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课标要求　1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad;1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前 提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定 义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函数，记作tan α， 即tan α＝(x≠0)
三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝;cos α＝;tan α＝(x≠0).
1.象限角
2.轴线角
3.若角α∈，则sin α<α1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A必修一P175T2改编)角－843°的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　－843°＝－2×360°－123°，则－843°和－123°的终边相同，故角－843°的终边在第三象限.
3.(人教A必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝　　　　.
答案　－
解析　由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝＝－.
4.(北师大必修二P12B组T2)在半径为R的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　　　　，面积为2R2的扇形的圆心角等于　　　　弧度.
答案　R　4
解析　由弧长公式可得l＝|α|R＝R，
由扇形面积公式得S＝|α|R2＝2R2，
∴|α|＝＝4.
考点一　象限角及终边相同的角
例1 (1)(多选)下列命题正确的是(　　)
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为
D.在－720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
(2)若α是第二象限角，则(　　)
A.－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角
答案　(1)AD　(2)D
解析　(1)A项显然正确;
B中，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误;
C中，第三象限角的集合为，故错误;
D中，所有与45°角终边相同的角可表示为
β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°<0°(k∈Z)，
解得－≤k<－(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°;
当k＝－1时，β＝－315°，故正确.
(2)因为α是第二象限角，
可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误;
对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限;
当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误;
对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，
即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，
所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误;
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，
所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角，D正确.
感悟提升　1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置;对于终边所在位置可以采用如下方法:若θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示.
训练1 (1)集合αkπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
(2)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A.{α|α＝k·360°－60°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°－120°，k∈Z}
D.{α|α＝k·180°－60°，k∈Z}
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)当k取偶数时，比如k＝0，此时≤α≤，故角的终边在第一象限或y轴正半轴;
当k取奇数时，比如k＝1，此时≤α≤，
故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.
综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.
(2)终边在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}，
直线y＝－x可以看成把x轴顺时针旋转60°得到，
故终边在直线y＝－x上的角α的集合为
{α|α＝k·180°－60°，k∈Z}.
考点二　弧度制及其应用
例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l;
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大
解　(1)因为α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
(2)由已知，得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值，
此时l＝10 cm，α＝＝2 rad.
感悟提升　应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
训练2 (1)砖雕是古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气等特点.图(2)是根据一个砖雕(如图(1))所作的扇环，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若∠AOB＝，C，D 分别在OA，OB上，AC＝2，的长度＝2π，则该扇环的面积为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(多选)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列说法可能正确的有(　　)
A.圆的半径为2
B.圆的半径为1
C.圆心角的弧度数是1
D.圆心角的弧度数是2
答案　(1)A　(2)ABC
解析　(1)因为∠AOB＝，＝2π，
所以OA＝＝＝3，
所以OC＝OA－AC＝3－2＝1.
由扇形面积公式可得该扇环的面积S＝×(OA2－OC2)＝×(32－12)＝，故选A.
(2)设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
则由题意得
可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4;
当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1.故选ABC.
考点三　三角函数的定义及应用
角度1　三角函数的定义
例3 (1)(2026·开封调研)已知角α的终边经过点P(－1，m)，且sin α＝－，则tan α的值是(　　)
A.± B.
C.－ D.
(2)角α的终边在直线y＝x上，则cos α的值为　　　　.
答案　(1)B　(2)±
解析　(1)∵角α的终边经过点P(－1，m)，
∴sin α＝＝－，得m＝－，
∴tan α＝－m＝.
(2)法一　当角α的终边位于第一象限时，取直线y＝x上位于第一象限的一个点的坐标，如(2，3)，
则cos α＝，
同理，当角α的终边位于第三象限时，取直线上一个点的坐标为(－2，－3)，
则cos α＝－，故答案为±.
法二　∵角α的终边在直线y＝x上，
∴tan α＝，即， ①
又sin2α＋cos2α＝1， ②
∴解①②构成的方程组，得cos α＝±，经检验，符合题意.
角度2　三角函数值符号的判定
例4 已知sin θ·tan θ<0，且cos θ·sin θ<0，则θ为(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案　B
解析　因为sin θ·tan θ<0，
所以θ的终边可能在第二、三象限;
因为cos θ·sin θ<0，
所以θ的终边可能在第二、四象限.
要同时满足sin θ·tan θ<0，cos θ·sin θ<0，
则θ为第二象限角.故选B.
感悟提升　1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
训练3 (1)已知点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(多选)(2026·广州质检)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　)
A.sin θ＝－
B.α为钝角
C.cos α＝－
D.点(tan θ，tan α)在第四象限
答案　(1)B　(2)ACD
解析　(1)∵<5<2π，∴sin 5<0，cos 5>0，
∴点P位于第二象限，故选B.
(2)因为角θ的终边经过点(－2，－)，
所以sin θ＝－＝－，故A正确;
因为θ与α的终边关于x轴对称，
所以α的终边经过点(－2，)，
则α为第二象限角，不一定为钝角，
且cos α＝＝－，故B错误，C正确.
因为tan θ＝>0，tan α＝－<0，
所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确.
一、单选题
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是 (　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
答案　C
解析　与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，
但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.
2.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　因为点P(sin α，tan α)在第四象限，
所以sin α>0，tan α<0，
所以角α的终边在第二象限.
3.已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意，得θ为第二象限角，
又θ∈[0，2π)，则<θ<π，
易知tan θ＝－，所以θ＝.
4.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上
答案　A
解析　由角α的终边在y轴的非正半轴上可知α＝＋2kπ，k∈Z，
故α＋＋2kπ＋＋2kπ，k∈Z，
而角＝2π＋的终边在第一象限，
故角α＋的终边在第一象限.
5.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α等于(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案　D
解析　因为α是第二象限角，
所以cos α＝x<0，即x<0.
又cos α＝x＝，
解得x＝－3(x＝3舍去)，
所以tan α＝＝－.
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题:
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何
翻译为:[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少
则下列说法正确的是(　　)
A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B.问题[三四]中扇形的面积为平方步
C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D.问题[三四]中扇形的面积为平方步
答案　B
解析　依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120(平方步)，
问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×(平方步).
7.(2026·南京质检)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
A. B.
C.3－ D.－2
答案　B
解析　设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，
依题意，有，
即，
所以，
从而得.
8.已知相互啮合的两个齿轮，大齿轮有45齿，小齿轮有30齿.如果大齿轮的转速为180 r/min(即每分钟旋转180圈)，小齿轮的半径为10 cm，那么小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧长是(　　)
A.5 400π cm B.90π cm
C.180π cm D.40π cm
答案　B
解析　大齿轮有45齿，小齿轮有30齿，当大齿轮转动一周时，小齿轮转动(周)，
大齿轮的转速为180 r/min，则小齿轮转速为
×180＝270(r/min)，
故小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧度数为
270×2π÷60＝9π.
又小齿轮的半径为10 cm，所以小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧长为9π×10＝90π(cm).
二、多选题
9.下列说法正确的有(　　)
A.角与角－的终边相同
B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为
D.67°30'化成弧度是 rad
答案　AD
解析　角与角－相差2π，终边相同，故A正确;
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误;
若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为±，故C错误;
67°30'化成弧度是 rad，故D正确.
10.已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　AD
解析　由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，
可得sin x－cos x<0，即sin x所以－＋2kπ当k＝0时，x所在的一个区间是，
当k＝1时，x所在的一个区间是.
11.在平面直角坐标系Oxy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B.cos α－sin α
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
答案　AB
解析　由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0，则>0，故A正确;
cos α－sin α>0，故B正确;
sin αcos α<0， 故C错误;
sin α＋cos α的符号不确定，故D错误.
三、填空题
12.如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为　　　　　　　　.
答案　
解析　法一　由于终边在y＝－x(x≤0)上的角的集合为，由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ＝π＋2kπ，k∈Z}，因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角α的集合为.
法二　在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为，所以所求角α的集合为.
13.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝　　　　弧度时，这个扇形的面积最大.
答案　2
解析　由已知，得l＋2R＝40，
所以S＝lR＝(40－2R)R＝20R－R2＝－(R－10)2＋100.
所以当R＝10(cm)时，S取得最大值，
此时l＝20(cm)，α＝2.
14.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝　　　.
答案　
解析　设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2.
在Rt△PBO中，PB＝rtan α，
所以△POB的面积为r·rtan α.
由题意得r2tan α＝2×αr2，
所以tan α＝2α，所以.(共59张PPT)
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高考总
复
习
第四章　三角函数、解三角形
第1节　任意角、弧度制和三角函数的概念
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的______旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
端点
正角
负角
零角
象限角
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad;1 rad＝______
弧长公式 弧长l＝______
扇形面积公式 S＝______＝______
半径长
°
|α|r
lr
|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前 提 如图，设α是一个任意角，它的终边与________交于点P(x，y)
单位圆
定 义 正弦 ____叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝____
余弦 ____叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝____
正切 _______叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
y
y
x
x
(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么
sin α＝_____;cos α＝____;tan α＝(x≠0).
常用结论与微点提醒
1.象限角
常用结论与微点提醒
2.轴线角
3.若角α∈，则sin α<α(1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　)
×
√
2.(人教A必修一P175T2改编)角－843°的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
－843°＝－2×360°－123°，则－843°和－123°的终边相同，
故角－843°的终边在第三象限.
C
3.(人教A必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝　　　　.
由三角函数的定义可得
sin θ＋cos θ＝＝－.
－
4.(北师大必修二P12B组T2)在半径为R的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　　　　，面积为2R2的扇形的圆心角等于　　　　弧度.
R
由弧长公式可得l＝|α|R＝R，
由扇形面积公式得S＝|α|R2＝2R2，
∴|α|＝＝4.
考点聚焦突破
02
例1 (1)(多选)下列命题正确的是(　　)
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为
D.在－720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
AD
A项显然正确;
B中，终边落在y轴上的角的集合为，
角度与弧度不能混用，故错误;
考点一　象限角及终边相同的角
C中，第三象限角的集合为，故错误;
D中，所有与45°角终边相同的角可表示为
β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°<0°(k∈Z)，
解得－≤k<－(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°;
当k＝－1时，β＝－315°，故正确.
(2)若α是第二象限角，则(　　)
A.－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角
D
因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，
此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误;
对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限;
当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误;
对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，
即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，
所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误;
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，
所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角，D正确.
感悟提升
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
感悟提升
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置;对于终边所在位置可以采用如下方法:若θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示.
训练1 (1)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
C
当k取偶数时，比如k＝0，此时≤α≤，
故角的终边在第一象限或y轴正半轴;
当k取奇数时，比如k＝1，此时≤α≤，
故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.
综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.
(2)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A.{α|α＝k·360°－60°，k∈Z} B.{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°－120°，k∈Z} D.{α|α＝k·180°－60°，k∈Z}
终边在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}，
直线y＝－x可以看成把x轴顺时针旋转60°得到，
故终边在直线y＝－x上的角α的集合为
{α|α＝k·180°－60°，k∈Z}.
D
例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l;
考点二　弧度制及其应用
因为α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大
由已知，得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值，
此时l＝10 cm，α＝＝2 rad.
感悟提升
应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
A. B.
C. D.
A
所以OA＝ ＝＝3，
所以OC＝OA－AC＝3－2＝1.
由扇形面积公式可得该扇环的面积S＝×(OA2－OC2)＝×(32－12)＝，故选A.
(2)(多选)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列说法可能正确的有(　 　)
A.圆的半径为2 B.圆的半径为1
C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2
ABC
设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
则由题意得
可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4;
当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1.故选ABC.
角度1　三角函数的定义
例3 (1)(2026·开封调研)已知角α的终边经过点P(－1，m)，且sin α＝－，则tan α的值是(　　)
A.± B.
C.－ D.
B
∵角α的终边经过点P(－1，m)，
∴sin α＝＝－，得m＝－，∴tan α＝－m＝.
考点三　三角函数的定义及应用
(2)角α的终边在直线y＝x上，则cos α的值为　　　　.
±
法一　当角α的终边位于第一象限时，
取直线y＝x上位于第一象限的一个点的坐标，如(2，3)，
则cos α＝，
同理，当角α的终边位于第三象限时，
取直线上一个点的坐标为(－2，－3)，
则cos α＝－，故答案为±.
法二　∵角α的终边在直线y＝x上，
∴tan α＝，即， ①
又sin2α＋cos2α＝1， ②
∴解①②构成的方程组，得cos α＝±，经检验，符合题意.
角度2　三角函数值符号的判定
例4 已知sin θ·tan θ<0，且cos θ·sin θ<0，则θ为(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
B
因为sin θ·tan θ<0，所以θ的终边可能在第二、三象限;
因为cos θ·sin θ<0，
所以θ的终边可能在第二、四象限.
要同时满足sin θ·tan θ<0，cos θ·sin θ<0，
则θ为第二象限角.故选B.
感悟提升
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
训练3 (1)已知点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
∵<5<2π，∴sin 5<0，cos 5>0，
∴点P位于第二象限，故选B.
(2)(多选)(2026·广州质检)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　 　)
A.sin θ＝－ B.α为钝角
C.cos α＝－ D.点(tan θ，tan α)在第四象限
因为角θ的终边经过点(－2，－)，
所以sin θ＝－＝－，故A正确;
因为θ与α的终边关于x轴对称，
ACD
所以α的终边经过点(－2，)，
则α为第二象限角，不一定为钝角，
且cos α＝＝－，故B错误，C正确.
因为tan θ＝>0，tan α＝－<0，
所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确.
课时对点精练
03
一、单选题
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是 (　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
C
与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，
但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.
2.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
因为点P(sin α，tan α)在第四象限，
所以sin α>0，tan α<0，
所以角α的终边在第二象限.
3.已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为(　　)
A. B.
C. D.
B
由题意，得θ为第二象限角，
又θ∈[0，2π)，则<θ<π，
易知tan θ＝－，所以θ＝.
4.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上
A
由角α的终边在y轴的非正半轴上可知α＝＋2kπ，k∈Z，
故α＋＋2kπ＋＋2kπ，k∈Z，
而角＝2π＋的终边在第一象限，
故角α＋的终边在第一象限.
5.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α等于(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
D
因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.
又cos α＝x＝，解得x＝－3(x＝3舍去)，
所以tan α＝＝－.
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题:
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何
翻译为:[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少
则下列说法正确的是(　　)
A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B.问题[三四]中扇形的面积为平方步
C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D.问题[三四]中扇形的面积为平方步
B
依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120(平方步)，
问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×(平方步).
7.(2026·南京质检)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
A. B.
C.3－ D.－2
B
设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，
依题意，有，
即，
所以，
从而得.
8.已知相互啮合的两个齿轮，大齿轮有45齿，小齿轮有30齿.如果大齿轮的转速为180 r/min(即每分钟旋转180圈)，小齿轮的半径为10 cm，那么小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧长是(　　)
A.5 400π cm B.90π cm
C.180π cm D.40π cm
B
大齿轮有45齿，小齿轮有30齿，当大齿轮转动一周时，
小齿轮转动(周)，
大齿轮的转速为180 r/min，则小齿轮转速为
×180＝270(r/min)，
故小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧度数为
270×2π÷60＝9π.
又小齿轮的半径为10 cm，所以小齿轮圆周上一点每1 s转过的弧长为9π×10＝90π(cm).
二、多选题
9.下列说法正确的有(　　)
A.角与角－的终边相同
B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为
D.67°30'化成弧度是 rad
AD
角与角－相差2π，终边相同，故A正确;
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误;
若角α的终边在直线y＝－3x上，
则cos α的取值为±，故C错误;
67°30'化成弧度是 rad，故D正确.
10.已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　)
A. B.
C. D.
AD
由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，
可得sin x－cos x<0，即sin x所以－＋2kπ当k＝0时，x所在的一个区间是，
当k＝1时，x所在的一个区间是.
11.在平面直角坐标系Oxy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B.cos α－sin α
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
AB
由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0，则>0，故A正确;
cos α－sin α>0，故B正确;
sin αcos α<0， 故C错误;
sin α＋cos α的符号不确定，故D错误.
三、填空题
12.如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合
为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
法一　由于终边在y＝－x(x≤0)上的角的集合为，由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ＝π＋2kπ，k∈Z}，
因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角α的集合为
.
法二　在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为，
所以所求角α的集合为.
13.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝　　　　弧度时，这个扇形的面积最大.
由已知，得l＋2R＝40，
所以S＝lR＝(40－2R)R＝20R－R2＝－(R－10)2＋100.
所以当R＝10(cm)时，S取得最大值，
此时l＝20(cm)，α＝2.
2
14.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝　　　.
设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2.
在Rt△PBO中，PB＝rtan α，所以△POB的面积为r·rtan α.
由题意得r2tan α＝2×αr2，所以tan α＝2α，所以.

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