单调递增，故当x＝－a－1时，函数取得极小值，也是最小值，为－e－a－1，
故－e－a－1＝－1，所以a＝－1.
三、填空题
－1
11.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以_________km/h 的速度行驶.
80
设全程运输成本为y元，
由题意，得y＝＝240，v>0，
y'＝240.
令y'＝0，得v＝80.
当v>80时，y'>0;当0所以函数y＝在(0，80)上单调递减，
在(80，＋∞)上单调递增，
所以当v＝80时，全程运输成本最小.
12.(2026·绵阳模拟)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x，若f(m)＝g(n)，则m－n的最小值为　　　　.
1
由题设f(m)＝g(n)＝t，则ln m＝n＝t，
得m＝et，n＝t，则m－n＝et－t，
设h(x)＝ex－x，h'(x)＝ex－1，令h'(x)＝0，得x＝0，
当x∈(－∞，0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
所以当x＝0时，函数取得最小值，h(0)＝1，
所以m－n的最小值为1.
13.小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，当年产量为x万件时，需另投入流动成本W(x)万元.已知在年产量不足4万件时，W(x)＝x3＋2x，在年产量不小于4万件时，W(x)＝7x＋－27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;(年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本)
四、解答题
由题意，当0P(x)＝6x－2－＝－x3＋4x－2;
当x≥4时，P(x)＝6x－2－＝25－x－.
所以P(x)＝
当0易得P(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，
所以当0当x≥4时，P(x)＝25－≤25－2＝9，
当且仅当x＝，即x＝8时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，最大年利润是9万元.
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大 最大年利润是多少
14.已知函数f(x)＝，设实数a>0，求函数F(x)＝af(x)在[a，2a]上的最小值.
因为F(x)＝af(x)，
所以F'(x)＝(a>0，x>0)，
令F'(x)>0得0令F'(x)<0得x>e，
所以F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以F(x)在[a，2a]上的最小值为
F(x)min＝min{F(a)，F(2a)}.
因为F(a)－F(2a)＝ln a－ln(2a)＝ln ，
所以当0F(x)min＝F(a)＝ln a.
当a>2时，F(a)－F(2a)>0，
F(x)min＝F(2a)＝ln(2a).
综上所述，当0当a>2时，F(x)在[a，2a]上的最小值为ln(2a).

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