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第7节　正弦定理和余弦定理
课标要求　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
1.正、余弦定理
在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝ b2＋c2－2bccos A; b2＝ c2＋a2－2cacos B; c2＝ a2＋b2－2abcos C ＝2R
常见 变形 cos A＝; cos B＝; cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C; (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝; (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C; (4)asin B＝bsin A， bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下:
A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C;
(2)cos(A＋B)＝－cos C;
(3)sin＝cos;
(4)cos＝sin.
2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A>sin B cos A1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形;当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形，仅确定A为锐角.
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A必修二P48T2(2)改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝　　　　.
答案　
解析　B＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理，得，得c＝.
3.(苏教必修二P93练习T1(3)改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于　　　　.
答案　
解析　在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，
由余弦定理的推论得
cos∠BAC＝
＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝.
4.(人教B必修四P5例3改编)已知△ABC中，b＝3，c＝6，B＝120°，则△ABC的面积为　　　　.
答案　
解析　由正弦定理，得
sin C＝.
由于b>c，故B>C，所以C＝45°，
所以A＝180°－120°－45°＝15°，
sin 15°＝sin(60°－45°)
＝××，
所以△ABC的面积为
S＝bcsin A＝×3×6×.
考点一　利用正弦定理解三角形
例1 (1)(2026·郑州模拟)在△ABC中，已知A＝30°，a＝，b＝2，则角C＝(　　)
A.45° B.105°
C.45°或135° D.15°或105°
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acos Bsin C＋2bcos Asin C＝c2，则△ABC外接圆的面积是(　　)
A. B.
C. D.π
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)由正弦定理得，即，
所以sin B＝，
故B＝45°或135°，
当B＝45°时，C＝180°－45°－30°＝105°，
当B＝135°时，C＝180°－135°－30°＝15°.
(2)设△ABC外接圆的半径为R，
因为2acos Bsin C＋2bcos Asin C＝c2，
由正弦定理，
得2sin Acos Bsin C＋2sin Bcos Asin C＝csin C，
因为sin C≠0，且A＋B＋C＝π，
所以2sin(A＋B)＝2sin C＝c，
所以＝2＝2R，解得R＝1，
所以△ABC外接圆的面积是πR2＝π.
感悟提升　1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题:一是已知两角和一角的对边，求其他边与角;二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
2.已知△ABC的两边a，b及角A，解三角形的一般步骤
(1)由正弦定理，得到sin B＝.
(2)当sin B>1时，无解;当sin B＝1，且a训练1 (1)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＋C＝60°，a＝3，则等于(　　)
A.2 B.
C. D.6
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件:①b＝3，c＝4，B＝30°;②a＝5，b＝4，A＝30°;③c＝2，b＝，B＝60°;④c＝12，b＝12，C＝120°.其中满足上述条件的三角形有唯一解的是(　　)
A.①④ B.①②
C.②③ D.③④
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)在△ABC中，B＋C＝60°，
所以A＝120°，
所以，
由正弦定理以及比例的性质可得
.
(2)对于①，因为b>csin B＝4×＝2，且b对于②，因为a>bsin A＝4×＝2，且a>b，所以三角形有唯一解;
对于③，sin C＝＝1，即C＝90°，所以三角形有唯一解;
对于④，c＝12，b＝12，C＝120°，则B＝C＝120°，则B＋C>180°，所以三角形无解.
所以满足上述条件的三角形有唯一解的是②③.
考点二　利用余弦定理解三角形
例2 (1)在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A＝cos(B＋C)，且a＝2，bc＝12，则△ABC的周长为　　　　.
(2)(2024·全国甲卷改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝　　　　.
答案　(1)8＋2　(2)
解析　(1)cos 2A＝－cos A＝2cos2A－1，
即2cos2A＋cos A－1＝0，
解得cos A＝－1(舍去)或cos A＝，
在△ABC中，根据余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，
得b2＋c2－bc＝28，
∴(b＋c)2－3bc＝28，(b＋c)2＝64，
∴b＋c＝8，∴a＋b＋c＝8＋2.
(2)由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，
因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，
所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，
又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.
感悟提升　利用余弦定理可解决以下两类三角形问题:一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角;二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
训练2 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　)
A.45° B.60°
C.120° D.135°
(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)
A.2 B.3
C. D.
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)由题意，得cos A＝，
因为0°(2)由正弦定理及bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，
又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.
又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，
得.
考点三　三角形的面积、周长
例3 (2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
解　(1)由余弦定理得cos C＝，
又0∴cos B＝sin C＝，
∴cos B＝.
又0(2)由(1)得A＝π－B－C＝，
由正弦定理，
得，∴a＝c.
∴△ABC的面积S＝acsin B
＝c2×＝3＋，
解得c＝2.
感悟提升　求三角形面积的方法
(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或两边之积，代入公式求面积.
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积.
结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
训练3 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A;
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
解　(1)由sin A＋cos A＝2，
得sin A＋cos A＝1，
所以sin＝1.
因为0所以A＋，故A＝.
(2)由bsin C＝csin 2B，
得bsin C＝2csin Bcos B，
由正弦定理，得bc＝2cbcos B，
所以cos B＝，
因为0C＝π－(A＋B)＝，
所以sin C＝sin＝sin
＝sincos＋cossin
＝××
＝.
由正弦定理得b＝＝2，
c＝，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3.
射影定理
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B;b＝ccos A＋acos C;c＝acos B＋bcos A.
典例 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)
A.a＝2b B.b＝2a
C.A＝2B D.B＝2A
答案　A
解析　法一　因为sin B(1＋2cos C)
＝2sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，
所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B，
即cos C(2sin B－sin A)＝0，
所以cos C＝0或2sin B＝sin A，
即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，
所以0°法二　由正弦和余弦定理得b
＝2a×＋c×，
所以2b2＝a2＋3b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2＝c2或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，
所以a2＋b2>c2，故2b＝a.
法三　由正弦定理及射影定理，
得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A
＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，
即2bcos C＝acos C，
又因为△ABC为锐角三角形，
所以cos C≠0，则2b＝a.
训练 (2026·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C＝b，则A＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　法一　由acos C＋asin C＝b及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Asin C＝cos Asin C，
因为sin C≠0，所以sin A＝cos A，tan A＝，由A∈(0，π)得A＝.
法二(射影定理)　由射影定理知b＝acos C＋ccos A，
所以acos C＋asin C＝acos C＋ccos A，
即asin C＝ccos A，
由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos A，
又sin C≠0，所以tan A＝，
由A∈(0，π)，得A＝.
一、单选题
1.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，C＝，则c＝(　　)
A. B.3
C. D.7
答案　A
解析　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2cos＝3，
所以c＝.
2.(2026·合肥模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，c＝7，则cos(A＋B)＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　C
解析　依题意，cos(A＋B)＝－cos C＝－＝－.
3.(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C.＋1 D.
答案　D
解析　在△ABC中，C＝30°，由正弦定理得，解得c＝，
sin A＝sin(45°＋60°)＝××，
所以△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×2××.
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sin C＝sin A，B＝，△ABC的面积为，则b等于(　　)
A.2 B.
C.4 D.2
答案　D
解析　因为3sin C＝sin A，
所以3c＝a，即a＝c，
又因为B＝且△ABC的面积为，
可得S△ABC＝acsin B＝×c2×，
解得c＝2，则a＝2，
则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝12＋4－2×2×2×＝4，所以b＝2.
5.(2026·海南调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cos C＝－，则＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为9sin2B＝4sin2A，所以.
根据正弦定理可得，所以b＝.
因为cos C＝－，
所以根据余弦定理cos C＝，
可得＝－，
化简可得c2＝，所以，
因为a，c为△ABC的边，a>0，c>0，
所以.
6.(2026·厦门联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若a＝1，C＝且4S＝cos B＋bcos A，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由4S＝cos B＋bcos A，得4×absin C＝cos B＋bcos A，
得b＝＋b·，
又a＝1，故b＝＝c，
所以sin B＝sin C＝，故sin B＝，
由c>b，得C>B，故B不可能是钝角，
因为B∈(0，π)，所以B＝.故选A.
7.(2026·郴州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝(　　)
A.2 B.4
C.8 D.4
答案　A
解析　根据三角形面积公式得S△ABC＝a·AD＝bcsin∠BAC.
将∠BAC＝，a＝4，AD＝×4×bcsin，2bc×，bc＝8.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，
即42＝b2＋c2－2bccos，即16＝b2＋c2－bc，
即16＝(b＋c)2－3bc，把bc＝8代入上式可得
16＝(b＋c)2－3×8，
即(b＋c)2＝16＋24＝40.
因为b，c为三角形的边，
所以b＋c＝＝2.故选A.
二、多选题
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有两个解的是(　　)
A.c＝54，b＝39，C＝120°
B.b＝11，a＝20，B＝30°
C.a＝2，b＝6，A＝30°
D.b＝26，c＝15，C＝30°
答案　BD
解析　对于A，sin B＝<1，
又b对于B，sin A＝<1，
又b对于C，sin B＝>1，则B不存在，无解，不合题意;
对于D，sin B＝<1，
又c9.(2026·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A.若acos A＝bcos B，则△ABC为直角三角形
B.若a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC为钝角三角形
C.若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B
D.若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形
答案　BC
解析　对于A，由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°，
即A＝B或A＋B＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误;
对于B，由于a＝7，b＝3，c＝5，
可得a>c>b，∴A是△ABC的最大内角，
∴cos A＝＝－<0，
又∵A∈(0，π)，所以A＝，
进而△ABC为钝角三角形，故B正确;
对于C，∵△ABC是锐角三角形，
∴0°A＋B>90°，
即90°>A>90°－B>0°，
∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，故C正确;
对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1，
即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0，∴cos C>0，即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误.
三、填空题
10.(2026·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，c2＝ab，则＝　　　　.
答案　或2
解析　由余弦定理有c2＝ab＝a2＋b2－ab，
所以＋1＝0，
解得或2.
11.(2026·绍兴模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A＝bsin C，则A＝　　　　.
答案　
解析　由题意及正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理的推论得cos A＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
12.(2026·太原调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－2bc＋c2＋，且sin A－cos A＝0，则△ABC的面积为　　　　.
答案　
解析　∵sin A－cos A＝0，可得tan A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝，
又∵a2＝b2－2bc＋c2＋，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴2bc－＝2bccos A，
∵A＝，解得bc＝1，S△ABC＝bcsin A＝.
四、解答题
13.(2026·汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0.
(1)求A;
(2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
解　(1)∵asin B－bcos A＝0，
∴sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又B∈(0，π)，∴sin B≠0，
∴sin A－cos A＝0，即tan A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵A＝，△ABC的面积为，
∴bcsin A＝，即bc＝4.
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即13＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
又bc＝4，∴b＋c＝5，
∴△ABC的周长为5＋.
14.(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝.
(1)求A的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(A＋2B)的值.
解　(1)因为asin B＝bcos A，
所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，
因为B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以sin A＝cos A，所以tan A＝.
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为c－2b＝1，a＝，cos A＝，
所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×，
化简得b2＋b－2＝0，
又b>0，故b＝1.
由c＝2b＋1，得c＝3.
(3)由正弦定理，得，
解得sin B＝.
因为b＝1<3＝c，
所以B为锐角，cos B＝，
sin 2B＝2sin Bcos B＝，
cos 2B＝2cos2B－1＝，
所以sin(A＋2B)＝sin＝sin cos 2B＋cos sin 2B＝××.(共62张PPT)
数学
高考总
复
习
第四章　三角函数、解三角形
第7节　正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.正、余弦定理
在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
b2＋c2－2bccos A
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝_________________________; b2＝__________________________; c2＝__________________________ ＝2R
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
定理 余弦定理 正弦定理
常见 变形 cos A＝; cos B＝; cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝_______，c＝__________;
(2)sin A＝，sin B＝______，sin C＝;
(3)a∶b∶c＝____________________;
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下:
A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 ______ ______ ______ ______ ______
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
常用结论与微点提醒
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C;
(2)cos(A＋B)＝－cos C;
(3)sin＝cos;
(4)cos＝sin.
2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A>sin B cos A(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形，仅确定A为锐角.
×
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形;当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
×
2.(人教A必修二P48T2(2)改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，
则边c＝__________.
B＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理，得，得c＝.
3.(苏教必修二P93练习T1(3)改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则
∠BAC等于____________.
在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，
由余弦定理的推论得
cos∠BAC＝＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝.
4.(人教B必修四P5例3改编)已知△ABC中，b＝3，c＝6，B＝120°，则
△ABC的面积为____________.
由正弦定理，得sin C＝.
由于b>c，故B>C，所以C＝45°，所以A＝180°－120°－45°＝15°，
sin 15°＝sin(60°－45°)＝××，
所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝×3×6×.
考点聚焦突破
02
例1 (1)(2026·郑州模拟)在△ABC中，已知A＝30°，a＝，b＝2，则角C＝(　　)
A.45° B.105°
C.45°或135° D.15°或105°
D
由正弦定理得，即，所以sin B＝，
故B＝45°或135°，
当B＝45°时，C＝180°－45°－30°＝105°，
当B＝135°时，C＝180°－135°－30°＝15°.
考点一　利用正弦定理解三角形
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acos Bsin C＋2bcos Asin C＝c2，则△ABC外接圆的面积是(　　)
A. B.
C. D.π
D
设△ABC外接圆的半径为R，因为2acos Bsin C＋2bcos Asin C＝c2，
由正弦定理，得2sin Acos Bsin C＋2sin Bcos Asin C＝csin C，
因为sin C≠0，且A＋B＋C＝π，所以2sin(A＋B)＝2sin C＝c，
所以＝2＝2R，解得R＝1，所以△ABC外接圆的面积是πR2＝π.
感悟提升
1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题:一是已知两角和一角的对边，求其他边与角;二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
2.已知△ABC的两边a，b及角A，解三角形的一般步骤
(1)由正弦定理，得到sin B＝.
(2)当sin B>1时，无解;当sin B＝1，且a训练1 (1)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＋C＝60°，a＝3，则等于(　　)
A.2 B.
C. D.6
B
在△ABC中，B＋C＝60°，
所以A＝120°，所以，
由正弦定理以及比例的性质可得.
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件:①b＝3，c＝4，B＝30°;②a＝5，b＝4，A＝30°;③c＝2，b＝，B＝60°;④c＝12，b＝12，C＝120°.其中满足上述条件的三角形有唯一解的是(　　)
A.①④ B.①②
C.②③ D.③④
对于①，因为b>csin B＝4×＝2，且b对于②，因为a>bsin A＝4×＝2，且a>b，所以三角形有唯一解;
对于③，sin C＝＝1，即C＝90°，所以三角形有唯一解;
C
对于④，c＝12，b＝12，C＝120°，则B＝C＝120°，则B＋C>180°，
所以三角形无解.
所以满足上述条件的三角形有唯一解的是②③.
例2 (1)在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A＝cos(B＋C)，且a＝2，bc＝12，则△ABC的周长为____________.
8＋2
cos 2A＝－cos A＝2cos2A－1，即2cos2A＋cos A－1＝0，
解得cos A＝－1(舍去)或cos A＝，
在△ABC中，根据余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝28，
∴(b＋c)2－3bc＝28，(b＋c)2＝64，
∴b＋c＝8，∴a＋b＋c＝8＋2.
考点二　利用余弦定理解三角形
(2)(2024·全国甲卷改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝________.
由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，
所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，
又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.
感悟提升
利用余弦定理可解决以下两类三角形问题:一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角;二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
训练2 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　)
A.45° B.60°
C.120° D.135°
A
由题意，得cos A＝，
因为0°(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)
A.2 B.3
C. D.
由正弦定理及bsin 2A＝asin B，得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，
又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.
又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，
得.
D
例3 (2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B;
考点三　三角形的面积、周长
由余弦定理得cos C＝，
又0∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝.
又0(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
由(1)得A＝π－B－C＝，
由正弦定理，
得，∴a＝c.
∴△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋，
解得c＝2.
感悟提升
求三角形面积的方法
(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或两边之积，代入公式求面积.
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积.
结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
训练3 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A;
由sin A＋cos A＝2，
得sin A＋cos A＝1，
所以sin＝1.
因为0所以A＋，故A＝.
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
由bsin C＝csin 2B，得bsin C＝2csin Bcos B，
由正弦定理，得bc＝2cbcos B，
所以cos B＝，
因为0C＝π－(A＋B)＝，
所以sin C＝sin＝sin＝sincos＋cossin
＝××＝.
由正弦定理得b＝＝2，
c＝，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3.
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B;b＝ccos A＋acos C;c＝acos B＋bcos A.
射影定理 拓展视野
典例 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)
A.a＝2b B.b＝2a
C.A＝2B D.B＝2A
A
法一　因为sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，
所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B，
即cos C(2sin B－sin A)＝0，
所以cos C＝0或2sin B＝sin A，即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，
所以0°法二　由正弦和余弦定理得b＝2a×＋c×，
所以2b2＝a2＋3b2－c2，即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝0，所以a2＋b2＝c2或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，
所以a2＋b2>c2，故2b＝a.
法三　由正弦定理及射影定理，
得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A
＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，
即2bcos C＝acos C，
又因为△ABC为锐角三角形，
所以cos C≠0，则2b＝a.
训练 (2026·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C＝b，则A＝(　　)
A. B.
C. D.
A
法一　由acos C＋asin C＝b及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Asin C＝cos Asin C，
因为sin C≠0，所以sin A＝cos A，tan A＝，由A∈(0，π)得A＝.
法二(射影定理)　由射影定理知b＝acos C＋ccos A，
所以acos C＋asin C＝acos C＋ccos A，
即asin C＝ccos A，
由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos A，
又sin C≠0，所以tan A＝，
由A∈(0，π)，得A＝.
课时对点精练
03
一、单选题
1.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，C＝，则c＝(　　)
A. B.3
C. D.7
A
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2cos＝3，
所以c＝.
2.(2026·合肥模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，c＝7，则cos(A＋B)＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
C
依题意，cos(A＋B)＝－cos C＝－＝－.
3.(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C.＋1 D.
D
在△ABC中，C＝30°，由正弦定理得，解得c＝，
sin A＝sin(45°＋60°)＝××，
所以△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×2××.
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sin C＝sin A，B＝，△ABC的面积为，则b等于(　　)
A.2 B.
C.4 D.2
D
因为3sin C＝sin A，所以3c＝a，即a＝c，
又因为B＝且△ABC的面积为，
可得S△ABC＝acsin B＝×c2×，解得c＝2，则a＝2，
则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝12＋4－2×2×2×＝4，
所以b＝2.
5.(2026·海南调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cos C＝－，则＝(　　)
A. B.
C. D.
D
因为9sin2B＝4sin2A，所以.
根据正弦定理可得，所以b＝.
因为cos C＝－，
所以根据余弦定理cos C＝，
可得＝－，
化简可得c2＝，所以，
因为a，c为△ABC的边，a>0，c>0，
所以.
6.(2026·厦门联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若a＝1，C＝且4S＝cos B＋bcos A，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
A
由4S＝cos B＋bcos A，得4×absin C＝cos B＋bcos A，
得b＝＋b·，又a＝1，故b＝＝c，
所以sin B＝sin C＝，故sin B＝，
由c>b，得C>B，故B不可能是钝角，因为B∈(0，π)，所以B＝.故选A.
7.(2026·郴州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝(　　)
A.2 B.4
C.8 D.4
A
根据三角形面积公式得S△ABC＝a·AD＝bcsin∠BAC.
将∠BAC＝，a＝4，AD＝×4×bcsin，
2bc×，bc＝8.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，
即42＝b2＋c2－2bccos，即16＝b2＋c2－bc，
即16＝(b＋c)2－3bc，把bc＝8代入上式可得
16＝(b＋c)2－3×8，
即(b＋c)2＝16＋24＝40.
因为b，c为三角形的边，
所以b＋c＝＝2.故选A.
二、多选题
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有两个解的是(　　)
A.c＝54，b＝39，C＝120° B.b＝11，a＝20，B＝30°
C.a＝2，b＝6，A＝30° D.b＝26，c＝15，C＝30°
BD
对于A，sin B＝<1，
又b对于B，sin A＝<1，
又b对于C，sin B＝>1，则B不存在，无解，不合题意;
对于D，sin B＝<1，
又c9.(2026·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A.若acos A＝bcos B，则△ABC为直角三角形
B.若a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC为钝角三角形
C.若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B
D.若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形
BC
对于A，由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°，
即A＝B或A＋B＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误;
对于B，由于a＝7，b＝3，c＝5，
可得a>c>b，∴A是△ABC的最大内角，
∴cos A＝＝－<0，
又∵A∈(0，π)，所以A＝，
进而△ABC为钝角三角形，故B正确;
对于C，∵△ABC是锐角三角形，
∴0°A＋B>90°，
即90°>A>90°－B>0°，
∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，故C正确;
对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1，
即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0，∴cos C>0，即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误.
三、填空题
10.(2026·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，c2＝ab，则＝____________.
或2
由余弦定理有c2＝ab＝a2＋b2－ab，
所以＋1＝0，
解得或2.
11.(2026·绍兴模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A＝bsin C，则A＝_______.
由题意及正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理的推论得cos A＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
12.(2026·太原调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－2bc＋c2＋，且sin A－cos A＝0，则△ABC的面积为________.
∵sin A－cos A＝0，可得tan A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝，
又∵a2＝b2－2bc＋c2＋，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴2bc－＝2bccos A，
∵A＝，解得bc＝1，S△ABC＝bcsin A＝.
四、解答题
13.(2026·汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0.
(1)求A;
∵asin B－bcos A＝0，
∴sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又B∈(0，π)，∴sin B≠0，
∴sin A－cos A＝0，即tan A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
∵A＝，△ABC的面积为，
∴bcsin A＝，即bc＝4.
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即13＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
又bc＝4，∴b＋c＝5，
∴△ABC的周长为5＋.
14.(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝.
(1)求A的值;
因为asin B＝bcos A，
所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，
因为B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以sin A＝cos A，所以tan A＝.
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)求c的值;
因为c－2b＝1，a＝，cos A＝，
所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×，
化简得b2＋b－2＝0，
又b>0，故b＝1.
由c＝2b＋1，得c＝3.
(3)求sin(A＋2B)的值.
由正弦定理，得，解得sin B＝.
因为b＝1<3＝c，所以B为锐角，cos B＝，
sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝2cos2B－1＝，
所以sin(A＋2B)＝sin＝sin cos 2B＋cos sin 2B
＝××.

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