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第6节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响. 3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝ ＝ ωx＋φ φ
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律:“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
2.(人教A必修一P239T2改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
答案　B
3.(苏教必修一P212练习T4改编)将函数f(x)＝3sin的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝　　　　.
答案　3sin
解析　g(x)＝f＝3sin＝3sin.
4.(北师大必修二P52B组T1改编)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)一个周期的图象如图所示，则A＝　　　　，ω＝　　　　，φ＝　　　　.
答案　4　　
解析　由图知A＝4，T＝＝4π，
故ω＝，
由×＋φ＝2kπ＋π，得φ＝2kπ＋，
又0<φ<2π，所以φ＝.
考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 已知f(x)＝2sin，
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表);
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到
解　(1)因为x∈[0，π]，
所以2x＋∈.
列表如下:
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象:
(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象.
感悟提升　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法:
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象;
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
训练1 (1)(多选)(2026·重庆诊断)要得到函数y＝cos x的图象，可将函数y＝sin的图象(　　)
A.先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B.先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
C.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
答案　(1)BC　(2)C
解析　(1)对于A，将y＝sin个单位长度，
可得y＝sin＝sin 2x，
再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin x，故A错误;
对于B，将y＝sin个单位长度，可得y＝sin＝cos 2x，
再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x，故B正确;
对于C，将y＝sin所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin，
再向左平移个单位长度得
y＝sin＝cos x，故C正确;
对于D，将y＝sin所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin，
再向左平移个单位长度得
y＝sin＝sin，故D错误.
(2)因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，
所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则(　　)
A.f(x)＝3sin＋1
B.f(x)＝2sin＋2
C.f(x)＝2sin＋2
D.f(x)＝2sin＋2
(2)(多选)(2026·西安模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)＝2sin B.f(x)＝2sin
C.f(x)＝－2cos D.f(x)＝－2cos
答案　(1)D　(2)BC
解析　(1)根据题中图象知
所以A＝2，b＝2，T＝4×＝π，
所以ω＝＝2，
又函数图象经过最高点，
代入函数f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2得
sin＝1，
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin＋2.
(2)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，
由题中函数图象得A＝2，最小正周期T＝4×，
解得ω＝2，又f＝2，
则2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，则φ＝，
所以f(x)＝2sin，B正确;
2sin≠2sin，A错误;
又2sin＝－2cos，
则f(x)＝－2cos，C正确;
2sin＝2sin＝－2cos，D错误.故选BC.
感悟提升　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则
A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
训练2 (1)(2026·银川调研)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝　　　　.
答案　(1)C　(2)－
解析　(1)根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，可得A＝2，T＝×，
解得ω＝2，再将点代入可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，
故y＝2sin.
(2)对比正弦函数y＝sin x的图象易知，
点为“五点(画图)法”中的第五点，
所以ω＋φ＝2kπ，k∈Z. ①
由题知|AB|＝xB－xA＝，
则
两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，
解得ω＝4.
代入①，得φ＝2kπ－，k∈Z，
所以f(π)＝sin＝sin＝－.
考点三　三角函数图象、性质的综合应用
角度1　图象与性质的综合应用
例3 (多选)(2026·湖州调研)已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的最大值为2，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是(　　)
A.ω＝2
B.函数f(x)的图象向左平移个单位后关于原点对称
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)在区间上单调递增
答案　ABD
解析　对于A，因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以该函数最小正周期为T＝2×＝π，
故ω＝＝2，A正确;
对于B，由函数f(x)的最大值为2可知A＝2，故f(x)＝2sin，
函数f(x)的图象向左平移个单位后，可得到函数y＝2sin＝2sin 2x的图象，该函数为奇函数，B正确;
对于C，f＝2sin≠0，
故函数f(x)的图象不关于点对称，C错误;
对于D，当0≤x≤时，－≤2x－≤，
故函数f(x)在区间上单调递增，D正确.
角度2　三角函数的零点(方程的根)问题
例4 已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是　　　　.
答案　[－1，1)∪{2}
解析　因为x∈，
所以2x－∈，
所以2sin∈[－1，2]，且当x＝时，f＝1，
所以其函数图象如图所示.
因为关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，即y＝f(x)与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t<1或t＝2.
感悟提升　1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
训练3 (1)(多选)(2026·石家庄模拟)已知函数f(x)＝sin＋b(0<ω<1)的图象关于点中心对称，将曲线y＝f(x)的横坐标缩短至原来的(纵坐标不变)，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A.f(x)＝sin＋1
B.g(x)＝sin
C.函数g(x)的图象关于直线x＝－对称
D.函数g(x)的图象在区间内单调递增
(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　.
答案　(1)AD　(2)(－2，－1)
解析　(1)由函数f(x)＝sin＋b关于点中心对称，
可得到b＝1;代入对称点坐标得f＝1，
得sin＝0，
解得ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－，k∈Z.
又∵0<ω<1，∴ω＝，
因此f(x)＝sin＋1，A正确;
将f(x)的横坐标缩短至原来的，
得到y＝sin＋1，
再向下平移1个单位，得到g(x)＝sin，故B错误;
g(x)＝sin的对称轴需满足x＋＋kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z，不存在整数k使x＝－，故C错误;
g(x)的导数为g'(x)＝cos，
当x∈时，
x＋∈，此时cos>0，
故g(x)在该区间内单调递增，故D正确.
(2)方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
所以题目条件可转化为＝sin t，
t∈有两个不同的实数根.
所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图所示.
由图象观察知，－1<<－，
故m的取值范围是(－2，－1).
三角函数中有关ω的范围问题
三角函数中ω的范围问题，主要涉及三角函数的单调性、对称性、最值与零点等.
(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围的方法:
①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0<ω≤.
②以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ] (k∈Z)，解得ω的取值范围.
(2)三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
(3)利用三角函数的最值与周期或其图象的对称性之间的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
(4)对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关;若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值.
一、三角函数的单调性与ω的关系
例1 (2026·长沙雅礼中学综测)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　法一　由题意得
则
又ω>0，所以
所以k＝0，则0<ω≤.
法二　取ω＝1，则f(x)＝sin，
令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，
故ω≠1，结合四个选项可知选B.
二、三角函数的对称性与ω的关系
例2 (2026·郑州质检)若定义在R上的函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象在区间[0，π]上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为　　　　.
答案　
解析　法一　由已知得，
f(x)＝sin，
由x∈[0，π]，得ωx＋∈，
若函数f(x)的图象在区间[0，π]上有5条对称轴，则≤ωπ＋<，
解得≤ω<.
法二　由已知得，f(x)＝sin，
令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，
得x＝，k∈Z，
依题意知，满足0≤≤π，
即0≤4k＋1≤4ω的整数k有5个，
所以k＝0，1，2，3，4，则4×4＋1≤4ω<4×5＋1，
故≤ω<.
三、三角函数的最值与ω的关系
例3 (2026·西安调研)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间(π，2π)内没有最小值，则ω的取值范围为　　　　.
答案　∪
解析　由x∈(π，2π)，则t＝ωx∈(ωπ，2ωπ)
且ω>0，
所以y＝sin t在(ωπ，2ωπ)上没有最小值，
若0<ωπ<2ωπ≤，可得0<ω≤，
若＋2kπ≤ωπ<2ωπ≤＋2kπ且k∈N，
可得＋2k≤ω≤＋k，k∈N，
所以≤ω≤，综上，ω∈∪.
四、三角函数的零点与ω的关系
例4 (2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.3
答案　C
解析　函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ω>0)，
设函数f(x)的最小正周期为T，
由f(x＋π)＝f(x)可得kT＝π(k∈N*)，
所以T＝(k∈N*)，即ω＝2k(k∈N*);
又函数f(x)在上存在零点，
且当x∈时，ωx＋∈，
所以≥π，即ω≥3，
又ω＝2k(k∈N*)，故ω＝4即为所求.
训练 (1)(2026·漳州模拟)已知f(x)＝sin，若f(x)在区间(0(2)(2026·清远模拟)已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，则实数ω的取值范围是　　　　.
(3)(2026·长春调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(0，π)恰有两个极大值点、三个对称中心，则ω的取值范围是　　　　.
(4)(2026·济南调研)已知函数f(x)＝3sin ωx在区间上的最小值为－3，则ω的取值范围为　　　　.
答案　(1)　(2)　
(3)　(4)(－∞，－3]∪[2，＋∞)
解析　(1)画出函数f(x)的部分图象如图所示，
因为a<2π，所以a＋<<.
因为f(x)在区间(0所以(2)因为f(x)＝sin πωx－cos πωx＝2sin(ω>0)，
且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－，
因为函数f(x)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，
所以≤πω－<3π，解得≤ω<.
(3)由题意，ω>0，x∈(0，π)时，
ωx＋∈，
因为f(x)＝sin在区间(0，π)恰有两个极大值点、三个对称中心，
故πω＋∈(3π，4π]，解得ω∈.
(4)由题意，f(x)＝3sin ωx在区间上的最小值为－3，
当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，
得－ω≤－，得ω≥2;
当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
得ω≤－，得ω≤－3.
则ω的取值范围为ω≤－3或ω≥2.
一、单选题
1.(2026·德阳模拟)已知函数f(x)＝cos，现将函数f(x)的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数g(x)，则g值为(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　B
解析　将函数f(x)的图象的横坐标变为原来的，可得g(x)＝cos，
所以g＝cos＝－，故选B.
2.(2026·临沂模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则φ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　B
解析　由题意g(x)＝f＝sin是偶函数，
从而
解得φ＝－.
3.若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的值可以为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题可得f(x＋m)＝sin的图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，
则2m＋＋2kπ，k∈Z，
解得m＝＋kπ，k∈Z，故m的值可以为.
4.(2026·岳阳质检)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x
答案　D
解析　依题意，f＝sin ＋acos a＝0，
解得a＝－，
所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin.
则f(2x)＝2sin，
其图象向左平移个单位长度得到
y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象.
5.(2026·天津和平区模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，要得到y＝sin x的图象，只需将函数f(x)的图象上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
C.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
D.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
答案　A
解析　由图可知，A＝，得T＝π，
又T＝，由ω>0解得ω＝2;
将点代入f(x)，得0＝sin，
点在函数单调减区间上，
则2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝2kπ＋，k∈Z，
又|φ|<π，所以φ＝，
得f(x)＝sin.
将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度，得y＝sin x的图象.
6.(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　把函数y＝cos个单位长度后得到函数
f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x的图象.
作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示.
观察图象知，共有3个交点.故选C.
7.已知函数f(x)＝3sin，g(x)＝3cos，则下列命题正确的是(　　)
A.函数g(x)的最小正周期为π
B.直线x＝π是f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在区间上单调递减
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象
答案　D
解析　对于A，g(x)＝3cos＝4π，A错误;
对于B，f(π)＝3sin＝3sin≠±3，
直线x＝π不是f(x)图象的对称轴，B错误;
对于C，当x∈时，
－<<，
而正弦函数y＝sin x在上单调递增，
因此函数f(x)在区间上单调递增，
C错误;
对于D，f＝3sin＝3sin＝3cos＝g(x)，D正确.
二、多选题
8.(2026·铁岭调研)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　)
A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
答案　AC
解析　正弦曲线y＝sin x上所有点先向右平移个单位长度，
得到函数y＝sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，
纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，故A正确，B错误;
先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，
得到函数f(x)＝sin的图象，故C正确，D错误.
9.(2026·汕尾模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.ω＝2
B.φ＝
C.y＝f是奇函数
D.当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
答案　ABD
解析　由图象可得，
故T＝π，故ω＝2，故A正确;
故f(x)＝sin(2x＋φ)，而f＝1，
故2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
故φ＝＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，故φ＝，
故B正确;
因为f＝sin＝cos 2x，
故f为偶函数，故C错误;
故f(x)＝sin，当x∈[3π，4π]时，
6π＋≤2x＋≤8π＋，
因为y＝sin t在上的零点为7π，8π.
故f(x)在[3π，4π]上有两个不同的零点，故D正确.
三、填空题
10.(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝　　　　.
答案　
解析　由题意得×，解得ω＝2，
易知x＝是f(x)的最小值点，
所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
于是f(x)＝sin＝sin，
f＝sin＝sin .
11.(2026·长沙调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条对称轴间距离的最小值为，且x＝为f(x)的一个零点，则不等式f(x)≥的解集为　　　　.
答案　，k∈Z
解析　因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)
，
所以T＝2×＝π，ω＝＝2.
所以f(x)＝sin(2x＋φ).
因为x＝为f(x)的一个零点，
所以sin＝0，
即sin＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝－，
所以f(x)＝sin，
由f(x)≥，得sin≥，
所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
不等式f(x)≥，k∈Z.
12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的取值集合为　　　　.
答案　
解析　根据所给图象，可得最小正周期
T＝4×＝π，
故π＝，所以ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外函数f(x)的图象经过点， 代入得2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
再由|φ|<，得φ＝－，
所以f(x)＝sin，
所以f＝sin，
当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
即x＝－＋kπ(k∈Z)时，
y＝f取得最小值.
此时x的取值集合为.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x.
(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象;
(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心.
解　(1)f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下:
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的大致图象如图.
(2)将函数f(x)＝2sin个单位长度后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图象.
由＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z，
故g(x)图象的对称中心为，k∈Z.
14.(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin＋2cos2(ω>0).若函数f(x)的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求ω的值，并求函数f(x)在的值域;
(2)若函数y＝f(x＋θ)－(其中θ∈)为奇函数，求θ的值.
解　(1)f(x)＝sin＋2cos2
＝sincos
＝2sin，
由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝π＝，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
由x∈，得2x＋∈，
故sin∈.
所以f(x)在.
(2)函数y＝f(x＋θ)－
＝2sin为奇函数，
则2θ＋＝kπ，k∈Z，
所以θ＝，k∈Z，
因为θ∈，所以k＝1，θ＝π.(共82张PPT)
数学
高考总
复
习
第四章　三角函数、解三角形
第6节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图
象及应用
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x ____ － _______________
ωx＋φ 0 _____________ π _______ 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
－
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
|φ|
||
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝____ f＝ ＝ __________ φ
ωx＋φ
常用结论与微点提醒
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律:“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)
×
√
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)
√
2.(人教A必修一P239T2改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
B
3.(苏教必修一P212练习T4改编)将函数f(x)＝3sin的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝__________________.
g(x)＝f＝3sin＝3sin.
3sin
4.(北师大必修二P52B组T1改编)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)一个周期的图象如图所示，
则A＝_____，ω＝______，φ＝______.
4
由图知A＝4，T＝＝4π，
故ω＝，
由×＋φ＝2kπ＋π，得φ＝2kπ＋，
又0<φ<2π，所以φ＝.
考点聚焦突破
02
例1 已知f(x)＝2sin，
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表);
考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下:
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象:
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到
将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象.
感悟提升
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法:
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象;
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
训练1 (1)(多选)(2026·重庆诊断)要得到函数y＝cos x的图象，可将函数y＝sin的图象(　　)
A.先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B.先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
C.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
BC
对于A，将y＝sin个单位长度，
可得y＝sin＝sin 2x，
再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin x，
故A错误;
对于B，将y＝sin个单位长度，
可得y＝sin＝cos 2x，
再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x，
故B正确;
对于C，将y＝sin所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝sin，
再向左平移个单位长度得y＝sin＝cos x，故C正确;
对于D，将y＝sin所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝sin，
再向左平移个单位长度得y＝sin＝sin，故D错误.
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
C
因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，
所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
例2 (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则(　　)
A.f(x)＝3sin＋1 B.f(x)＝2sin＋2
C.f(x)＝2sin＋2 D.f(x)＝2sin＋2
D
根据题中图象知
考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
所以A＝2，b＝2，T＝4×＝π，
所以ω＝＝2，
又函数图象经过最高点，
代入函数f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2得
sin＝1，
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin＋2.
(2)(多选)(2026·西安模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)＝2sin B.f(x)＝2sin
C.f(x)＝－2cos D.f(x)＝－2cos
BC
设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，
由题中函数图象得A＝2，最小正周期T＝4×，
解得ω＝2，又f＝2，
则2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，则φ＝，
所以f(x)＝2sin，B正确;
2sin≠2sin，A错误;
又2sin＝－2cos，
则f(x)＝－2cos，C正确;
2sin＝2sin＝－2cos，D错误.故选BC.
感悟提升
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则
A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
训练2 (1)(2026·银川调研)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
C
根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，
可得A＝2，T＝×，
解得ω＝2，再将点代入可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，故y＝2sin.
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝_______.
对比正弦函数y＝sin x的图象易知，
点为“五点(画图)法”中的第五点，
所以ω＋φ＝2kπ，k∈Z. ①
由题知|AB|＝xB－xA＝，则
－
两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，
解得ω＝4.
代入①，得φ＝2kπ－，k∈Z，
所以f(π)＝sin＝sin＝－.
角度1　图象与性质的综合应用
例3 (多选)(2026·湖州调研)已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的最大值为2，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是(　 　)
A.ω＝2
B.函数f(x)的图象向左平移个单位后关于原点对称
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)在区间上单调递增
ABD
考点三　三角函数图象、性质的综合应用
对于A，因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以该函数最小正周期为T＝2×＝π，故ω＝＝2，A正确;
对于B，由函数f(x)的最大值为2可知A＝2，故f(x)＝2sin，
函数f(x)的图象向左平移个单位后，可得到函数y＝2sin＝2sin 2x的图象，该函数为奇函数，B正确;
对于C，f＝2sin≠0，
故函数f(x)的图象不关于点对称，C错误;
对于D，当0≤x≤时，－≤2x－≤，
故函数f(x)在区间上单调递增，D正确.
角度2　三角函数的零点(方程的根)问题
例4 已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是________________.
[－1，1)∪{2}
因为x∈，
所以2x－∈，
所以2sin∈[－1，2]，且当x＝时，f＝1，
所以其函数图象如图所示.
因为关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，
即y＝f(x)与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t<1或t＝2.
感悟提升
1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
训练3 (1)(多选)(2026·石家庄模拟)已知函数f(x)＝sin＋b(0<ω<1)的图象关于点中心对称，将曲线y＝f(x)的横坐标缩短至原来的(纵坐标不变)，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A.f(x)＝sin＋1
B.g(x)＝sin
C.函数g(x)的图象关于直线x＝－对称
D.函数g(x)的图象在区间内单调递增
AD
由函数f(x)＝sin＋b关于点中心对称，
可得到b＝1;代入对称点坐标得f＝1，
得sin＝0，
解得ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－，k∈Z.
又∵0<ω<1，∴ω＝，
因此f(x)＝sin＋1，A正确;
将f(x)的横坐标缩短至原来的，得到y＝sin＋1，
再向下平移1个单位，得到g(x)＝sin，故B错误;
g(x)＝sin的对称轴需满足x＋＋kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z，不存在整数k使x＝－，故C错误;
g(x)的导数为g'(x)＝cos，
当x∈时，
x＋∈，此时cos>0，
故g(x)在该区间内单调递增，故D正确.
(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________.
(－2，－1)
方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝
cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
所以题目条件可转化为＝sin t，
t∈有两个不同的实数根.
所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图所示.
由图象观察知，－1<<－，
故m的取值范围是(－2，－1).
三角函数中ω的范围问题，主要涉及三角函数的单调性、对称性、最值与零点等.
(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围的方法:
①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0<ω≤.
②以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ] (k∈Z)，解得ω的取值范围.
三角函数中有关ω的范围问题 微点突破
(2)三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
(3)利用三角函数的最值与周期或其图象的对称性之间的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
(4)对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关;若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值.
一、三角函数的单调性与ω的关系
例1 (2026·长沙雅礼中学综测)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
B
法一　由题意得
则
又ω>0，所以所以k＝0，则0<ω≤.
法二　取ω＝1，则f(x)＝sin，
令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，
故ω≠1，结合四个选项可知选B.
二、三角函数的对称性与ω的关系
例2 (2026·郑州质检)若定义在R上的函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象在区
间[0，π]上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为____________.
法一　由已知得，
f(x)＝sin，
由x∈[0，π]，得ωx＋∈，
若函数f(x)的图象在区间[0，π]上有5条对称轴，则≤ωπ＋<，
解得≤ω<.
法二　由已知得，f(x)＝sin，
令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝，k∈Z，
依题意知，满足0≤≤π，
即0≤4k＋1≤4ω的整数k有5个，
所以k＝0，1，2，3，4，则4×4＋1≤4ω<4×5＋1，
故≤ω<.
三、三角函数的最值与ω的关系
例3 (2026·西安调研)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间(π，2π)内没有最小值，则ω
的取值范围为_____________________.
由x∈(π，2π)，则t＝ωx∈(ωπ，2ωπ)
且ω>0，
所以y＝sin t在(ωπ，2ωπ)上没有最小值，
若0<ωπ<2ωπ≤，可得0<ω≤，
若＋2kπ≤ωπ<2ωπ≤＋2kπ且k∈N，
可得＋2k≤ω≤＋k，k∈N，
所以≤ω≤，综上，ω∈∪.
四、三角函数的零点与ω的关系
例4 (2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.3
函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ω>0)，
设函数f(x)的最小正周期为T，
由f(x＋π)＝f(x)可得kT＝π(k∈N*)，
所以T＝(k∈N*)，即ω＝2k(k∈N*);
又函数f(x)在上存在零点，
且当x∈时，ωx＋∈，
所以≥π，即ω≥3，
又ω＝2k(k∈N*)，故ω＝4即为所求.
训练 (1)(2026·漳州模拟)已知f(x)＝sin，若f(x)在区间(0上不单调，则a的取值范围是____________.
画出函数f(x)的部分图象如图所示，
因为a<2π，所以a＋<<.
因为f(x)在区间(0所以(2)(2026·清远模拟)已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在[0，1]内恰有3个
最值点和3个零点，则实数ω的取值范围是____________.
因为f(x)＝sin πωx－cos πωx＝2sin(ω>0)，
且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－，
因为函数f(x)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，
所以≤πω－<3π，解得≤ω<.
(3)(2026·长春调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(0，π)恰有两个极大
值点、三个对称中心，则ω的取值范围是____________.
由题意，ω>0，x∈(0，π)时，
ωx＋∈，
因为f(x)＝sin在区间(0，π)恰有两个极大值点、三个对称中心，
故πω＋∈(3π，4π]，解得ω∈.
(4)(2026·济南调研)已知函数f(x)＝3sin ωx在区间上的最小值为－3，则ω的取值范围为_________________________.
由题意，f(x)＝3sin ωx在区间上的最小值为－3，
当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，得－ω≤－，得ω≥2;
当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，得ω≤－，得ω≤－3.
则ω的取值范围为ω≤－3或ω≥2.
课时对点精练
03
一、单选题
1.(2026·德阳模拟)已知函数f(x)＝cos，现将函数f(x)的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数g(x)，则g值为(　　)
A. B.－
C. D.－
B
将函数f(x)的图象的横坐标变为原来的，可得g(x)＝cos，
所以g＝cos＝－，故选B.
2.(2026·临沂模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则φ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
B
由题意g(x)＝f＝sin是偶函数，
从而
解得φ＝－.
3.若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的值可以为(　　)
A. B.
C. D.
D
由题可得f(x＋m)＝sin的图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，
则2m＋＋2kπ，k∈Z，
解得m＝＋kπ，k∈Z，故m的值可以为.
4.(2026·岳阳质检)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x
D
依题意，f＝sin ＋acos a＝0，解得a＝－，
所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin.
则f(2x)＝2sin，其图象向左平移个单位长度得到
y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象.
5.(2026·天津和平区模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，
ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，要得到y＝sin x
的图象，只需将函数f(x)的图象上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行
移动个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
C.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
D.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
A
由图可知，A＝，得T＝π，又T＝，由ω>0解得ω＝2;
将点代入f(x)，得0＝sin，
点在函数单调减区间上，则2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝，得f(x)＝sin.
将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度，得y＝sin x的图象.
6.(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
C
把函数y＝cos个单位长度后得到函数
f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x的图象.
作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示.
观察图象知，共有3个交点.故选C.
7.已知函数f(x)＝3sin，g(x)＝3cos，则下列命题正确的是(　　)
A.函数g(x)的最小正周期为π
B.直线x＝π是f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在区间上单调递减
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象
D
对于A，g(x)＝3cos＝4π，A错误;
对于B，f(π)＝3sin＝3sin≠±3，
直线x＝π不是f(x)图象的对称轴，B错误;
对于C，当x∈时，
－<<，
而正弦函数y＝sin x在上单调递增，
因此函数f(x)在区间上单调递增，
C错误;
对于D，f＝3sin＝3sin＝3cos＝g(x)，D正确.
二、多选题
8.(2026·铁岭调研)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　)
A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
AC
正弦曲线y＝sin x上所有点先向右平移个单位长度，
得到函数y＝sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，
纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，故A正确，B错误;
先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，
得到函数f(x)＝sin的图象，故C正确，D错误.
9.(2026·汕尾模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　 )
A.ω＝2
B.φ＝
C.y＝f是奇函数
D.当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
ABD
由图象可得，
故T＝π，故ω＝2，故A正确;
故f(x)＝sin(2x＋φ)，而f＝1，故2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
故φ＝＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，故φ＝，故B正确;
因为f＝sin＝cos 2x，
故f为偶函数，故C错误;
故f(x)＝sin，当x∈[3π，4π]时，6π＋≤2x＋≤8π＋，
因为y＝sin t在上的零点为7π，8π.
故f(x)在[3π，4π]上有两个不同的零点，故D正确.
三、填空题
10.(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝______.
由题意得×，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，
所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
于是f(x)＝sin＝sin，
f＝sin＝sin .
11.(2026·长沙调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条对称轴间距离的最小值为，且x＝为f(x)的一个零点，则不等式f(x)≥的解集为__________________________.
，k∈Z
因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，
所以T＝2×＝π，ω＝＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ).
因为x＝为f(x)的一个零点，所以sin＝0，
即sin＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝－，
所以f(x)＝sin，
由f(x)≥，得sin≥，
所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
不等式f(x)≥，k∈Z.
12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的取值集合为
___________________________.
根据所给图象，可得最小正周期
T＝4×＝π，故π＝，所以ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外函数f(x)的图象经过点，
代入得2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
再由|φ|<，得φ＝－，所以f(x)＝sin，
所以f＝sin，
当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值.
此时x的取值集合为.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x.
(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象;
f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下:
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的大致图象如图.
(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心.
将函数f(x)＝2sin个单位长度后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图象.
由＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z，
故g(x)图象的对称中心为，k∈Z.
14.(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin＋2cos2(ω>0).若函数f(x)的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求ω的值，并求函数f(x)在的值域;
f(x)＝sin＋2cos2
＝sincos
＝2sin，
由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝π＝，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
由x∈，得2x＋∈，
故sin∈.
所以f(x)在.
(2)若函数y＝f(x＋θ)－(其中θ∈)为奇函数，求θ的值.
函数y＝f(x＋θ)－＝2sin为奇函数，
则2θ＋＝kπ，k∈Z，
所以θ＝，k∈Z，
因为θ∈，所以k＝1，θ＝π.

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