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第9节　解三角形中的最值(范围)问题
题型分析　解三角形中的最值(范围)问题主要涉及三角形的面积、周长、边长、角或其三角函数值等的最值或范围，解决的方法一般利用基本不等式、三角函数的性质或函数导数等求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　利用基本不等式求最值(范围)
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足.
(1)求角A;
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
解　(1)由，
结合正弦定理，得，
所以tan A＝，
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
所以S△ABC＝bcsin A≤×4×，
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为.
感悟提升　在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤，即可求得b＋c的最值.
训练1 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A.
(1)求角A的大小;
(2)若a＝，求△ABC周长的最大值.
解　(1)由正弦定理，
得b2＋c2＋bc＝a2，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得cos A＝＝－，
又0(2)由a＝和(1)可知b2＋c2＋bc＝3，
则3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－
＝，
得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2，
所以a＋b＋c≤2＋，当且仅当b＝c＝1时取得等号，
所以△ABC周长的最大值为2＋.
题型二　利用三角函数的性质求最值(范围)
例2 (2026·南京模拟节选)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°.
若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值.
解　在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，
S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×××sin θ＝sin θ，
由＝sin，得AC＝2sin，
在△ACD中，∠ACD＝90°－∠ACB＝90°－，
又CD＝，
所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝·2sin··sincos θ，
所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝sin θ＋cos θ＝＋2sin(θ－60°)，
因为120°≤θ<180°，所以60°≤θ－60°<120°，
所以当θ－60°＝90°，即θ＝150°时，Smax＝＋2，
故四边形ABCD面积的最大值为＋2.
感悟提升　三角形中的最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制条件，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.
训练2 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin A－a＝0.
(1)求B;
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围.
解　(1)由2bsin A＝a，结合正弦定理可得
2sin Bsin A＝sin A，
∵sin A≠0，∴sin B＝，
又△ABC为锐角三角形，故B＝.
(2)cos A＋cos B＋cos C＝cos A＋＋cos
＝cos A－cos A＋sin A＋
＝sin A＋cos A＋
＝sin.
由则sin∈，
sin∈.
即cos A＋cos B＋cos C的取值范围是.
题型三　利用函数、导数求最值(范围)
例3 在锐角△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝1，A＝2B，a2－b2＝bc，求2b＋c的取值范围.
解　因为A＝2B，所以C＝π－3B，
因为a＝1，所以由正弦定理可得，
，即，
因为B∈(0，π)，sin B>0，所以b＝，
又a2－b2＝bc，所以b2＋bc＝1，即b＋c＝，
所以2b＋c＝b＋c＋b＝＋b＝2cos B＋，
因为△ABC为锐角三角形，
所以则记t＝2cos B，则2b＋c＝t＋，t∈().
令f(t)＝t＋，则f'(t)＝1－，
由于t∈()，所以f'(t)>0，
则f(t)在()上单调递增，
故f(t)∈，
即2b＋c的取值范围为.
感悟提升　解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解;二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
训练3 已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若A＝，求B;
(2)若asin C＝1，求的最大值.
解　(1)由题意知，
所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B，
所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C
＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B，
所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B，
因为A＝，所以sin Bcos C＝sin Ccos B，
所以tan B＝tan C，
因为B，C∈，所以B＝C，
由A＝，所以B＝.
(2)由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c，
因为asin C＝1，所以＝sin C，
由正弦定理得asin C＝csin A＝bsin A＝1，
所以＝sin A，
因为A＝π－B－C＝π－2C，
所以＝sin A＝sin 2C，
所以＝sin2C＋sin22C＝＋(1－cos22C)＝－cos22C－cos 2C＋，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有所以－1由二次函数的性质可得，当cos 2C＝－时，
，
所以.
1.(2026·宁波质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sin B＝sin A＋cos Atan C.
(1)求C;
(2)若2(a＋b)＝c2，求△ABC的边c的最大值.
解　(1)由2sin B＝sin A＋cos Atan C，
得2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C，
即2sin Bcos C＝sin(A＋C)，
又A＋B＋C＝π，则sin(A＋C)＝sin B≠0，
于是cos C＝，又0(2)由(1)知C＝，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
而2(a＋b)＝c2，则2(a＋b)＝(a＋b)2－3ab，
因此(a＋b)2－2(a＋b)＝3ab≤(a＋b)2，
解得a＋b≤8，
当且仅当a＝b时取等号，则c＝≤4，
所以△ABC的边c的最大值为4.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求B;
(2)已知b＝，求a＋2c的最大值.
解　(1)∵(2a－c)cos B－bcos C＝0，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B－
sin Bcos C＝0，
2cos Bsin A－cos Bsin C－sin Bcos C＝0，
即2cos Bsin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴2cos Bsin A＝sin(B＋C)＝sin A，
∵A∈(0，π)，
∴sin A≠0，
∴cos B＝，
∵0(2)由正弦定理，
得＝2，
∴a＋2c＝sin A＋4sin C＝sin A＋4sin＝sin A＋2cos A＋2sin A＝3sin A＋2cos A＝sin(A＋φ)，
又∵0∴sin(A＋φ)的最大值为，
∴a＋2c的最大值为.
3.(2026·茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B－bcos A－a＋c＝0.
(1)求B的值;
(2)若M为AC的中点，且a＋c＝4，求BM的最小值.
解　(1)由正弦定理及acos B－bcos A－a＋c＝0，
得sin Acos B－sin Bcos A－sin A＋sin C＝0，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴2sin Acos B－sin A＝0，
又A∈(0，π)，∴sin A≠0，
∴2cos B－1＝0，即cos B＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)由M为AC的中点，得，
而a＋c＝4，
∴
＝·
＝c2＋a2＋accos∠ABC
＝[(a＋c)2－ac]
＝(16－ac)＝4－ac≥4－＝3，
当且仅当
即a＝c＝2时等号成立，
∴BM的最小值为.
4.(2026·东北三省三校联合模拟)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝cos B＋b＝c.
(1)求A;
(2)求的取值范围.
解　(1)由题意得acos B＋b＝c，
由正弦定理得sin Acos B＋sin B＝sin C，
因为sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin Acos B＋sin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin B＝cos Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，则cos A＝，
由A∈(0，π)，得A＝.
(2)由A＋B＋C＝π，A＝得B＝π－C，
因为△ABC是锐角三角形，
所以
所以，
又tan C>，所以0<<.
所以.
，设＝t，t∈，
则f(t)＝2t＋，
易知f(t)在上单调递减，在上单调递增，
又f＝3，f＝2，f(2)＝，
所以f(t)∈，
即.(共32张PPT)
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第四章　三角函数、解三角形
第9节　解三角形中的最值(范围)问题
解三角形中的最值(范围)问题主要涉及三角形的面积、周长、边长、角或其三角函数值等的最值或范围，解决的方法一般利用基本不等式、三角函数的性质或函数导数等求解.
题型分析
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足.
(1)求角A;
题型一　利用基本不等式求最值(范围)
由，
结合正弦定理，得，
所以tan A＝，
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
所以S△ABC＝bcsin A≤×4×，
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为.
感悟提升
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤，即可求得b＋c的最值.
训练1 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A.
(1)求角A的大小;
由正弦定理，得b2＋c2＋bc＝a2，
即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cos A＝＝－，
又0(2)若a＝，求△ABC周长的最大值.
由a＝和(1)可知b2＋c2＋bc＝3，
则3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－＝，
得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2，
所以a＋b＋c≤2＋，当且仅当b＝c＝1时取得等号，
所以△ABC周长的最大值为2＋.
例2 (2026·南京模拟节选)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°.
若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值.
题型二　利用三角函数的性质求最值(范围)
在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，
S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×××sin θ＝sin θ，
由＝sin，得AC＝2sin，
在△ACD中，∠ACD＝90°－∠ACB＝90°－，又CD＝，
所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝·2sin··sincos θ，
所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝sin θ＋cos θ
＝＋2sin(θ－60°)，
因为120°≤θ<180°，所以60°≤θ－60°<120°，
所以当θ－60°＝90°，即θ＝150°时，Smax＝＋2，
故四边形ABCD面积的最大值为＋2.
感悟提升
三角形中的最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制条件，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.
训练2 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin A－a＝0.
(1)求B;
由2bsin A＝a，结合正弦定理可得
2sin Bsin A＝sin A，
∵sin A≠0，∴sin B＝，
又△ABC为锐角三角形，故B＝.
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围.
cos A＋cos B＋cos C＝cos A＋＋cos
＝cos A－cos A＋sin A＋
＝sin A＋cos A＋
＝sin.
由则sin∈，
sin∈.
即cos A＋cos B＋cos C的取值范围是.
例3 在锐角△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝1，A＝2B，a2－b2＝bc，求2b＋c的取值范围.
题型三　利用函数、导数求最值(范围)
因为A＝2B，所以C＝π－3B，
因为a＝1，所以由正弦定理可得，，即，
因为B∈(0，π)，sin B>0，所以b＝，
又a2－b2＝bc，所以b2＋bc＝1，即b＋c＝，
所以2b＋c＝b＋c＋b＝＋b＝2cos B＋，
因为△ABC为锐角三角形，
所以记t＝2cos B，则2b＋c＝t＋，t∈().
令f(t)＝t＋，则f'(t)＝1－，由于t∈()，所以f'(t)>0，
则f(t)在()上单调递增，故f(t)∈，
即2b＋c的取值范围为.
感悟提升
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解;二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
训练3 已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若A＝，求B;
由题意知，
所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B，
所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C
＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B，
所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B，
因为A＝，所以sin Bcos C＝sin Ccos B，
所以tan B＝tan C，
因为B，C∈，所以B＝C，
由A＝，所以B＝.
(2)若asin C＝1，求的最大值.
由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c，
因为asin C＝1，所以＝sin C，
由正弦定理得asin C＝csin A＝bsin A＝1，
所以＝sin A，
因为A＝π－B－C＝π－2C，
所以＝sin A＝sin 2C，
所以＝sin2C＋sin22C＝＋(1－cos22C)
＝－cos22C－cos 2C＋，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有所以－1由二次函数的性质可得，当cos 2C＝－时，
，
所以.
课时对点精练
1.(2026·宁波质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sin B＝sin A＋cos Atan C.
(1)求C;
由2sin B＝sin A＋cos Atan C，
得2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C，
即2sin Bcos C＝sin(A＋C)，
又A＋B＋C＝π，则sin(A＋C)＝sin B≠0，
于是cos C＝，又0由(1)知C＝，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
而2(a＋b)＝c2，则2(a＋b)＝(a＋b)2－3ab，
因此(a＋b)2－2(a＋b)＝3ab≤(a＋b)2，
解得a＋b≤8，
当且仅当a＝b时取等号，则c＝≤4，
所以△ABC的边c的最大值为4.
(2)若2(a＋b)＝c2，求△ABC的边c的最大值.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求B;
∵(2a－c)cos B－bcos C＝0，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B－sin Bcos C＝0，
2cos Bsin A－cos Bsin C－sin Bcos C＝0，
即2cos Bsin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴2cos Bsin A＝sin(B＋C)＝sin A，
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝，∵0(2)已知b＝，求a＋2c的最大值.
由正弦定理，得＝2，
∴a＋2c＝sin A＋4sin C＝sin A＋4sin＝sin A＋2cos A＋2sin A＝3sin A＋2cos A＝sin(A＋φ)，
又∵0∴sin(A＋φ)的最大值为，
∴a＋2c的最大值为.
3.(2026·茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B－bcos A－a＋c＝0.
(1)求B的值;
由正弦定理及acos B－bcos A－a＋c＝0，
得sin Acos B－sin Bcos A－sin A＋sin C＝0，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴2sin Acos B－sin A＝0，
又A∈(0，π)，∴sin A≠0，
∴2cos B－1＝0，即cos B＝，又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)若M为AC的中点，且a＋c＝4，求BM的最小值.
由M为AC的中点，得，
而a＋c＝4，
∴＝·
＝c2＋a2＋accos∠ABC＝[(a＋c)2－ac]
＝(16－ac)＝4－ac≥4－＝3，
当且仅当
即a＝c＝2时等号成立，
∴BM的最小值为.
4.(2026·东北三省三校联合模拟)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝cos B＋b＝c.
(1)求A;
由题意得acos B＋b＝c，由正弦定理得sin Acos B＋sin B＝sin C，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin Acos B＋sin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin B＝cos Asin B，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，则cos A＝，
由A∈(0，π)，得A＝.
(2)求的取值范围.
由A＋B＋C＝π，A＝得B＝π－C，
因为△ABC是锐角三角形，
所以
所以又tan C>，所以0<<.所以.
，设＝t，t∈，则f(t)＝2t＋，
易知f(t)在上单调递减，在上单调递增，
又f＝3，f＝2，f(2)＝，所以f(t)∈，
即.

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