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第4节　简单的三角恒等变换
课标要求　1.会根据相关公式进行化简和求值. 2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
考点一　三角函数式的化简
例1 (1)的化简结果为(　　)
A.－sin 20° B.－cos 20°
C.cos 20° D.sin 20°
(2)化简sinsin＝　　　　.
答案　(1)C　(2)2sin
解析　(1)原式＝＋
＝|sin 20°－cos 20°|＋＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°.
(2)sinsin
＝sinsin
＝cossin
＝2
＝2sin
＝2sin.
感悟提升　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
训练1 (1)2等于(　　)
A.2cos 2 B.2sin 2
C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2
(2)化简的结果是(　　)
A. B.tan 2α
C. D.tan α
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)2
＝2
＝2
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
(2)原式＝
＝
＝tan 2α.
考点二　三角函数式的求值
角度1　给角求值
例2 (1)(2026·南昌调研)等于(　　)
A. B.
C. D.1
(2)tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝　　　.
答案　(1)C　(2)－1
解析　(1)
＝
＝＝cos 30°＝.
(2)tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝·cos 10°
＝×2sin(20°－30°)＝＝－
＝－1.
角度2　给值求值
例3 (1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷改编)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝　　　　.
答案　(1)－　(2)
解析　(1)由题知tan(α＋β)＝
＝＝－2，
即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，
又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
可得sin(α＋β)＝±.
由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，
得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，
k＋m∈Z.
又tan(α＋β)<0，
所以α＋β是第四象限角，
故sin(α＋β)＝－.
(2)法一　依题意，
得
所以sin αcos β＝，
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝，
所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)
＝1－2×.
法二(积化和差公式)　由条件，知
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]
＝，
解得sin(α＋β)＝，
则cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)
＝1－2×.
和差化积与积化和差
1.教材母题 人教A必修一P225例8与P226练习T4，T5题给出了两组公式:
(1)积化和差公式:
①sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin (α－β)]，
②cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin (α－β)]，
③cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos (α－β)]，
④sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos (α－β)].
(2)和差化积公式:
①sin θ＋sin φ＝2sincos，
②sin θ－sin φ＝2cossin，
③cos θ＋cos φ＝2coscos，
④cos θ－cos φ＝－2sinsin.
2.应用上述公式可实现三角函数式的积与和的相互转化.
典例 (1)sin 20°＋sin 40°－sin 80°＝　　　　;
(2)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°＝　　　　.
答案　(1)0　(2)
解析　(1)sin 20°＋sin 40°－sin 80°
＝2sin 30°·cos 10°－cos 10°
＝cos 10°－cos 10°＝0.
(2)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°
＝(－2cos 30°sin 10°)2＋(sin 70°－sin 30°)
＝3sin210°＋sin 70°－
＝(1－cos 20°)＋sin 70°－
＝cos 20°＋cos 20°－
＝.
角度3　给值求角
例4 已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－，则2α＋β的值为(　　)
A. B.π
C. D.
答案　A
解析　因为α，β为锐角，
tan α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，cos α＝，sin(α＋β)＝，
α∈，α＋β∈，
所以2α＋β∈，则sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝××，
所以2α＋β＝，故选A.
感悟提升　1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则:
(1)已知正切函数值，选正切函数;已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数;若角的范围是，选正、余弦皆可;
(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好;若角的范围为，选正弦较好.
训练2 (1)(2026·深圳模拟)已知＝3，则＝(　　)
A. B.
C.2 D.3
(2)(2025·九江模拟)已知cos，则sin等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，＝3，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝3sin αcos β－3cos αsin β，
即4cos αsin β＝2sin αcos β，
则＝2.
(2)法一　因为cos，
所以sin＝sin
＝cos＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
法二(换元法)
令t＝＋α，则α＝t－，cos t＝，
所以sin＝sin
＝sin＝cos 2t＝2cos2t－1＝－.
考点三　三角恒等变换的综合应用
例5 (2026·重庆调研)设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝sin.
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式;
(2)设h(x)＝f·g(x)，x∈.当h(x)＝时，求x的值.
解　(1)∵f(x)＋g(x)＝sin＝sin x＋cos x， ①
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝sin(－x)＋cos(－x)，
即－f(x)＋g(x)＝－sin x＋cos x， ②
联立①②，解得f(x)＝sin x，g(x)＝cos x.
(2)∵h(x)＝sin·cos x＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋(1＋cos 2x)
＝sin，
当h(x)＝时，sin，得sin.
∵0≤x≤，
∴≤2x＋≤，
∴2x＋，
∴x＝0或x＝.
感悟提升　1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.
2.形如y＝asin x＋bcos x化为y＝·sin(x＋φ)，可进一步研究函数的性质.
训练3 已知f(x)＝sin＋
2sin·cos.
(1)求f的值;
(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值.
解　(1)由题意得
f(x)＝sin＋2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－2sincos
＝sinsin
＝sin 2xcos －cos 2xsin cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
故f＝sin＝0.
(2)∵α∈，∴2α＋∈，
又∵f(α)＝，∴f(α)＝sin，
又∵sin<，
∴2α＋∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin 2α＝sin
＝sincos －cossin
＝××.
一、单选题
1.(2026·咸阳模拟)已知α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，
所以cos α＝，
所以α为锐角，则cos α＝1－2sin2，
解得sin.
2.＝(　　)
A. B.1
C. D.
答案　A
解析　.
3.化简等于(　　)
A.1 B.－1
C.cos α D.－sin α
答案　A
解析　原式＝
＝
＝＝1.
4.已知，则tan 2α＝(　　)
A.－ B.－
C.± D.
答案　A
解析　因为，
所以＝tan α＝，
则tan 2α＝＝－.
5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos，则sin等于(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案　B
解析　∵cos，
可得sin＝－cos
＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×.
6.(2026·秦皇岛模拟)已知tan(α－β)＝－，tan，则cos 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　D
解析　tan，
解得tan β＝－，
又tan(α－β)＝
＝－，
解得tan α＝－，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝.
7.已知cos(α－β)＝，cos 2α＝，α∈，β∈(0，π)，且α<β，则α＋β＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意得，α－β∈(－π，0)，
所以sin(α－β)＝－，
因为2α∈(0，π)，cos 2α＝>0，
所以2α∈，
所以α∈，
所以α＋β∈，sin 2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝××＝－，
又因为α＋β∈，所以α＋β＝.
二、多选题
8.(2026·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　)
A.sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215°
C. D.
答案　BC
解析　对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误;
对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确;
对于C，，
故C正确;
对于D，＝
tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故D错误.
9.(2026·苏州质检)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A.sin 2α＝ B.cos(α－β)＝
C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝
答案　AC
解析　由题意，易得α＋β∈，2α∈，
所以sin 2α＝，故A正确;
sin(α＋β)＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝××，故B错误;
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝×，故C正确;
sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝×，
所以tan αtan β＝，故D错误.
三、填空题
10.已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝　　　　.
答案　
解析　由sin＋cos
＝－cos 2α＋(cos α＋sin α)＝0，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝(cos α＋sin α)，
又α∈，
所以cos α－sin α＝，得cos，
而α＋∈，
所以α＋，得α＝.
11.(2026·青岛模拟)已知tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，则tan＝　　　　.
答案　－
解析　由tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，
则tan α＝tan[(2α－β)－(α－β)]
＝＝－，
所以tan 2α＝＝－，
则tan
＝＝－.
12.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝　　　　，2α－β＝　　　　.
答案　　
解析　因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β
＝××.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin(2α－β)＝，
所以2α－β＝.
四、解答题
13.(2026·天津模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的最小正周期为4π.
(1)求ω的值;
(2)设α，β∈，f，
f，求cos(α＋β)的值.
解　(1)由f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2sin，
又因为函数f(x)的最小正周期为4π，
所以T＝＝4π，解得ω＝.
(2)由(1)得f(x)＝2sin，
则f＝2sin α＝，则sin α＝，
又因为α，β∈，
所以cos α＝，
又因为f＝2sin，
则cos β＝，
所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝××.
14.已知2sin α＝2sin2－1.
(1)求sin αcos α＋cos 2α的值;
(2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值.
解　(1)由已知得2sin α＝－cos α，
所以tan α＝－.
sin αcos α＋cos 2α＝
＝.
(2)由tan2β－6tan β＝1，
可得tan 2β＝＝－，
则tan(α＋2β)＝
＝＝－1.
因为β∈，
所以2β∈(0，π)，
又tan 2β＝－>－，
则2β∈，
因为α∈(0，π)，tan α＝－>－，
则α∈，则α＋2β∈，
所以α＋2β＝.(共54张PPT)
数学
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习
第四章　三角函数、解三角形
第4节　简单的三角恒等变换
1.会根据相关公式进行化简和求值.
2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
课标要求
内容索引
考点聚焦突破
01
02
课时对点精练
考点聚焦突破
01
例1 (1)的化简结果为(　　)
A.－sin 20° B.－cos 20°
C.cos 20° D.sin 20°
C
原式＝＋＝|sin 20°－cos 20°|＋＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°.
考点一　三角函数式的化简
(2)化简sinsin＝________________.
sinsin
＝sinsin
＝cossin
＝2
＝2sin
＝2sin.
2sin
感悟提升
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
训练1 (1)2等于(　　)
A.2cos 2 B.2sin 2
C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2
B
2
＝2
＝2
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，∴cos 2<0，∵sin 2＋cos 2＝sin<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
(2)化简的结果是(　　)
A. B.tan 2α
C. D.tan α
原式＝
＝
＝tan 2α.
B
角度1　给角求值
例2 (1)(2026·南昌调研)等于(　　)
A. B.
C. D.1
C
＝
＝＝cos 30°＝.
考点二　三角函数式的求值
(2)tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝_________.
－1
tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝·cos 10°
＝×2sin(20°－30°)＝＝－
＝－1.
角度2　给值求值
例3 (1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝____________.
－
由题知tan(α＋β)＝＝＝－2，
即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，
又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
可得sin(α＋β)＝±.
由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，
得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，
k＋m∈Z.
又tan(α＋β)<0，
所以α＋β是第四象限角，
故sin(α＋β)＝－.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷改编)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝________.
法一　依题意，得
所以sin αcos β＝，
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×.
法二(积化和差公式)　由条件，知
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]
＝，
解得sin(α＋β)＝，
则cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)
＝1－2×.
1.教材母题 人教A必修一P225例8与P226练习T4，T5题给出了两组公式:
(1)积化和差公式:
①sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin (α－β)]，
②cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin (α－β)]，
③cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos (α－β)]，
④sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos (α－β)].
和差化积与积化和差 教考衔接
(2)和差化积公式:
①sin θ＋sin φ＝2sincos，
②sin θ－sin φ＝2cossin，
③cos θ＋cos φ＝2coscos，
④cos θ－cos φ＝－2sinsin.
2.应用上述公式可实现三角函数式的积与和的相互转化.
典例 (1)sin 20°＋sin 40°－sin 80°＝____________;
0
sin 20°＋sin 40°－sin 80°
＝2sin 30°·cos 10°－cos 10°
＝cos 10°－cos 10°＝0.
(2)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°＝____________.
(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°
＝(－2cos 30°sin 10°)2＋(sin 70°－sin 30°)
＝3sin210°＋sin 70°－
＝(1－cos 20°)＋sin 70°－
＝cos 20°＋cos 20°－
＝.
角度3　给值求角
例4 已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－，则2α＋β的值为(　　)
A. B.π
C. D.
A
因为α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，cos α＝，sin(α＋β)＝，
α∈，α＋β∈，
所以2α＋β∈，
则sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝××，
所以2α＋β＝，故选A.
感悟提升
1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
感悟提升
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则:
(1)已知正切函数值，选正切函数;已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数;若角的范围是，选正、余弦皆可;
(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好;若角的范围为，选正弦较好.
训练2 (1)(2026·深圳模拟)已知＝3，则＝(　　)
A. B.
C.2 D.3
C
因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，＝3，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝3sin αcos β－3cos αsin β，
即4cos αsin β＝2sin αcos β，则＝2.
(2)(2025·九江模拟)已知cos，则sin等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
C
法一　因为cos，
所以sin＝sin
＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
法二(换元法)
令t＝＋α，则α＝t－，cos t＝，
所以sin＝sin
＝sin＝cos 2t＝2cos2t－1＝－.
例5 (2026·重庆调研)设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝sin.
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式;
考点三　三角恒等变换的综合应用
∵f(x)＋g(x)＝sin＝sin x＋cos x， ①
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝sin(－x)＋cos(－x)，
即－f(x)＋g(x)＝－sin x＋cos x， ②
联立①②，解得f(x)＝sin x，g(x)＝cos x.
(2)设h(x)＝f·g(x)，x∈.当h(x)＝时，求x的值.
∵h(x)＝sin·cos x＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋(1＋cos 2x)
＝sin，
当h(x)＝时，sin，得sin.
∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴2x＋，
∴x＝0或x＝.
感悟提升
1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.
2.形如y＝asin x＋bcos x化为y＝·sin(x＋φ)，可进一步研究函数的性质.
训练3 已知f(x)＝sin＋2sin·cos.
(1)求f的值;
由题意得
f(x)＝sin＋2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－2sincos
＝sinsin＝sin 2xcos －cos 2xsin cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，故f＝sin＝0.
(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值.
∵α∈，∴2α＋∈，
又∵f(α)＝，∴f(α)＝sin，
又∵sin<，
∴2α＋∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin 2α＝sin
＝sincos －cossin
＝××.
课时对点精练
02
一、单选题
1.(2026·咸阳模拟)已知α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
A
因为α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，所以cos α＝，
所以α为锐角，则cos α＝1－2sin2，
解得sin.
2.＝(　　)
A. B.1
C. D.
A
.
3.化简等于(　　)
A.1 B.－1
C.cos α D.－sin α
A
原式＝
＝
＝＝1.
4.已知，则tan 2α＝(　　)
A.－ B.－
C.± D.
A
因为，
所以＝tan α＝，
则tan 2α＝＝－.
5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos，则sin等于(　　)
A.－ B.
C. D.－
B
∵cos，
可得sin＝－cos
＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×.
6.(2026·秦皇岛模拟)已知tan(α－β)＝－，tan，则cos 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
D
tan，解得tan β＝－，
又tan(α－β)＝＝－，解得tan α＝－，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝.
7.已知cos(α－β)＝，cos 2α＝，α∈，β∈(0，π)，且α<β，则α＋β＝(　　)
A. B.
C. D.
B
由题意得，α－β∈(－π，0)，
所以sin(α－β)＝－，
因为2α∈(0，π)，cos 2α＝>0，
所以2α∈，
所以α∈，
所以α＋β∈，sin 2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝××＝－，
又因为α＋β∈，所以α＋β＝.
二、多选题
8.(2026·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　)
A.sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215°
C. D.
BC
对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误;
对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确;
对于C，，故C正确;
对于D，＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，
故D错误.
9.(2026·苏州质检)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A.sin 2α＝ B.cos(α－β)＝
C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝
AC
由题意，易得α＋β∈，2α∈，
所以sin 2α＝，故A正确;
sin(α＋β)＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝××，故B错误;
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝×，故C正确;
sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝×，
所以tan αtan β＝，故D错误.
三、填空题
10.已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝____________.
由sin＋cos＝－cos 2α＋(cos α＋sin α)＝0，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝(cos α＋sin α)，又α∈，
所以cos α－sin α＝，得cos，而α＋∈，
所以α＋，得α＝.
11.(2026·青岛模拟)已知tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，则tan＝_________.
－
由tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，
则tan α＝tan[(2α－β)－(α－β)]＝＝－，
所以tan 2α＝＝－，
则tan＝＝－.
12.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝××.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin(2α－β)＝，
所以2α－β＝.
四、解答题
13.(2026·天津模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的最小正周期为4π.
(1)求ω的值;
由f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，
又因为函数f(x)的最小正周期为4π，
所以T＝＝4π，解得ω＝.
由(1)得f(x)＝2sin，
则f＝2sin α＝，则sin α＝，
又因为α，β∈，所以cos α＝，
又因为f＝2sin，
则cos β＝，所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝××.
(2)设α，β∈，f，f，求cos(α＋β)的值.
14.已知2sin α＝2sin2－1.
(1)求sin αcos α＋cos 2α的值;
由已知得2sin α＝－cos α，
所以tan α＝－.
sin αcos α＋cos 2α＝
＝.
(2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值.
由tan2β－6tan β＝1，可得tan 2β＝＝－，
则tan(α＋2β)＝＝＝－1.
因为β∈，所以2β∈(0，π)，
又tan 2β＝－>－，则2β∈，
因为α∈(0，π)，tan α＝－>－，
则α∈，则α＋2β∈，
所以α＋2β＝.

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