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第二课时　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　三角函数的周期性
例1 (1)函数f(x)＝cos x＋2cosx的一个周期为(　　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
(2)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A.y＝cos|2x| B.y＝|cos x|
C.y＝cos D.y＝tan
答案　(1)D　(2)ABC
解析　(1)易知y＝cos x，y＝2cosx的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f(x)的一个周期.
(2)A中，y＝cos|2x|＝cos 2x的最小正周期为π;
B中，由图象(图略)知y＝|cos x|的最小正周期为π;
C中，y＝cos的最小正周期T＝＝π;
D中，y＝tan的最小正周期T＝.
感悟提升　周期的计算方法:(1)用定义验证函数的周期性;(2)利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解;(3)利用函数图象求周期.
训练1 (1)下列函数是以π为最小正周期的函数是(　　)
A.y＝sin x B.y＝sin x＋2
C.y＝cos 2x＋2 D.y＝cos 3x－1
(2)已知f(x)＝2cos x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝　　　　.
答案　(1)C　(2)3
解析　(1)y＝sin x及y＝sin x＋2的最小正周期为2π，y＝cos 2x＋2的最小正周期为π，y＝cos 3x－1的最小正周期为，选C.
(2)易知f(x)的最小正周期T＝6，则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
则f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.
考点二　三角函数的奇偶性
例2 (1)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)－sin(x＋θ)是奇函数，则θ＝　　　　.
答案　
解析　f(x)＝cos(x＋θ)－sin(x＋θ)
＝2cos，
因为函数f(x)是奇函数，
所以θ＋＋kπ，k∈Z，
解得θ＝＋kπ，k∈Z，
因为－≤θ≤，所以θ＝.
(2)判断下列函数的奇偶性:
①f(x)＝|sin x|＋cos x;
②f(x)＝.
解　①函数的定义域为R，
因为f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以此函数是偶函数.
②由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.
感悟提升　奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式.
训练2 (1)函数y＝2|sin x|＋1是(　　)
A.周期为2π的奇函数
B.周期为π的奇函数
C.周期为2π的偶函数
D.周期为π的偶函数
(2)(2026·宜春调研)已知函数f(x)＝sin xcos(2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝　　　　.
答案　(1)D　(2)
解析　(1)设f(x)＝y＝2|sin x|＋1，x∈R，
f(－x)＝2|sin(－x)|＋1＝2|－sin x|＋1
＝2|sin x|＋1＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
因为y＝2sin x＋1的周期为2π，
所以y＝2|sin x|＋1的周期为π，故选D.
(2)∵f(x)定义域为R，且为偶函数，
∴f＝f，得－cos(－π＋φ)
＝cos(π＋φ)，得cos φ＝－cos φ，得cos φ＝0.
∵φ∈[0，π]，∴φ＝.
当φ＝时，f(x)＝－sin xsin 2x为偶函数满足题意.
考点三　三角函数的对称性
例3 (1)(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(多选)已知函数f(x)＝sin＋1，则下列结论中正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期T＝π
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点
答案　(1)B　(2)AC
解析　(1)由题意知a－，k∈Z，
得a＝，k∈Z，
因为a>0，所以取k＝0，得a的最小值为.
(2)∵f(x)＝sin＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，A正确;
∵sin＝0，
∴函数f(x)的图象关于点对称，B错误;
又sin＝1，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确;
令f(x)＝0得sin＝－1，
∴2x－＝－＋2kπ，k∈Z，
∴x＝－＋kπ，k∈Z，
又x∈[0，2π]，∴x＝，
∴f(x)在[0，2π]内有2个零点，D错误.
感悟提升　对称轴、对称中心的求法:对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可.
训练3 (1)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x＝2，一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　)
A.sinx B.cosx
C.sinx D.cosx
(2)(多选)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则(　　)
A.ω＝2
B.函数f(x)为奇函数
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
答案　(1)B　(2)AC
解析　(1)A中，T＝＝4，B中，T＝＝4，
C中，T＝＝8，D中，T＝＝8，排除C，D;
对于A，当x＝2时，sin＝0，
故(2，0)是函数的一个对称中心，排除A;
对于B，当x＝2时，cos＝－1，故x＝2是函数的一条对称轴.
(2)f(x)＝sin ωx－cos ωx
＝2
＝2sin，
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
所以T＝，则T＝π，
所以T＝＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin，故A正确;
显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误;
对于C，f＝2sin
＝2sin(－π)＝0，
所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确;
对于D，f＝2sin
＝2sin＝－1，
所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故D错误.
一、单选题
1.函数y＝sin的图象的一条对称轴是(　　)
A.x＝－ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
答案　C
解析　对于函数y＝sin，
令2x＋＋kπ，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，
故函数图象的对称轴为直线
x＝，k∈Z，
令k＝0，可知函数图象的一条对称轴为直线x＝.
2.若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于(　　)
A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z)
答案　C
解析　若0在定义域内，由x＝0时，y＝0，得φ＝kπ(k∈Z);
若0不在定义域内，由x＝0时，tan φ无意义，得φ＝kπ＋(k∈Z).
综上，φ＝(k∈Z).
3.(2026·潍坊调研)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝|cos x|
C.y＝cos 2x D.y＝tan
答案　A
解析　对于A，y＝|sin x|的图象可由y＝sin x的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故其最小正周期为π，当x∈时，
y＝|sin x|＝sin x单调递增，A符合题意;
对于B，当x∈时，y＝|cos x|＝cos x单调递减，B不符合题意;
对于C，y＝cos 2x的最小正周期为π，在上单调递减，C不符合题意;
对于D，y＝tan的最小正周期为2π，D不符合题意.故选A.
4.已知函数f(x)＝tan，则(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D.f(x)的最小正周期为π
答案　C
解析　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误;
在区间上单调递增，B错误;
最小正周期为，D错误;
∵当x＝时，tan＝0，
∴为其图象的一个对称中心，故选C.
5.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于 (　　)
A.直线x＝对称 B.直线x＝对称
C.点对称 D.点对称
答案　B
解析　因为函数f(x)的最小正周期为π，
由π＝得ω＝1，所以f(x)＝2sin.
f＝1，故直线x＝不是f(x)图象的对称轴，点也不是f(x)图象的对称中心;
f＝2，故直线x＝是f(x)图象的对称轴，点不是f(x)图象的对称中心.故选B.
6.函数f(x)＝2sin(ω>0)图象的相邻两对称轴之间的距离为，若该函数图象关于点(m，0)中心对称，则当m∈时，m的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为函数f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为，
所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，
所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin.
令f(x)＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，
得x＝(k∈Z)，
又m∈，
当k＝1时，x＝，故m＝，故选D.
7.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与直线l:y＝1的三个相邻交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1＋x2＝，x2＋x3＝.当x∈时，|f(x)－t|<3恒成立，则t的取值范围为(　　)
A.(－∞，－2)∪[1，＋∞)
B.(－1，2]
C.(－∞，－1]∪(2，＋∞)
D.(－2，1]
答案　B
解析　由已知得f(x)图象的相邻的两条对称轴分别为直线x＝，
x＝，
所以函数f(x)的最小正周期
T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin.
当x∈时，2x－∈，
f(x)∈(－1，2].
由|f(x)－t|<3，得－3所以－3＋t所以解得－1二、多选题
8.已知函数f(x)＝tan，下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为
B.函数f(x)的定义域为
C.函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z
D.函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z
答案　ACD
解析　对于A，函数f(x)＝tan的最小正周期T＝，所以A正确;
对于B，令2x－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠，k∈Z，
即函数f(x)的定义域为，所以B错误;
对于C，令2x－，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，
所以函数f(x)的图象关于点，k∈Z对称，所以C正确;
对于D，令kπ－<2x－解得故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以D正确.
9.已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
答案　AD
解析　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确;
当∴f(x)在上单调递减，故B不正确;
f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确;
∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，
∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.
三、填空题
10.(2026·保定模拟)若函数f(x)＝tan 2x的最小正周期为T，且f(x)的图象关于点(m，0)(0答案　
解析　T＝，由0则2m＝，即m＝.
11.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝　　　　　　　　.
① x∈R，f＝f(x);
② x∈R，f(x)≤f恒成立.
答案　－cos 4x(答案不唯一)
解析　由 x∈R，f＝f(x)可知，函数的周期为，
由 x∈R，f(x)≤f恒成立可知，函数在x＝处取到最大值，
则f(x)＝－cos 4x满足题意，
一方面根据余弦函数的周期公式，T＝，满足 x∈R，f＝f(x)，
另一方面，f＝－cos π＝1＝f(x)max，满足 x∈R，f(x)≤f恒成立.
12.(2026·武汉质检)已知函数f(x)＝若满足f(x1)＝f(x2)＝…＝f(x9)(x1，x2，…，x9互不相等)，则x1＋x2＋…＋x9的取值范围是　　　　.
答案　[0，2 025)
解析　根据题意，作出函数f(x)＝的图象，不妨设x1所以x1＋x2＋…＋x8＝－4，另一方面x9＝4或0即x9∈[4，2 029)，所以x1＋x2＋…＋x9＝－4＋x9∈[0，2 025).
四、解答题
13.(2026·郑州质检)已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标.
解　(1)f(x)＝sin 2ωx＋＝sin，
因为f(x)最小正周期为π，
所以π＝，解得ω＝1，
所以f(x)＝sin.
令－＋2kπ<2x＋<＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x＋＋kπ(k∈Z)，
解得x＝(k∈Z)，
所以对轴方程为x＝(k∈Z);
令2x＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝－(k∈Z).
所以对称中心为(k∈Z).
14.设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集.
解　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期
T＝，
即.因为ω>0，所以ω＝2.
所以f(x)＝tan(2x＋φ).
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝，k∈Z.
又0<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－所以函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z，无单调递减区间.
(3)由(1)知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－≤x≤，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
.(共45张PPT)
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第二课时　三角函数的周期性、奇
偶性、对称性
第四章　三角函数、解三角形 第5节　三角函数的图象与性质
内容索引
考点聚焦突破
01
02
课时对点精练
考点聚焦突破
01
例1 (1)函数f(x)＝cos x＋2cosx的一个周期为(　　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
D
易知y＝cos x，y＝2cosx的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f(x)的一个周期.
考点一　三角函数的周期性
(2)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　 )
A.y＝cos|2x| B.y＝|cos x|
C.y＝cos D.y＝tan
ABC
A中，y＝cos|2x|＝cos 2x的最小正周期为π;
B中，由图象(图略)知y＝|cos x|的最小正周期为π;
C中，y＝cos的最小正周期T＝＝π;
D中，y＝tan的最小正周期T＝.
感悟提升
周期的计算方法:(1)用定义验证函数的周期性;(2)利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解;
(3)利用函数图象求周期.
训练1 (1)下列函数是以π为最小正周期的函数是(　　)
A.y＝sin x B.y＝sin x＋2
C.y＝cos 2x＋2 D.y＝cos 3x－1
C
y＝sin x及y＝sin x＋2的最小正周期为2π，y＝cos 2x＋2的最小正周期为π，y＝cos 3x－1的最小正周期为，选C.
(2)已知f(x)＝2cos x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝______.
易知f(x)的最小正周期T＝6，则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
则f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.
3
例2 (1)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)－sin(x＋θ)是奇函数，则θ＝____________.
f(x)＝cos(x＋θ)－sin(x＋θ)＝2cos，
因为函数f(x)是奇函数，所以θ＋＋kπ，k∈Z，
解得θ＝＋kπ，k∈Z，因为－≤θ≤，所以θ＝.
考点二　三角函数的奇偶性
(2)判断下列函数的奇偶性:
①f(x)＝|sin x|＋cos x;
②f(x)＝.
①函数的定义域为R，
因为f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以此函数是偶函数.
②由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.
感悟提升
奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式.
训练2 (1)函数y＝2|sin x|＋1是(　　)
A.周期为2π的奇函数 B.周期为π的奇函数
C.周期为2π的偶函数 D.周期为π的偶函数
D
设f(x)＝y＝2|sin x|＋1，x∈R，
f(－x)＝2|sin(－x)|＋1＝2|－sin x|＋1＝2|sin x|＋1＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
因为y＝2sin x＋1的周期为2π，
所以y＝2|sin x|＋1的周期为π，故选D.
(2)(2026·宜春调研)已知函数f(x)＝sin xcos(2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝____________.
∵f(x)定义域为R，且为偶函数，
∴f＝f，得－cos(－π＋φ)＝cos(π＋φ)，得cos φ＝－cos φ，
得cos φ＝0.
∵φ∈[0，π]，∴φ＝.
当φ＝时，f(x)＝－sin xsin 2x为偶函数满足题意.
例3 (1)(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
B
由题意知a－，k∈Z，得a＝，k∈Z，
因为a>0，所以取k＝0，得a的最小值为.
考点三　三角函数的对称性
(2)(多选)已知函数f(x)＝sin＋1，则下列结论中正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期T＝π
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点
AC
∵f(x)＝sin＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，A正确;
∵sin＝0，∴函数f(x)的图象关于点对称，B错误;
又sin＝1，∴函数f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确;
令f(x)＝0得sin＝－1，∴2x－＝－＋2kπ，k∈Z，
∴x＝－＋kπ，k∈Z，又x∈[0，2π]，∴x＝，
∴f(x)在[0，2π]内有2个零点，D错误.
感悟提升
对称轴、对称中心的求法:对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可.
训练3 (1)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x＝2，一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　)
A.sinx B.cosx
C.sinx D.cosx
B
A中，T＝＝4，B中，T＝＝4，
C中，T＝＝8，D中，T＝＝8，排除C，D;
对于A，当x＝2时，sin＝0，故(2，0)是函数的一个对称中心，
排除A;
对于B，当x＝2时，cos＝－1，故x＝2是函数的一条对称轴.
(2)(多选)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则(　　)
A.ω＝2
B.函数f(x)为奇函数
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2＝2sin，
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
AC
所以T＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin，故A正确;
显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误;
对于C，f＝2sin＝2sin(－π)＝0，
所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确;
对于D，f＝2sin＝2sin＝－1，
所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故D错误.
课时对点精练
02
一、单选题
1.函数y＝sin的图象的一条对称轴是(　　)
A.x＝－ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
C
对于函数y＝sin，令2x＋＋kπ，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，故函数图象的对称轴为直线x＝，k∈Z，
令k＝0，可知函数图象的一条对称轴为直线x＝.
2.若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于(　　)
A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z)
C
若0在定义域内，由x＝0时，y＝0，得φ＝kπ(k∈Z);
若0不在定义域内，由x＝0时，tan φ无意义，得φ＝kπ＋(k∈Z).
综上，φ＝(k∈Z).
3.(2026·潍坊调研)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝|cos x|
C.y＝cos 2x D.y＝tan
A
对于A，y＝|sin x|的图象可由y＝sin x的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故其最小正周期为π，当x∈时，
y＝|sin x|＝sin x单调递增，A符合题意;
对于B，当x∈时，y＝|cos x|＝cos x单调递减，B不符合题意;
对于C，y＝cos 2x的最小正周期为π，在上单调递减，C不符合题意;
对于D，y＝tan的最小正周期为2π，D不符合题意.故选A.
4.已知函数f(x)＝tan，则(　　)
A.f(x)是奇函数 B.f(x)在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心 D.f(x)的最小正周期为π
C
函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误;
在区间上单调递增，B错误;
最小正周期为，D错误;
∵当x＝时，tan＝0，∴为其图象的一个对称中心，故选C.
5.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于 (　　)
A.直线x＝对称 B.直线x＝对称
C.点对称 D.点对称
B
因为函数f(x)的最小正周期为π，
由π＝得ω＝1，所以f(x)＝2sin.
f＝1，故直线x＝不是f(x)图象的对称轴，点也不是f(x)图象的对称中心;
f＝2，故直线x＝是f(x)图象的对称轴，点不是f(x)图象的对称中心.故选B.
6.函数f(x)＝2sin(ω>0)图象的相邻两对称轴之间的距离为，若该函数图象关于点(m，0)中心对称，则当m∈时，m的值为(　　)
A. B.
C. D.
D
因为函数f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为，
所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，
所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin.
令f(x)＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，
得x＝(k∈Z)，
又m∈，
当k＝1时，x＝，故m＝，故选D.
7.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与直线l:y＝1的三个相邻交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1＋x2＝，x2＋x3＝.当x∈时，|f(x)－t|<3恒成立，则t的取值范围为(　　)
A.(－∞，－2)∪[1，＋∞) B.(－1，2]
C.(－∞，－1]∪(2，＋∞) D.(－2，1]
B
由已知得f(x)图象的相邻的两条对称轴分别为直线x＝，
x＝，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin.
当x∈时，2x－∈，
f(x)∈(－1，2].
由|f(x)－t|<3，得－3所以－3＋t所以解得－1二、多选题
8.已知函数f(x)＝tan，下列结论正确的是(　　 )
A.函数f(x)的最小正周期为
B.函数f(x)的定义域为
C.函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z
D.函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z
ACD
对于A，函数f(x)＝tan的最小正周期T＝，所以A正确;
对于B，令2x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠，k∈Z，
即函数f(x)的定义域为，所以B错误;
对于C，令2x－，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
所以函数f(x)的图象关于点，k∈Z对称，所以C正确;
对于D，令kπ－<2x－解得故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以D正确.
9.已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点 D.f(x)的最大值为2
AD
f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确;
当∴f(x)在上单调递减，故B不正确;
f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，
由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确;
∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，
∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.
三、填空题
10.(2026·保定模拟)若函数f(x)＝tan 2x的最小正周期为T，且f(x)的图象关于点(m，0)(0T＝，由0则2m＝，即m＝.
11.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝________________________.
① x∈R，f＝f(x);
② x∈R，f(x)≤f恒成立.
－cos 4x(答案不唯一)
由 x∈R，f＝f(x)可知，函数的周期为，
由 x∈R，f(x)≤f恒成立可知，函数在x＝处取到最大值，
则f(x)＝－cos 4x满足题意，
一方面根据余弦函数的周期公式，T＝，满足 x∈R，f＝f(x)，
另一方面，f＝－cos π＝1＝f(x)max，满足 x∈R，f(x)≤f恒成立.
12.(2026·武汉质检)已知函数f(x)＝若满足f(x1)＝f(x2)＝…＝f(x9)(x1，x2，…，x9互不相等)，则x1＋x2＋…＋x9的取值范围是____________.
[0，2 025)
根据题意，作出函数f(x)＝的图象，不妨设x1所以x1＋x2＋…＋x8＝－4，另一方面x9＝4或0即x9∈[4，2 029)，所以x1＋x2＋…＋x9＝－4＋x9∈[0，2 025).
四、解答题
13.(2026·郑州质检)已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;
f(x)＝sin 2ωx＋＝sin，
因为f(x)最小正周期为π，所以π＝，解得ω＝1，
所以f(x)＝sin.令－＋2kπ<2x＋<＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标.
令2x＋＋kπ(k∈Z)，
解得x＝(k∈Z)，
所以对轴方程为x＝(k∈Z);
令2x＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝－(k∈Z).
所以对称中心为(k∈Z).
14.设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称.
(1)求f(x)的解析式;
由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝，
即.因为ω>0，所以ω＝2.所以f(x)＝tan(2x＋φ).
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝，k∈Z.又0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝tan.
(2)求f(x)的单调区间;
令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－所以函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z，无单调递减区间.
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集.
由(1)知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－≤x≤，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
.

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