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第5节　三角函数的图象与性质
课标要求　1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是:(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是:(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义 域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小 正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增 区间 [2kπ－π，2kπ]
递减 区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称 中心 (kπ，0)
对称轴 方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间
(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1;
当k<0时，ymax＝－k＋1.
2.(人教A必修一P214T10改编)函数y＝cos，x∈的值域是　　　　.
答案　
解析　由x∈得x＋∈，
所以y＝cos∈.
3.(湘教必修一P186T5(1)改编)函数f(x)＝sin，x∈R的递减区间是　　　　.
答案　(k∈Z)
解析　由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故f(x)的单调递减区间是
(k∈Z).
4.(北师大必修二P62例4改编)函数y＝tan的定义域为　　　　.
答案　
解析　由x－≠＋kπ，k∈Z，
即x≠＋kπ，k∈Z，
故函数y＝tan的定义域为
.
第一课时　三角函数的定义域、值域和单调性
考点一　三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝lg sin x＋的定义域为　　　　.
(2)函数f(x)＝－2tan的定义域是　　　　.
答案　(1)　
(2)
解析　(1)要使函数有意义，则有
即
解得(k∈Z)，
所以2kπ所以函数的定义域为.
(2)由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠kπ＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
感悟提升　三角函数有关定义域的求法:根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数性质及图象求解，与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域.
训练1 (2026·郑州模拟)函数y＝的定义域为　　　　.
答案　，k∈Z
解析　由题可知，
即
解得－＋kπ考点二　三角函数的值域(最值)
例2 (1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A. B.
C. D.
(2)若x是三角形的最小内角，则函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域为　　　　.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)当x∈时，2x－∈，sin∈，
故3sin∈，
∴函数f(x)的值域为.
(2)设t＝sin x＋cos x＝sin，
∵x∈，
∴x＋∈，∴t∈(1，]，
∴y＝t＋t2＋t－∈，
∴所求函数的值域为.
感悟提升　三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin的形式求值域.
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
训练2 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是　　　　.
(2)若函数f(x)＝sin x－cos 2x，则f(x)的值域为　　　　.
答案　(1)2　(2)
解析　(1)由题意知f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
当x∈[0，π]时，x－∈，
∴sin∈，
于是f(x)∈[－，2]，
故f(x)在[0，π]上的最大值为2.
(2)f(x)＝sin x－cos 2x＝sin x－(1－2sin2x)＝2sin2x＋sin x－1，
设t＝sin x∈[－1，1]，
则y＝2t2＋t－1，t∈[－1，1]，
当t∈时，y＝2t2＋t－1单调递减，
当t∈时，y＝2t2＋t－1单调递增，
∴当t＝－时，ymin＝－;
当t＝1时，ymax＝2.
∴f(x)的值域为.
考点三　三角函数的单调性
例3 (2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝.
(1)求φ;
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间.
解　(1)因为f(0)＝cos φ＝，且0≤φ<π，
所以φ＝.
(2)g(x)＝f(x)＋f
＝cos＋cos 2x
＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝
＝cos.
因为x∈R，所以当cos＝1时，g(x)max＝，
当cos＝－1时，g(x)min＝－，
所以g(x)的值域为[－].
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z).
所以g(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以单调递减区间为
(k∈Z).
感悟提升　1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
训练3 (1)(2026·合肥调研)设a＝·(sin 54°－cos 54°)，b＝cos 50°cos 129°＋cos 40°cos 39°，c＝sin 10°，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.b>c>a D.a>c>b
(2)(2026·汉中模拟)函数f(x)＝－sin的单调递增区间为　　　　.
答案　(1)C　(2)(k∈Z)
解析　(1)a＝(sin 54°－cos 54°)
＝sin(54°－45°)＝sin 9°，
b＝－cos 50°sin 39°＋sin 50°cos 39°
＝sin(50°－39°)＝sin 11°，
∵y＝sin x在上单调递增，
∴sin 11°>sin 10°>sin 9°，即b>c>a.
(2)依题意，函数f(x)的递增区间，即为函数y＝sin的递减区间，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
一、单选题
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　由题意，得2sin x－1≥0，
x∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z).
2.函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A.2－ B.0
C.－1 D.－1－
答案　A
解析　因为0≤x≤9，则－≤≤，
所以sin∈.
即y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.
3.已知函数f(x)＝cos，则f(x)在[－2，0]上(　　)
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
答案　D
解析　∵x∈[－2，0]，
∴2x－∈，
∵－<－4－<－π<－<0，
∴函数f(x)＝cos在[－2，0]上先减后增.
4.函数f(x)＝3sin x＋cos 2x的最大值是(　　)
A.2 B.
C.3 D.
答案　B
解析　因为f(x)＝3sin x＋cos 2x，
所以f(x)＝3sin x＋1－2sin2x，
令t＝sin x，则t∈[－1，1]，
所以g(t)＝－2t2＋3t＋1＝－2，
所以当t＝时，g(t)max＝，
即当sin x＝时f(x)max＝.
5.(2026·石家庄模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos 2x，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　f(x)＝sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的一个单调递减区间为.
6.若函数f(x)＝sin x＋2cos x取最小值时x＝θ，则sin θ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　B
解析　f(x)＝sin x＋2cos x＝sin(x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝，
因为当x＝θ时，f(x)取得最小值，
所以θ＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
故sin θ＝sin＝－sin＝－cos φ＝－.
7.已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，
b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
答案　A
解析　a＝f＝2cos，
b＝f＝2cos，
c＝f＝2cos，
因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，
又0<<<<π，
所以a>b>c.
二、多选题
8.下列各函数的定义域正确的是(　　)
A.函数y＝tan的定义域为
B.函数y＝的定义域为(k∈Z)
C.函数y＝的定义域
D.函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪
答案　AD
解析　对于A，函数y＝tan＝－tan，
令x－≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋kπ，k∈Z，
∴函数y的定义域为，A正确;
对于B，由cos x－≥0，得cos x≥，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，B错误;
对于C，要使函数式有意义，必须有sin x－cos x≥0.
在同一平面直角坐标系中画出[0，2π]内y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，结合正、余弦函数的周期是2π，
可得所求定义域为
，C错误;
对于D，由题意可知
即
解得－3≤x<－或09.(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
答案　BC
解析　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，
又g≠0，故A错误;
对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确;
对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确;
对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，
g(x)图象的对称轴方程为2x－＋kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，
故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC.
三、填空题
10.比较大小:sin　　　　sin.
答案　>
解析　因为y＝sin x在上单调递增且0>－>－>－，
故sin>sin.
11.函数y＝|tan x|在上的单调递减区间为　　　　　　　　.
答案　和
解析　如图，观察图象可知，y＝|tan x|在.
12.(2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈，则cos β的最大值为　　　　.
答案　－
解析　因为α与β的终边关于原点对称，
所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，
所以cos β＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cos α.
因为α∈，
所以cos α∈，
所以cos β∈，
所以cos β的最大值为－.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
解　(1)∵f(x)＝2sin的最小正周期为π，
∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin＝2.
(2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
∴＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递减区间
为(k∈Z).
14.已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值;
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4，
解得a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＋2kπ，k∈Z或
2x＋＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，
所以x的取值集合为.(共56张PPT)
数学
高考总
复
习
第四章　三角函数、解三角形
第5节　三角函数的图象与性质
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是:(0，0)，，
(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是:(0，1)，，_________，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
定义 域 R R ______________________
值域 __________ ___________ R
最小 正周期 ______ ______ ___
奇偶性 _________ _________ 奇函数
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
递增 区间 ____________________ ___________________
递减 区间 ____________________ ___________________ 无
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
对称 中心 __________
对称轴 方程 __________ ____________ 无
(kπ,0)
常用结论与微点提醒
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
常用结论与微点提醒
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)
×
(3)当k>0时，ymax＝k＋1;
当k<0时，ymax＝－k＋1.
√
×
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)
2.(人教A必修一P214T10改编)函数y＝cos，x∈的值域是
____________.
由x∈得x＋∈，
所以y＝cos∈.
3.(湘教必修一P186T5(1)改编)函数f(x)＝sin，x∈R的递减区间是____________________________.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
(k∈Z)
4.(北师大必修二P62例4改编)函数y＝tan的定义域为____________________________.
由x－≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋kπ，k∈Z，
故函数y＝tan的定义域为.
数学
高考总
复
习
第四章　三角函数、解三角形 第5节　三角函数的图象与性质
第一课时　三角函数的定义域、值
域和单调性
INNOVATIVE
DESIGN
考点聚焦突破
02
例1 (1)函数y＝lg sin x＋的定义域为____________________________.
要使函数有意义，则有
即
考点一　三角函数的定义域
解得(k∈Z)，
所以2kπ所以函数的定义域为.
(2)函数f(x)＝－2tan的定义域是__________________________.
由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠kπ＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
感悟提升
三角函数有关定义域的求法:根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数性质及图象求解，与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域.
训练1 (2026·郑州模拟)函数y＝的定义域为__________________________________.
，k∈Z
由题可知，
即
解得－＋kπ例2 (1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A. B.
C. D.
B
当x∈时，2x－∈，sin∈，
故3sin∈，
∴函数f(x)的值域为.
考点二　三角函数的值域(最值)
(2)若x是三角形的最小内角，则函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域为
____________.
设t＝sin x＋cos x＝sin，
∵x∈，∴x＋∈，∴t∈(1，]，
∴y＝t＋t2＋t－∈，
∴所求函数的值域为.
感悟提升
三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin的形式求值域.
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
训练2 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是____________.
2
由题意知f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
当x∈[0，π]时，x－∈，
∴sin∈，
于是f(x)∈[－，2]，
故f(x)在[0，π]上的最大值为2.
(2)若函数f(x)＝sin x－cos 2x，则f(x)的值域为____________.
f(x)＝sin x－cos 2x＝sin x－(1－2sin2x)＝2sin2x＋sin x－1，
设t＝sin x∈[－1，1]，则y＝2t2＋t－1，t∈[－1，1]，
当t∈时，y＝2t2＋t－1单调递减，
当t∈时，y＝2t2＋t－1单调递增，
∴当t＝－时，ymin＝－;
当t＝1时，ymax＝2.∴f(x)的值域为.
例3 (2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝.
(1)求φ;
考点三　三角函数的单调性
因为f(0)＝cos φ＝，且0≤φ<π，
所以φ＝.
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间.
g(x)＝f(x)＋f
＝cos＋cos 2x
＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝
＝cos.
因为x∈R，所以当cos＝1时，g(x)max＝，
当cos＝－1时，g(x)min＝－，
所以g(x)的值域为[－].
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z).
所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以单调递减区间为(k∈Z).
感悟提升
1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
训练3 (1)(2026·合肥调研)设a＝·(sin 54°－cos 54°)，b＝cos 50°cos 129°＋cos 40°cos 39°，c＝sin 10°，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.b>c>a D.a>c>b
C
a＝(sin 54°－cos 54°)＝sin(54°－45°)＝sin 9°，
b＝－cos 50°sin 39°＋sin 50°cos 39°＝sin(50°－39°)＝sin 11°，
∵y＝sin x在上单调递增，
∴sin 11°>sin 10°>sin 9°，即b>c>a.
(2)(2026·汉中模拟)函数f(x)＝－sin的单调递增区间为______________________________.
依题意，函数f(x)的递增区间，即为函数y＝sin的递减区间，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(k∈Z)
课时对点精练
03
一、单选题
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
B
由题意，得2sin x－1≥0，
x∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z).
2.函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A.2－ B.0
C.－1 D.－1－
A
因为0≤x≤9，则－≤≤，
所以sin∈.
即y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.
3.已知函数f(x)＝cos，则f(x)在[－2，0]上(　　)
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
D
∵x∈[－2，0]，
∴2x－∈，
∵－<－4－<－π<－<0，
∴函数f(x)＝cos在[－2，0]上先减后增.
4.函数f(x)＝3sin x＋cos 2x的最大值是(　　)
A.2 B.
C.3 D.
B
因为f(x)＝3sin x＋cos 2x，所以f(x)＝3sin x＋1－2sin2x，
令t＝sin x，则t∈[－1，1]，
所以g(t)＝－2t2＋3t＋1＝－2，
所以当t＝时，g(t)max＝，
即当sin x＝时f(x)max＝.
5.(2026·石家庄模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos 2x，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
A
f(x)＝sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的一个单调递减区间为.
6.若函数f(x)＝sin x＋2cos x取最小值时x＝θ，则sin θ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
B
f(x)＝sin x＋2cos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，
因为当x＝θ时，f(x)取得最小值，所以θ＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
故sin θ＝sin＝－sin＝－cos φ＝－.
7.已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
A
a＝f＝2cos，b＝f＝2cos，c＝f＝2cos，
因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，
又0<<<<π，所以a>b>c.
二、多选题
8.下列各函数的定义域正确的是(　　)
A.函数y＝tan的定义域为
B.函数y＝的定义域为(k∈Z)
C.函数y＝的定义域
D.函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪
AD
对于A，函数y＝tan＝－tan，
令x－≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z，
∴函数y的定义域为，A正确;
对于B，由cos x－≥0，得cos x≥，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，B错误;
对于C，要使函数式有意义，必须有sin x－cos x≥0.
在同一平面直角坐标系中画出[0，2π]内y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，结合正、余弦函数的周期是2π，
可得所求定义域为，C错误;
对于D，由题意可知
即
解得－3≤x<－或09.(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，
又g≠0，故A错误;
对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确;
对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确;
对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，
g(x)图象的对称轴方程为2x－＋kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，
故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC.
三、填空题
10.比较大小:sin_______sin.
>
因为y＝sin x在上单调递增且0>－>－>－，
故sin>sin.
11.函数y＝|tan x|在上的单调递减区间为________________________.
和
如图，观察图象可知，y＝|tan x|在.
12.(2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈，则cos β的最大值为____________.
－
因为α与β的终边关于原点对称，
所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，
所以cos β＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cos α.
因为α∈，所以cos α∈，
所以cos β∈，所以cos β的最大值为－.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f的值;
∵f(x)＝2sin的最小正周期为π，
∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin＝2.
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
∴＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递减区间
为(k∈Z).
14.已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值;
因为当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4，
解得a＝1.
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
由f(x)＝2sin＋2＝1，可得sin＝－，
则2x＋＋2kπ，k∈Z或2x＋＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，
所以x的取值集合为.

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