资源简介

第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
课标要求　1.会推导两角差的余弦公式. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β):
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β;
(2)公式C(α＋β):
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β;
(3)公式S(α－β):
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β;
(4)公式S(α＋β):
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β;
(5)公式T(α－β):tan(α－β)＝;
(6)公式T(α＋β):tan(α＋β)＝.
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α:cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α:tan 2α＝.
1.两角和与差的公式的常用变形:
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β;
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β;
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)，
tan αtan β＝1－－1.
2.降幂公式:cos2α＝，sin2α＝，
tan2α＝.
3.升幂公式:1＋cos 2α＝2cos2α，
1－cos 2α＝2sin2α，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求得来的.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.(人教A必修一P223T2改编)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝　　　　.
答案　
解析　sin(α－π)＝－sin α＝，故sin α＝－，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×.
3.(苏教必修二P55例2改编)求值cos 15°＝　　　　.
答案　
解析　cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝.
4.(北师大必修二P156例4改编)已知tan α＝2，tan β＝－，则tan(α－β)＝　　　　.
答案　7
解析　tan(α－β)＝＝＝7.
考点一　公式的基本应用
例1 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　)
A.－3m B.－
C. D.3m
(2)(2024·全国甲卷)已知，则tan＝(　　)
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)由cos(α＋β)＝m得
cos αcos β－sin αsin β＝m. ①
由tan αtan β＝2得＝2， ②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m，故选A.
(2)根据题意有，
即1－tan α＝，所以tan α＝1－，
所以tan＝2－1，故选B.
感悟提升　三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘，符号反”.
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
训练1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π，cos ，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2026·鹰潭模拟)若α∈，tan α＝，则sin＝　　　　.
答案　(1)D　(2)
解析　(1)由题得cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，
因为0<α<π，所以sin α＝，
所以sin(sin α－cos α)＝×.
(2)tan α＝，
即sin α(3－sin α)＝cos2α＝1－sin2α，
整理可得sin α＝，
因为α∈，sin2α＋cos2α＝1，
所以cos α＝，
所以sin＝sin αcos＋cos αsin
＝××.
考点二　公式的逆用及变形
例2 (1)(2026·西安调研)cos 160°cos 130°－sin(－160°)cos 40°＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
(2)tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝　　　　.
答案　(1)A　(2)－
解析　(1)cos 160°cos 130°－sin(－160°)cos 40°
＝cos 160°cos(90°＋40°)＋sin 160°cos 40°
＝－cos 160°sin 40°＋sin 160°cos 40°
＝sin(160°－40°)＝sin 120°＝.
(2)因为tan(70°＋50°)＝
＝tan 120°＝－，
所以tan 70°＋tan 50°＝－tan 70°tan 50°，
所以tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.
感悟提升　三角函数公式的活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造条件逆用公式.
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式.
(3)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
训练2 (1)(多选)(2026·合肥质检)下列代数式的值为的是(　　)
A.cos275°－sin275°
B.
C.cos 36°cos 72°
D.2cos 20°cos 40°cos 80°
(2)＝　　　　.
答案　(1)BCD　(2)4
解析　(1)对于A，cos275°－sin275°＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－;
对于B，
＝sin 30°＝;
对于C，cos 36°cos 72°
＝
＝·;
对于D，2cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝·.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝4.
考点三　角的变换问题
例3 (1)(2026·兰州诊断)已知sin，则cos的值为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
(2)已知α∈，β∈，若sin(α＋β)＝，cos β＝，则sin α等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)法一　cos＝cos2
＝2cos2－1
＝2cos2－1
＝2sin2－1＝－.
法二　cos＝1－2sin2
＝1－2×，
所以cos＝cos
＝－cos＝－.
(2)因为α∈，β∈，
sin(α＋β)＝>0，cos β＝，
所以α＋β∈，
则sin β＝，
cos(α＋β)＝－＝－，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝××.
感悟提升　1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.常见的角的变换:2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，等.
训练3 (1)(2026·银川调研)已知α∈(0，π)，cos，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2026·浙江名校联考)已知α，β∈，若sin，cos，则sin(α－β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)因为α∈(0，π)，则α＋∈，
又cos>0 ，
可得sin，
所以sin α＝sin
＝sincos－cossin××.
(2)由题意可得α＋∈，
β－∈，
所以cos＝－，sin＝－，
所以sin(α－β)＝－sin
＝－××.
万能公式
(1)sin α＝;(2)cos α＝;
(3)tan α＝.
上述三个公式统称为万能公式.
典例 已知α，β∈(0，π)，tan ，sin(α－β)＝，则cos β＝　　　　.
答案　
解析　∵tan ，
∴sin α＝，
cos α＝.
∵α，β∈(0，π)，cos α>0，
∴α∈，
∴α－β∈，
∵sin(α－β)＝>0，∴α－β∈，
∴cos(α－β)＝，
∴cos β＝cos(－β)＝cos(α－β－α)
＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α
＝××.
训练 已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈，则tan α＝　　　　，sin＝　　　　.
答案　－　
解析　∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝
＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，
解得tan α＝－或tan α＝，
∵α∈，∴tan α＝－.
∴sin 2α＝＝－，
cos 2α＝，
∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin
＝－××.
一、单选题
1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.1
答案　B
解析　sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°
＝cos 43°sin 77°＋sin 43°cos 77°
＝sin(77°＋43°)＝sin 120°＝.
2.(2026·温州模拟)已知tan＝2，则tan θ＝(　　)
A.3 B.2
C. D.
答案　C
解析　由题意得，＝2，解得tan θ＝.
3.(2026·承德调研)已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　D
解析　因为α是第三象限角，且cos α＝－，
所以sin α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××.
4.(2026·北京朝阳区模拟)已知sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝(　　)
A.－ B.
C. D.1
答案　B
解析　由sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝3，
整理得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝3，
所以cos(α－β)＝.
5.(2026·蚌埠模拟)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　＝cos 15°
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.
6.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋
sincos ＋cossin
＝2sincos sin＝1，
所以sin.
7.计算:＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　B
解析　
＝
＝.
二、多选题
8.下列等式成立的有(　　)
A.sin 15°cos 15°＝
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.sin 15°＋cos 15°＝1
答案　BC
解析　对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误;
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确;
对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确;
对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误.
9.已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　)
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
答案　AC
解析　cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)
＝sin2α＝，
因为α∈，
所以sin α＝，cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝，
tan 2α＝＝－.
三、填空题
10.化简:(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝　　　　.
答案　2
解析　由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)
＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°，
又tan 20°＋tan 25°
＝tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)
＝1－tan 20°tan 25°，
所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)
＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°
＝2.
11.(2026·长沙模拟)若cos，α∈，则cos α＝　　　　.
答案　
解析　因为α∈，
所以α＋∈，
由cos可得sin
＝，
所以cos α＝cos
＝
＝.
12.(2026·开封质检)已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α＝　　　　.
答案　1
解析　由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)
＝－5，且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝1.
四、解答题
13.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.求:
(1)sin(α－β)的值;
(2)cos β的值.
解　(1)因为α，β∈，所以－<α－β<.
又因为tan(α－β)＝－<0，
所以－<α－β<0，
且sin(α－β)＝－cos(α－β)，
又sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，
解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得cos(α－β)＝.
因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
所以cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝××.
14.已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值;
(2)若f，α∈，求f(2α)的值.
解　(1)f(π)＝2cos
＝－2cos ＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝－2sin α
＝，所以sin α＝－.
又α∈，
所以cos α＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
所以f(2α)＝2cos
＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin
＝2××＋2××.(共56张PPT)
数学
高考总
复
习
第四章　三角函数、解三角形
第3节　和、差、倍角的正弦、余
弦和正切公式
1.会推导两角差的余弦公式.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β):
cos(α－β)＝_____________________;
(2)公式C(α＋β):
cos(α＋β)＝_____________________;
(3)公式S(α－β):
sin(α－β)＝_____________________;
(4)公式S(α＋β):
sin(α＋β)＝_____________________;
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
(5)公式T(α－β):tan(α－β)＝_____________;

(6)公式T(α＋β):tan(α＋β)＝_____________.
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝___________________，其中sin φ＝，cos φ＝.
sin(α＋φ)
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α＝_________________.
(2)公式C2α:cos 2α＝________________＝____________＝___________.
(3)公式T2α:tan 2α＝.
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
常用结论与微点提醒
1.两角和与差的公式的常用变形:
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β;
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β;
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)，
tan αtan β＝1－－1.
常用结论与微点提醒
2.降幂公式:cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
3.升幂公式:1＋cos 2α＝2cos2α，
1－cos 2α＝2sin2α，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求得来的.(　　)
√
√
√
2.(人教A必修一P223T2改编)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝_________.
sin(α－π)＝－sin α＝，故sin α＝－，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×.
3.(苏教必修二P55例2改编)求值cos 15°＝____________.
cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝.
4.(北师大必修二P156例4改编)已知tan α＝2，tan β＝－，则tan(α－β)＝_______.
7
tan(α－β)＝＝＝7.
考点聚焦突破
02
例1 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　)
A.－3m B.－
C. D.3m
A
由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m. ①
由tan αtan β＝2得＝2， ②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m，故选A.
考点一　公式的基本应用
(2)(2024·全国甲卷)已知，则tan＝(　　)
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
B
根据题意有，
即1－tan α＝，所以tan α＝1－，
所以tan＝2－1，故选B.
感悟提升
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘，符号反”.
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
训练1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π，cos ，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
D
由题得cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，
因为0<α<π，所以sin α＝，
所以sin(sin α－cos α)＝×.
(2)(2026·鹰潭模拟)若α∈，tan α＝，则sin＝
____________.
tan α＝，即sin α(3－sin α)＝cos2α＝1－sin2α，
整理可得sin α＝，因为α∈，sin2α＋cos2α＝1，
所以cos α＝，
所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝××.
例2 (1)(2026·西安调研)cos 160°cos 130°－sin(－160°)cos 40°＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
A
cos 160°cos 130°－sin(－160°)cos 40°
＝cos 160°cos(90°＋40°)＋sin 160°cos 40°
＝－cos 160°sin 40°＋sin 160°cos 40°
＝sin(160°－40°)＝sin 120°＝.
考点二　公式的逆用及变形
(2)tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝_________.
－
因为tan(70°＋50°)＝＝tan 120°＝－，
所以tan 70°＋tan 50°＝－tan 70°tan 50°，
所以tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.
感悟提升
三角函数公式的活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造条件逆用公式.
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式.
(3)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
训练2 (1)(多选)(2026·合肥质检)下列代数式的值为的是(　 　)
A.cos275°－sin275° B.
C.cos 36°cos 72° D.2cos 20°cos 40°cos 80°
BCD
对于A，cos275°－sin275°＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－;
对于B，＝sin 30°＝;
对于C，cos 36°cos 72°＝＝·;
对于D，2cos 20°cos 40°cos 80°＝＝＝·.
(2)＝____.
原式＝
＝
＝
＝＝4.
4
例3 (1)(2026·兰州诊断)已知sin，则cos的值为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
C
法一　cos＝cos2
＝2cos2－1
＝2cos2－1
＝2sin2－1＝－.
考点三　角的变换问题
法二　cos＝1－2sin2
＝1－2×，
所以cos＝cos
＝－cos＝－.
(2)已知α∈，β∈，若sin(α＋β)＝，cos β＝，则sin α等于(　　)
A. B.
C. D.
C
因为α∈，β∈，sin(α＋β)＝>0，cos β＝，
所以α＋β∈，则sin β＝，
cos(α＋β)＝－＝－，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝××.
感悟提升
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.常见的角的变换:2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，等.
训练3 (1)(2026·银川调研)已知α∈(0，π)，cos，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
A
因为α∈(0，π)，则α＋∈，又cos>0 ，
可得sin，
所以sin α＝sin＝sincos－cossin
××.
(2)(2026·浙江名校联考)已知α，β∈，若sin，cos，则sin(α－β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
由题意可得α＋∈，β－∈，
所以cos＝－，sin＝－，
所以sin(α－β)＝－sin＝－××.
A
(1)sin α＝;(2)cos α＝;
(3)tan α＝.
上述三个公式统称为万能公式.
万能公式 拓展视野
典例 已知α，β∈(0，π)，tan ，sin(α－β)＝，则cos β＝______.
∵tan ，∴sin α＝，
cos α＝.
∵α，β∈(0，π)，cos α>0，∴α∈，
∴α－β∈，
∵sin(α－β)＝>0，∴α－β∈，
∴cos(α－β)＝，
∴cos β＝cos(－β)＝cos(α－β－α)
＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α
＝××.
训练 已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈，则tan α＝________，sin＝____________.
∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝
＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，
解得tan α＝－或tan α＝，
∵α∈，∴tan α＝－.
∴sin 2α＝＝－，
cos 2α＝，
∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin
＝－××.
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.1
B
sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°
＝cos 43°sin 77°＋sin 43°cos 77°
＝sin(77°＋43°)＝sin 120°＝.
2.(2026·温州模拟)已知tan＝2，则tan θ＝(　　)
A.3 B.2
C. D.
C
由题意得，＝2，解得tan θ＝.
3.(2026·承德调研)已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
D
因为α是第三象限角，且cos α＝－，
所以sin α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××.
4.(2026·北京朝阳区模拟)已知sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝(　　)
A.－ B.
C. D.1
B
由sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝3，
整理得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝3，
所以cos(α－β)＝.
5.(2026·蚌埠模拟)＝(　　)
A. B.
C. D.
C
＝cos 15°
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.
6.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
B
因为sin θ＋sin＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin
＝2sincos sin＝1，
所以sin.
7.计算:＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
B
＝
＝.
二、多选题
8.下列等式成立的有(　　)
A.sin 15°cos 15°＝
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.sin 15°＋cos 15°＝1
BC
对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误;
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确;
对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确;
对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误.
9.已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　)
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
AC
cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝，
因为α∈，所以sin α＝，cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝，tan 2α＝＝－.
三、填空题
10.化简:(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝____________.
2
由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)
＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°，
又tan 20°＋tan 25°
＝tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)
＝1－tan 20°tan 25°，
所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)
＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
11.(2026·长沙模拟)若cos，α∈，则cos α＝____________.
因为α∈，所以α＋∈，
由cos可得sin＝，
所以cos α＝cos
＝
＝.
12.(2026·开封质检)已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α＝_________.
1
由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)
＝－5，且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝1.
四、解答题
13.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.求:
(1)sin(α－β)的值;
因为α，β∈，所以－<α－β<.
又因为tan(α－β)＝－<0，所以－<α－β<0，
且sin(α－β)＝－cos(α－β)，又sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，
解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.
(2)cos β的值.
由(1)可得cos(α－β)＝.
因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
所以cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝××.
14.已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值;
f(π)＝2cos
＝－2cos ＝－2×＝－.
(2)若f，α∈，求f(2α)的值.
因为f＝2cos＝－2sin α＝，所以sin α＝－.
又α∈，所以cos α＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin
＝2××＋2××.

展开更多......

收起↑