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素养提升1　追及相遇问题
第一章　运动的描述　匀变速直线运动
1.追及相遇问题的分析思路
(1)追及问题：若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度；若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
(2)相遇问题：同向运动的两物体追及即相遇；相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
2.追及相遇问题的基本物理模型
如图所示，以甲追乙为例。
(1)两者间距离变化与速度大小的关系
①无论v甲增大、减小还是不变，只要v甲＜v乙，甲、乙间的距离就不断增大。
②若v甲=v乙，甲、乙间的距离保持不变。
③无论v甲增大、减小还是不变，只要v甲＞v乙，甲、乙间的距离就不断减小。
(2)解答追及相遇问题的三种方法
情境 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图
函数 判断法 设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于两物体之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx=0时，表示两物体相遇
①若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次
②若Δ=0，即有一个解，说明刚好追上或相遇
③若Δ＜0，无解，说明追不上或不能相遇
当t=－时，函数有极值，代表两物体间距离有最大值或最小值
图像 分析法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题
类型一　情境分析法
情境分析法的基本思路
例1 汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0=7 m处、以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，汽车B刹车的加速度大小a=2 m/s2。从此刻开始计时。求：
(1)汽车A追上汽车B前，汽车A、B间的最远距离。
16 m
【解析】 汽车A和汽车B的运动过程如图所示。
当A、B两汽车速度相等时，两汽车间的距离最远，即v=vB－at=vA
解得t=3 s
此时汽车A的位移xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt－at2=21 m
故汽车A追上汽车B前，汽车A、B间的最远距离Δxmax=xB＋x0－xA=16 m
(2)从计时开始到汽车A恰好追上汽车B所经过的时间。
8 s
【解析】汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1==5 s
此时汽车B运动的位移x'B==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移
x'A=vAt1=20 m
此时汽车A、B相距Δx=x'B＋x0－x'A=12 m
汽车A需再运动的时间t2==3 s
故汽车A追上汽车B所用时间t总=t1＋t2=8 s
　类型二　图像分析法
图像分析法是指将两个物体的运动图像画在同一坐标系中，然后根据图像分析求解相关问题。
(1)若用位移—时间关系图像求解，应分别作出两个物体的位移—时间关系图像，若两个物体的位移—时间关系图像相交，则说明两个物体相遇。
(2)若用速度—时间关系图像求解，则注意比较图线与时间轴包围图形的面积。
例2 (多选)随着自动驾驶技术不断成熟，北京、上海等城市某些特定地区相继出现无人驾驶网约车，给市民出行带来方便。两辆无人驾驶汽车在某一水平直线道路上同时同地出发运动的v－t图像如图所示，其中乙车做匀加速直线运动，甲车经匀加速、匀速、匀减速、静止、匀加速等运动过程。两车能安全错车，且均可看作质点。对两车在0~16 s的运动过程，下列说法正确的是(　　)
A.乙车经8 s追上甲车
B.乙车经4 s追上甲车
C.乙车追上甲车前两车最远相距20 m
D.乙车追上甲车前两车最远相距50 m
BC
【解析】 在v－t图像中，图线与时间轴所围几何图形的面积表示位移，根据图像可知，0~8 s内甲车的位移大于乙车的位移，即乙车经8 s没有追上甲车，故A错误；乙车的加速度 a= m/s2= m/s2，乙车在t1=12 s 时的速度v1=at1=×12 m/s=15 m/s，0~12 s内乙车的位移x1=t1=90 m，乙车在t2=10 s时的速度v2=at2=×10 m/s=12.5 m/s，0~10 s内乙车的位移x2= t2=62.5 m，甲车在0~12 s内的位移与0~10 s内的位移相等，均为x3=
m=70 m，由于x2＜x3＜x1，表明甲、乙两车相遇在10~12 s之间的某时刻，设为t3，则有x3=a，解得t3=4 s，即乙车经4 s追上甲车，故B正确；乙车追上甲车前，当两者速度相等，即8 s时刻v= 10 m/s 时，两车相距最远，由于v－t图像中图线与时间轴所围几何图形的面积表示位移，根据图像可知，最远距离为xmax= m=20 m，故C正确，D错误。
类型三　数学函数法
在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解。设两物体在t时刻相遇，根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0。
(1)若f(t)=0有正实数解，说明两物体能相遇。
(2)若f(t)=0无正实数解，说明两物体不能相遇。
例3 一汽车在直线公路上以54 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现在其正前方14 m处有一自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车。
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
5 m/s2　
【解析】设汽车的加速度大小为a，汽车的初速度v汽=54 km/h=15 m/s，两车初始距离d=14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d'=d－(v汽－v自)t'=10 m
从汽车刹车开始计时，自行车的位移为
x自=v自t
汽车的位移为x汽=v汽t－at2
假设汽车能追上自行车，此时有
x汽=x自＋d'
代入数据整理得at2－10t＋10=0
要保证两车不相撞，即此方程最多只有一个解，即得Δ=102－20a≤0
解得a≥5 m/s2
则汽车的加速度至少为5 m/s2。
(2)若汽车刹车时的加速度只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
1 m/s2
【解析】(2)设自行车的加速度为a'，汽车追上自行车时有x'汽=x'自＋d'
其中x'汽=v汽t－at2，x'自=v自t＋a't2
整理得t2－10t＋10=0
要保证两车不相撞，即此方程最多只有一个解，即得Δ=102－20a'－80≤0
解得a'≥1 m/s2
则自行车的加速度至少为1 m/s2。
1.甲、乙两人同时从泳池的两端出发，在泳池里训练，甲、乙两人的速度—时间图像分别如图(a)(b)所示，不计转向的时间，两人的运动均可视为质点的直线运动。下列说法正确的是(　　)
C
A.甲、乙两人第一次相遇时处于泳池的正中间处
B.甲、乙两人前两次相遇的时间间隔为20 s
C.在0~50 s时间内，甲、乙两人共相遇了2次
D.甲、乙两人第一次在泳池的两端处相遇的时刻为t=75 s
【解析】 根据v－t图像可画出x－t图像，则甲、乙两人的x－t图像如图所示。根据x－t图像的交点表示相遇可知，甲、乙两人第一次相遇的时刻t1= s≈11.1 s，所以甲、乙两人第一次相遇的位置不在泳池的正中间处，故A错误；甲、乙两人第二次相遇的时刻t2=
s≈33.3 s，甲、乙两人前两次相遇的时间间隔Δt=t2－t1=22.2 s，故B错误；根据x－t图像的交点表示相遇可知，在0~50 s时间内甲、乙两人相遇2次，故C正确；由x－t图像可知，甲、乙两人第一次在泳池的两端处相遇的时刻为t=100 s，故D错误。
2.(多选)如图(a)所示，某同学用甲、乙两个物块来模拟研究汽车相遇规律问题，图(b)是他根据运动规律绘制的甲、乙两个物块的位移—时间图线。已知甲物块的运动图线为一条顶点为(0，x0)的抛物线，乙物块的运动图线为一条过原点的直线。两条图线相交，其中一个交点的坐标为(t1，x1)。下列说法正确的是(　　)
CD
A.t1时刻，甲物块的速度大小为
B.甲物块做匀加速直线运动，其加速度大小为
C.图中甲、乙两个物块再次相遇的时刻为t2=
D.若两个物块只相遇一次，则必有x1=2x0
【解析】 由题图可知，乙物块做匀速直线运动，其速度v乙=，第一次相遇为乙物块追上甲物块的情形，由x－t图线上某点切线的斜率表示物块在此时的速度可知，此时甲物块的速度小于乙物块的速度，故A错误；由题意可知，甲物块做匀加速直线运动，根据x=x0＋at2，将坐标点(t1，x1) 代入可求出a=，故B错误；抛物线与直线相交处表示两个物块相遇，根据题意有x=x0＋a=v乙t2，解得t2=，故C正确；根据相遇的条件可知，当方程x=x0＋at2=v乙t有一个解时两个物块只相遇一次，即二次方程中Δ=0，解得x1=2x0，故D正确。
3.甲、乙两车在同一平直公路上一前一后匀速行驶，甲车在前，行驶速度为v1，乙车在后，行驶速度为v2，v1＜v2 。当两车相距为x时，乙车开始做匀减速运动，加速度大小为a，恰好没有撞上甲车。若乙车做匀速直线运动的速度增加一倍，甲车的速度不变，乙车仍然在和甲相距x时开始做匀减速运动，同样没有和甲车相撞，则乙车的加速度的值满足(　　)
A.可能等于2a
B.一定小于4a
C.一定大于4a
D.与v2、v1 之差的大小有关，所以不能确定第二种情况下加速度大小与a的关系
C
【解析】 因两车恰不相撞，则最终相遇时两车速度相等，由相对运动可知，第一种情况(v2－v1)2=2ax，第二种情况(2v2－v1)2=2a'x，解得，因v1＜v2，则＞4，即加速度一定大于4a，故C正确。
4.(多选)甲以速度v0做匀速直线运动，乙先做初速度为v0的匀减速直线运动，再做匀加速直线运动，最后速度变为v0，t0时刻乙的速度为0，t=0时刻甲、乙从同一地点出发，这段时间内的v －t图像如图所示，甲的图线与乙的图线所围成图形的面积为S0。在t=0到甲、乙的速度再次相等的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.甲的位移大小为2S0
B.乙做匀加速直线运动的位移大小为
C.甲、乙的速度再次相等的时刻一定为3t0
D.乙做匀加速直线运动的加速度大小为
AD
【解析】 设甲、乙的速度再次相等的时刻为t1，又由v－t图像可得x甲= v0t1，S0=v0t1，所以x甲=2S0，故A正确；根据已知条件无法确定t0 和t1 的关系，也无法确定乙做匀加速直线运动的位移，只有当t1=2t0 时，乙做匀加速直线运动的位移大小才等于，故B、C错误；乙做匀加速、匀减速运动的平均速度均为，则x乙=t1=x甲=S0，所以乙做初速度为0的匀加速直线运动过程由速度位移关系得=2a(S0－v0t0)，解得a=，故D正确。
5.若A、B两车相距2 m，沿同一直线同向运动，B车在前面做初速度为0、加速度为a1的匀加速直线运动，A车在后面做初速度为2 m/s、加速度为a2的匀加速直线运动。讨论a1与a2满足什么条件时A、B两车相遇一次。
a2－a1=－1 m/s2或a2－a1≥0
【解析】 对A车有xA=v0t＋a2t2
对B车有xB=a1t2
若相遇，则有xA=xB＋x0
整理得(a2－a1)t2＋2t－2=0
当a2－a1=0时，t=1 s，两车相遇一次；
当a2－a1=－1 m/s2时，t=2 s，两车相遇一次；
当a2－a1＜－1 m/s2时，Δ=4＋4(a2－a1)＜0，无解；
当－1 m/s2＜a2－a1＜0时，t=＞0，相遇两次；
当a2－a1＞0时，t=＞0，t=＜0(舍去)，相遇一次。
综上，当a2－a1=－1 m/s2或a2－a1≥0时，A、B两车相遇一次。[素养提升1]　追及相遇问题
微考点一　情境分析法
1.甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲物体的初速度为2 m/s，乙物体的初速度为1 m/s，运动时甲物体的加速度为2 m/s2，乙物体的加速度为4 m/s2。已知甲、乙两物体在2 s时恰好相遇。下列说法正确的是(　　)
A.从出发到相遇，甲物体的位移为6 m
B.在2 s后，若甲、乙两物体保持加速度不变，则会再次相遇
C.甲、乙两物体出发地之间的距离为4 m
D.相遇之前，甲物体与乙物体在t=0.5 s时相距最远
2.一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动。若轿车刹车过程的加速度大小为a=1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为(　　)
A.21.6 km/h　　　　　　 B.18 km/h
C.16 km/h D.12 km/h
3.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为x，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为(　　)
A.x　　　　　　 B.2x
C.3x D.4x
微考点二　图像分析法
4.(多选)如图所示，足球场上，某运动员进行“边路突破”训练，沿边线将足球向前踢出，为控制足球，又向前追赶足球。下列速度—时间(v －t)图像和位移—时间(x－t)图像能大致反映此过程的是(　　)
　　　 A.　　　　　　　　　　 B.
　　　 C.　　　　　　　 D.
5.甲、乙、丙三个质点在同一直线上运动，运动图像如图所示，其中丙质点的位移—时间图像是顶点过坐标原点的抛物线。下列说法正确的是(　　)
A.丙质点做匀加速直线运动
B.甲、乙两个质点运动方向相同
C.t=5 s时，甲、乙两质点相距最近
D.甲质点做匀加速直线运动
6.(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v－t 图像如图所示。下列判断正确的是(　　)
A.乙车启动时，甲车在其前方25 m处
B.乙车超过甲车后，两车有可能第二次相遇
C.乙车启动15 s后正好追上甲车
D.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
微考点三　数学函数法
7.目前，武汉允许无人驾驶汽车在特定区域、特定时段上路进行商业化试运营。假设一辆测试汽车正在平直公路上行驶，距路口停车线40 m时，红绿灯还有3 s将变为红灯，此时测试汽车的速度为10 m/s。测试汽车可看作质点，在不违反交通规则的前提下(　　)
A.测试汽车可以以 m/s2的加速度匀加速通过该路口
B.测试汽车匀加速通过该路口时的速度可以为15 m/s
C.若测试汽车匀减速停在该路口，则其加速度大小为 m/s2
D.若测试汽车匀减速停在该路口，则其加速度大小为1.25 m/s2
8.(多选)电子设备之间在一定距离范围内可以通过蓝牙连接进行数据交换，已经配对过的两电子设备，当距离小于某一值时，会自动连接；一旦超过该值，蓝牙信号便会立即中断，无法正常通信。某次实验中，分别安装在甲、乙两小车上的两电子设备已通过蓝牙配对成功，其正常通信的有效距离为d=10 m。两车运动路线在同一条直线上(两车略微错开，不会相撞)。如图所示，甲车以v1=1 m/s 的初速度经过O点，向右做加速度大小a1=0.1 m/s2的匀加速直线运动，同时乙车以初速度v2=6 m/s 向右经过O点左侧6 m处，并立即以a2=0.4 m/s2 的加速度刹车。以此时刻为计时起点，忽略蓝牙信号连接延迟，下列说法正确的是(　　)
A.当t=4 s时，信号第一次中断
B.当t=16 s时，信号第一次恢复
C.信号第二次中断时，甲车在O点右侧55 m 处
D.从信号第一次恢复到信号第二次中断，甲车的位移为20 m
9.汽车A和汽车B(均可视为质点)在平直的公路上沿两平行车道同向行驶，汽车A在后(如图甲所示)，以某时刻作为计时起点，此时两车相距x0=12 m，汽车A运动的x－t图像如图乙所示，汽车B运动的v－t图像如图丙所示。下列说法正确的是(　　)
A.两车相遇前，在t=2 s时，两车相距最远，且最远距离为16 m
B.在0~6 s时间内，汽车B的位移为16 m
C.在t=8 s时，两车相遇
D.若t=1 s时汽车A紧急制动(视为匀减速直线运动)，要使汽车A追不上汽车B，则汽车A的加速度大小应大于 m/s2
10.(多选)如图甲所示，一射手从同一地点射出速度大小相同、发射仰角不同的两颗子弹，发射的时间间隔为t1，经过时间t2两颗子弹在M点相遇。两颗子弹的水平方向的分速度vx随时间变化的图像如图乙所示，竖直方向的分速度vy随时间变化的图像如图丙所示(图像中图线和坐标轴以及辅助线围成了多个互相不重叠的几何图形，其中部分几何图形的面积大小如图中标注所示)。下列说法一定正确的是(　　)
A.S1＋S2=S3　　　　　　 B.S1=S2
C.S4＋S5=S6 D.S4=S5＋S6
11.车辆行驶过程中常见的变道超车情形如图所示。图中A车车长LA=4 m，B车车长LB=6 m，两车车头相距L=26 m时，B车正以vB=10 m/s的速度匀速行驶，A车正以vA=15 m/s的速度借道超车，此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正好迎面驶来，其速度为vC=8 m/s，C车车头和B车车头之间相距d=94 m。现在A车司机有两个选择，一是放弃超车，驶回与B车相同的车道，而后减速行驶；二是加速超车，在B车与C车相遇之前超过B车，不考虑变道过程的时间和速度的变化。
(1)若A车司机选择放弃超车，回到B车所在车道，则A车至少应该以多大的加速度匀减速刹车，才能避免与B车相撞？
(2)若A车司机选择加速超车，求A车能够安全超车的加速度至少多大。
(3)若A车司机选择超车，但因某种原因并未加速，C车司机在图示位置做出反应(不计反应时间)，则C车减速的加速度至少多大才能保证A车安全超车？
素养提升1　追及相遇问题
1.D　【解析】 甲、乙两物体的运动示意图如图所示。由x=v0t＋at2，可得从出发到相遇甲、乙两物体的位移分别为x甲=8 m，x乙=10 m，则甲、乙两物体出发地之间的距离为x乙－x甲=2 m，A、C错误；由v=v0＋at可得，相遇时甲物体的速度v甲=6 m/s，乙物体的速度v乙=9 m/s，又乙物体的加速度大于甲物体的加速度，可知2 s后乙物体的速度始终大于甲物体的速度，甲、乙两物体不会再次相遇，B错误；相遇之前，甲、乙两物体速度相等的时刻相距最远，由v甲0＋a甲t=v乙0＋a乙t，可得t=0.5 s时甲、乙两物体相距最远，D正确。
2.A　【解析】 轿车的速度为v轿=72 km/h=20 m/s，设货车的速度为v货，当两车速度相等时，距离最近，有t=t＋22 m=v货t＋120 m，解得v货=6 m/s=21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误。
3.B　【解析】 两辆轿车刹车时加速度相同，刹车位移也相同，均为x，设刹车时加速度大小为a，前车刹车的时间为t=，刹车位移为x=，在此时间内，后车做匀速运动，位移为x'=v0t=，所以x'=2x，此后，后车刹车，刹车位移也为x，要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为Δx=x'＋x－x=x'=2x，故B正确，A、C、D错误。
4.AC　【解析】 运动员将足球向前踢出，由于地面对足球有阻力作用，足球做减速运动，运动员向前追赶足球做加速运动，故A正确，B错误；x－t图像的斜率表示速度，足球做减速运动，运动员做加速运动，且踢球时两者在同一位置，故C正确，D错误。
5.A　【解析】 对比初速度为0的匀加速直线运动位移公式x=at2可知，丙质点做匀加速直线运动，A正确；甲质点朝正方向做匀速直线运动，乙质点朝负方向做匀速直线运动，故甲、乙两个质点运动方向不同，B、D错误；t=5 s时，甲、乙两个质点相距最远，C错误。
6.CD　【解析】 根据v－t图像中图线与时间轴所围图形的面积表示位移，可知乙车在t=10 s时启动，此时甲车的位移为x=×10×10 m=50 m，即甲车在乙车前方50 m处，故A错误；乙车超过甲车后，由于乙车的速度大，所以两车不可能再次相遇，故B错误；由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动，设甲车启动t'(t'＞20 s)后两车位移相等，即两车相遇，有×20 m/s=×10 m/s，解得t'=25 s，即乙车启动15 s后正好追上甲车，故C正确；当两车的速度相等时两车相距最远，最大距离为Δx=×(5＋15)×10 m－×10×5 m=75 m，故D正确。
7.D　【解析】 当测试汽车以 m/s2的加速度匀加速通过该路口时，匀加速的位移x=v0t＋at2=10×3 m＋×32 m=40 m，即测试汽车刚好到路口，此时红灯亮，测试汽车不能通过路口，故A错误；当测试汽车通过该路口时的速度为15 m/s时，汽车在3 s内经过的位移x=×3 m=37.5 m＜40 m，故汽车不可能以15 m/s通过该路口，故B错误；若测试汽车匀减速停在该路口，由=2as解得a=1.25 m/s2，由v0=at解得t=8 s＞3 s，故C错误，D正确。
8.AD　【解析】 因开始时，乙车速度较大，则在乙车停止运动之前乙车可超过甲车，然后两车距离逐渐变大，当蓝牙信号第一次中断时乙车超过了甲车，则第一次信号中断时满足v2t1－a2=d＋s0＋v1t1＋a1，解得t1=4 s，即t1=4 s时信号第一次中断，选项A正确；当信号第一次中断时，甲车的速度v11=1.4 m/s，乙车的速度v21=4.4 m/s，到信号第一次恢复时应该满足v21t2－a2=v11t2＋a1，解得t2=12 s，但是乙车停止运动的时间t'==11 s，即再经过t2=12 s乙车已经停止运动，则信号第一次恢复的时刻应该小于16 s，选项B错误；乙车停止运动时，到O点的距离为x2=－6 m=39 m，信号第二次中断时，甲车在乙车的右边10 m处，则此时甲车在O点右侧49 m处，选项C错误；信号第一次恢复时甲车到O点的距离为x1=x2－10 m=29 m，从信号第一次恢复到信号第二次中断，甲车的位移为49 m－29 m=20 m，选项D正确。
9.D　【解析】 当两车速度相等时，两车相距最远，由题图乙可得vA= m/s=4 m/s，由题图丙，可得汽车B在1~5 s时间内的加速度a= m/s2=－2 m/s2，设匀减速运动的时间为t时两车速度相等，则有vA=vB＋at1，代入数据解得t1=2 s，即在t'=3 s时两车相距最远，此时xA1=vAt'=4×3 m=12 m，汽车B的位移xB1=8×1 m＋8×2 m＋×(－2)×22 m=20 m，则两车间最远距离Δx1=xB1＋x0－xA1=20 m＋12 m－12 m=20 m，故A错误；汽车B在0~6 s时间内的位移等于在0~5 s时间内的位移，由v－t图像与坐标轴围成图形的面积表示位移可得x=×(1＋5)×8 m=24 m，故B错误；在t2=8 s 时，汽车A的位移xA2=vAt2=4×8 m=32 m，汽车B的位移等于在0~5 s时间内的位移x=24 m，有x＋x0＞xA2，所以两车没有相遇，故C错误；t3=1 s时，汽车A的位移xA3=vAt3=4×1 m=4 m，汽车B的位移xB3=vBt3=8×1 m=8 m，两车间的距离Δx2=xB3＋x0－xA3=16 m，汽车B匀减速到停止的位移x'B=×(5－1) m=16 m，若汽车A停止时的位移等于汽车B的位移，则汽车A的加速度最小，汽车A匀减速运动的总位移xA总=Δx2＋x'B=16 m＋16 m=32 m，对汽车A，根据速度位移公式有aA= m/s2= m/s2，所以汽车A的加速度至少为 m/s2，故D正确。
10.BD　【解析】 由题图乙可知，子弹1的水平位移大小为S1＋S3，子弹2的水平位移大小为S2＋S3，因为两子弹水平位移大小相等，所以S1=S2，故A错误，B正确；如图所示，增加S7、S8，子弹1的竖直位移大小为S4＋S7－S6－S8，子弹2的竖直位移大小为S5＋S7－S8，两子弹竖直位移大小相等，可得S4＋S7－S6－S8=S5＋S7－S8，整理得S4=S5＋S6，故C错误，D正确。
11.(1) m/s2　(2) m/s2　(3)1 m/s2
【解析】 (1)若A车司机选择放弃超车，回到B车所在车道，当两车速度相同时，A车恰好追上B车，此时A车加速度最小，根据运动学公式有vA－a1t1=vB
vAt1－a1=vBt1＋L－LB
联立解得A车的最小加速度为a1= m/s2
(2)A车加速超车最长时间为
t2= s=5 s
A车安全超车，根据运动学公式有
vAt2＋a2=vBt2＋L＋LA
解得A车能够安全超车的加速度至少为
a2= m/s2
(3)C车做匀减速运动最长时间为
t3= s=6 s
A车安全超车，根据运动学公式有
vAt3＋vCt3－a3=d＋L
解得C车减速的最小加速度为a3=1 m/s2素养提升1　追及相遇问题
1.追及相遇问题的分析思路
(1)追及问题：若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度；若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
(2)相遇问题：同向运动的两物体追及即相遇；相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
2.追及相遇问题的基本物理模型
如图所示，以甲追乙为例。
(1)两者间距离变化与速度大小的关系
①无论v甲增大、减小还是不变，只要v甲＜v乙，甲、乙间的距离就不断增大。
②若v甲=v乙，甲、乙间的距离保持不变。
③无论v甲增大、减小还是不变，只要v甲＞v乙，甲、乙间的距离就不断减小。
(2)解答追及相遇问题的三种方法
情境 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图
函数 判断法 设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于两物体之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx=0时，表示两物体相遇 ①若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次 ②若Δ=0，即有一个解，说明刚好追上或相遇 ③若Δ＜0，无解，说明追不上或不能相遇 当t=－时，函数有极值，代表两物体间距离有最大值或最小值
图像 分析法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题
类型一　情境分析法
情境分析法的基本思路
例1 汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0=7 m处、以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，汽车B刹车的加速度大小a=2 m/s2。从此刻开始计时。求：
(1)汽车A追上汽车B前，汽车A、B间的最远距离。
(2)从计时开始到汽车A恰好追上汽车B所经过的时间。
类型二　图像分析法
图像分析法是指将两个物体的运动图像画在同一坐标系中，然后根据图像分析求解相关问题。
(1)若用位移—时间关系图像求解，应分别作出两个物体的位移—时间关系图像，若两个物体的位移—时间关系图像相交，则说明两个物体相遇。
(2)若用速度—时间关系图像求解，则注意比较图线与时间轴包围图形的面积。
例2 (多选)随着自动驾驶技术不断成熟，北京、上海等城市某些特定地区相继出现无人驾驶网约车，给市民出行带来方便。两辆无人驾驶汽车在某一水平直线道路上同时同地出发运动的v－t图像如图所示，其中乙车做匀加速直线运动，甲车经匀加速、匀速、匀减速、静止、匀加速等运动过程。两车能安全错车，且均可看作质点。对两车在0~16 s的运动过程，下列说法正确的是(　　)
A.乙车经8 s追上甲车
B.乙车经4 s追上甲车
C.乙车追上甲车前两车最远相距20 m
D.乙车追上甲车前两车最远相距50 m
类型三　数学函数法
在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解。设两物体在t时刻相遇，根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0。
(1)若f(t)=0有正实数解，说明两物体能相遇。
(2)若f(t)=0无正实数解，说明两物体不能相遇。
例3 一汽车在直线公路上以54 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现在其正前方14 m处有一自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车。
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
1.甲、乙两人同时从泳池的两端出发，在泳池里训练，甲、乙两人的速度—时间图像分别如图(a)(b)所示，不计转向的时间，两人的运动均可视为质点的直线运动。下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两人第一次相遇时处于泳池的正中间处
B.甲、乙两人前两次相遇的时间间隔为20 s
C.在0~50 s时间内，甲、乙两人共相遇了2次
D.甲、乙两人第一次在泳池的两端处相遇的时刻为t=75 s
2.(多选)如图(a)所示，某同学用甲、乙两个物块来模拟研究汽车相遇规律问题，图(b)是他根据运动规律绘制的甲、乙两个物块的位移—时间图线。已知甲物块的运动图线为一条顶点为(0，x0)的抛物线，乙物块的运动图线为一条过原点的直线。两条图线相交，其中一个交点的坐标为(t1，x1)。下列说法正确的是(　　)
A.t1时刻，甲物块的速度大小为
B.甲物块做匀加速直线运动，其加速度大小为
C.图中甲、乙两个物块再次相遇的时刻为t2=
D.若两个物块只相遇一次，则必有x1=2x0
3.甲、乙两车在同一平直公路上一前一后匀速行驶，甲车在前，行驶速度为v1，乙车在后，行驶速度为v2，v1＜v2 。当两车相距为x时，乙车开始做匀减速运动，加速度大小为a，恰好没有撞上甲车。若乙车做匀速直线运动的速度增加一倍，甲车的速度不变，乙车仍然在和甲相距x时开始做匀减速运动，同样没有和甲车相撞，则乙车的加速度的值满足(　　)
A.可能等于2a
B.一定小于4a
C.一定大于4a
D.与v2、v1 之差的大小有关，所以不能确定第二种情况下加速度大小与a的关系
4.(多选)甲以速度v0做匀速直线运动，乙先做初速度为v0的匀减速直线运动，再做匀加速直线运动，最后速度变为v0，t0时刻乙的速度为0，t=0时刻甲、乙从同一地点出发，这段时间内的v －t图像如图所示，甲的图线与乙的图线所围成图形的面积为S0。在t=0到甲、乙的速度再次相等的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.甲的位移大小为2S0
B.乙做匀加速直线运动的位移大小为
C.甲、乙的速度再次相等的时刻一定为3t0
D.乙做匀加速直线运动的加速度大小为
5.若A、B两车相距2 m，沿同一直线同向运动，B车在前面做初速度为0、加速度为a1的匀加速直线运动，A车在后面做初速度为2 m/s、加速度为a2的匀加速直线运动。讨论a1与a2满足什么条件时A、B两车相遇一次。
素养提升1　追及相遇问题
类型一
例1　(1)16 m　(2)8 s
【解析】 汽车A和汽车B的运动过程如图所示。
(1)当A、B两汽车速度相等时，两汽车间的距离最远，即v=vB－at=vA
解得t=3 s
此时汽车A的位移xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt－at2=21 m
故汽车A追上汽车B前，汽车A、B间的最远距离Δxmax=xB＋x0－xA=16 m
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1==5 s
此时汽车B运动的位移x'B==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移
x'A=vAt1=20 m
此时汽车A、B相距Δx=x'B＋x0－x'A=12 m
汽车A需再运动的时间t2==3 s
故汽车A追上汽车B所用时间
t总=t1＋t2=8 s
类型二
例2　BC　【解析】 在v－t图像中，图线与时间轴所围几何图形的面积表示位移，根据图像可知，0~8 s内甲车的位移大于乙车的位移，即乙车经8 s没有追上甲车，故A错误；乙车的加速度 a= m/s2= m/s2，乙车在t1=12 s 时的速度v1=at1=×12 m/s=15 m/s，0~12 s内乙车的位移x1=t1=90 m，乙车在t2=10 s时的速度v2=at2=×10 m/s=12.5 m/s，0~10 s内乙车的位移x2=t2=62.5 m，甲车在0~12 s内的位移与0~10 s内的位移相等，均为x3= m=70 m，由于x2＜x3＜x1，表明甲、乙两车相遇在10~12 s之间的某时刻，设为t3，则有x3=a，解得t3=4 s，即乙车经4 s追上甲车，故B正确；乙车追上甲车前，当两者速度相等，即8 s时刻v=10 m/s 时，两车相距最远，由于v－t图像中图线与时间轴所围几何图形的面积表示位移，根据图像可知，最远距离为xmax= m=20 m，故C正确，D错误。
类型三
例3　(1)5 m/s2　(2)1 m/s2
【解析】 (1)设汽车的加速度大小为a，汽车的初速度v汽=54 km/h=15 m/s，两车初始距离d=14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d'=d－(v汽－v自)t'=10 m
从汽车刹车开始计时，自行车的位移为
x自=v自t
汽车的位移为x汽=v汽t－at2
假设汽车能追上自行车，此时有
x汽=x自＋d'
代入数据整理得at2－10t＋10=0
要保证两车不相撞，即此方程最多只有一个解，即得Δ=102－20a≤0
解得a≥5 m/s2
则汽车的加速度至少为5 m/s2。
(2)设自行车的加速度为a'，汽车追上自行车时有x'汽=x'自＋d'
其中x'汽=v汽t－at2，x'自=v自t＋a't2
整理得t2－10t＋10=0
要保证两车不相撞，即此方程最多只有一个解，即得Δ=102－20a'－80≤0
解得a'≥1 m/s2
则自行车的加速度至少为1 m/s2。
即时巩固
1.C　【解析】 根据v－t图像可画出x－t图像，则甲、乙两人的x－t图像如图所示。根据x－t图像的交点表示相遇可知，甲、乙两人第一次相遇的时刻t1= s≈11.1 s，所以甲、乙两人第一次相遇的位置不在泳池的正中间处，故A错误；甲、乙两人第二次相遇的时刻t2= s≈33.3 s，甲、乙两人前两次相遇的时间间隔Δt=t2－t1=22.2 s，故B错误；根据x－t图像的交点表示相遇可知，在0~50 s时间内甲、乙两人相遇2次，故C正确；由x－t图像可知，甲、乙两人第一次在泳池的两端处相遇的时刻为t=100 s，故D错误。
2.CD　【解析】 由题图可知，乙物块做匀速直线运动，其速度v乙=，第一次相遇为乙物块追上甲物块的情形，由x－t图线上某点切线的斜率表示物块在此时的速度可知，此时甲物块的速度小于乙物块的速度，故A错误；由题意可知，甲物块做匀加速直线运动，根据x=x0＋at2，将坐标点(t1，x1) 代入可求出a=，故B错误；抛物线与直线相交处表示两个物块相遇，根据题意有x=x0＋a=v乙t2，解得t2=，故C正确；根据相遇的条件可知，当方程x=x0＋at2=v乙t有一个解时两个物块只相遇一次，即二次方程中Δ=0，解得x1=2x0，故D正确。
3.C　【解析】 因两车恰不相撞，则最终相遇时两车速度相等，由相对运动可知，第一种情况(v2－v1)2=2ax，第二种情况(2v2－v1)2=2a'x，解得，因v1＜v2，则＞4，即加速度一定大于4a，故C正确。
4.AD　【解析】 设甲、乙的速度再次相等的时刻为t1，又由v－t图像可得x甲=v0t1，S0=v0t1，所以x甲=2S0，故A正确；根据已知条件无法确定t0 和t1 的关系，也无法确定乙做匀加速直线运动的位移，只有当t1=2t0 时，乙做匀加速直线运动的位移大小才等于，故B、C错误；乙做匀加速、匀减速运动的平均速度均为，则x乙=t1=x甲=S0，所以乙做初速度为0的匀加速直线运动过程由速度位移关系得=2a(S0－v0t0)，解得a=，故D正确。
5.a2－a1=－1 m/s2或a2－a1≥0
【解析】 对A车有xA=v0t＋a2t2
对B车有xB=a1t2
若相遇，则有xA=xB＋x0
整理得(a2－a1)t2＋2t－2=0
当a2－a1=0时，t=1 s，两车相遇一次；
当a2－a1=－1 m/s2时，t=2 s，两车相遇一次；
当a2－a1＜－1 m/s2时，Δ=4＋4(a2－a1)＜0，无解；
当－1 m/s2＜a2－a1＜0时，t=＞0，相遇两次；
当a2－a1＞0时，t=＞0，t=＜0(舍去)，相遇一次。
综上，当a2－a1=－1 m/s2或a2－a1≥0时，A、B两车相遇一次。

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