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第10节　三角函数模型及解三角形的实际应用
课标要求　1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题的关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.(　　)
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是用来确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)α＝β;
(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
2.(人教A必修二P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B(　　)
A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向
答案　D
解析　由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.
3.(人教A必修二P49例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)
A.(30＋30)m B.(15＋30)m
C.(30＋15)m D.(15＋15)m
答案　A
解析　在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°，
所以sin∠APB＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝××，
由正弦定理得PB＝＝30()m，
所以该树的高度为30()sin 45°＝(30＋30)m.
4.(苏教必修二P108T10改编)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为　　　　km.
答案　
解析　在△ABC中，易得A＝30°，
由正弦定理，
得AB＝＝2×1× km.
考点一　三角函数模型
例1 (多选)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　)
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2
答案　ABC
解析　设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
h＝Asin(ωt＋φ)＋B，
由题意得
解得
故h＝4sin＋2＝－4cos＋2，故D错误;
对于A， 令h＝6，即h＝4sin＋2＝6，
解得t＝20，故A正确;
对于B，令t＝155，代入h＝4sin＋2，
解得h＝2，故B正确;
对于C，令t＝50，代入h＝4sin＋2，
解得h＝－2，故C正确.
感悟提升　三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
训练1 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位:m)和时间t(单位:s)的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置
y0(－1A. s B. s
C.1 s D. s
答案　D
解析　由题意得(t1＋t2)＝1，(t2＋t3)＝3，
故函数y＝sin(ω t＋φ)(ω>0，|φ|<π)的周期为T＝2×(3－1)＝4，ω＝，
可得y＝sin，
令sin>0.5，
解得4k＋φ故总时间为4k＋φ－，
综上，在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为 s.
考点二　解三角形应用举例
角度1　测量距离问题
例2 位于灯塔A处正西方相距15海里的B处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔A处北偏东45°方向有一与灯塔A相距5海里的C处有一艘乙船，则乙船前往支援B处甲船需要航行的距离是(　　)
A.5海里 B.5海里
C.4海里 D.20海里
答案　B
解析　根据题意，画出示意图如下，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 135°
＝152＋(5)2－2×15×5×＝425.
所以BC＝＝5，则乙船航行的距离为5海里.
角度2　测量高度问题
例3 湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年(1591年)，因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A，C，D在同一水平面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如图所示).测得CD＝18 m，AD＝15 m，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为(≈1.732，精确到0.1 m)(　　)
A.35.0 m B.36.4 m
C.38.4 m D.39.6 m
答案　B
解析　如图，过点E作EF⊥AB，
交AB于点F，
在Rt△ECD中，因为∠ECD＝30°，
所以DE＝CD·tan∠ECD＝18×tan 30°＝6，
在Rt△BEF中，因为∠BEF＝60°，
所以BF＝EF·tan∠BEF＝15×tan 60°＝15，
则AB＝BF＋AF＝BF＋DE＝15＋6＝21≈36.4.
角度3　测量角度问题
例4 一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°，距离为6海里，灯塔C在A的北偏东60°，距离为6海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的(　　)
A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向
答案　D
解析　如图，
由题意，在△ABD中，∠DAB＝60°，AB＝6，∠ADB＝60°，
则△ABD为正三角形，则AD＝6，在△ACD中，因为AC＝6，∠CAD＝30°，
由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°＝(6)2＋62－2×6×6×＝36，
所以CD＝6，故∠CDA＝120°，
此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向.
感悟提升　解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素.
(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
训练2 (1)如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔高AB，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝200 m，在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝(　　)
A.100m B.200m
C.100m D.m
(2)如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，根据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为　　　　km(精确到0.1 km，参考数据:sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891).
答案　(1)C　(2)5.8
解析　(1)如图.
在△BCD中，因为∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，
所以∠CBD＝180°－(15°＋120°)＝45°，
又CD＝200 m，
由正弦定理可得，
得BC＝＝＝100(m).
因为AB⊥平面BCD，BC 平面BCD，
所以AB⊥BC，
又∠BCA＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形，且AB＝BC.
所以AB＝100 m.
(2)在△ABD中，AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°，
由余弦定理可得，
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，
即49＝25＋BD2－2×5×BD×，
整理可得BD2－5BD－24＝0，
解得BD＝8或BD＝－3(舍去).
在△BCD中，BD＝8，∠CBD＝23°，
∠BCD＝117°，
所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.
由正弦定理可得，
BC＝≈≈5.8(km).
一、单选题
1.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是(　　)
A.该弹簧振子的振幅为2 cm
B.该弹簧振子的振动周期为1.6 s
C.该弹簧振子在0.2 s和1.0 s时振动速度最大
D.该弹簧振子在0.6 s和1.4 s时的位移为零
答案　C
解析　由图象及简谐运动的有关知识得，该弹簧振子的振幅为2 cm，振动周期为
2×(1.0－0.2)＝1.6 s.
当t＝0.2 s或1.0 s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6 s和1.4 s时的位移为零.A，B，D正确，C错误.
2.已知B地在A地的北偏东80°方向上，C地在A地的南偏东70°方向上，B地在C地的北偏西17°方向上，且B地与C地相距6 km，则A地与B地之间的距离为(参考数据:取sin 53°＝0.8)(　　)
A.8 km B.12 km
C.16 km D.9.6 km
答案　D
解析　由题意得∠BAC＝180°－80°－70°＝30°，∠ACB＝90°－20°－17°＝53°，
由正弦定理得，
得AB＝＝9.6 km.
3.(2026·恩施模拟)某学生准备测量如图中某建筑物AB高度，选择高为50 m的大楼CD进行测量，在大楼顶部D处测得该建筑物的顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则该建筑物的高度为(　　)
A.50(－1)m B.50(＋1)m
C.50(＋1)m D.50(＋2)m
答案　B
解析　如图，过点D作AB的垂线，垂足为H，
则DH＝CA＝CD＝50 m，
得到BH＝DH＝50 m，
则该建筑物的高度AH＋BH
＝50(＋1)m.
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)
A.30°　　　　　　 B.45°
C.60° D.75°
答案　B
解析　依题意可得AD＝20 m，
AC＝30 m，又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为45°.
5.如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位:分钟)为(　　)
A. B.3
C. D.
答案　C
解析　设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h，
依题意，A＝20，h＝25，T＝10，
所以ω＝，
又f(0)＝5，所以φ＝－，
所以f(t)＝20sin＋25＝25－20cos t.
依题意25－20cos t≥35，
所以cos t≤－，
又0≤t≤10，解得≤t≤，
则摩天轮转动一周内，有(分钟)会有最佳视觉效果.
6.(2026·南昌联考)《孔雀东南飞》中写道“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书”.箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种形制，对其进行绘制，发现其近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝99.9 cm，BC＝100.1 cm，AB＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　)
A.0.62 B.0.56
C.－0.56 D.－0.62
答案　A
解析　如图，由题意可知∠OAC＝∠OBC＝90°，
所以∠AOB＋∠ACB＝180°.
因为切线AC＝99.9 cm，
BC＝100.1 cm，
根据切线长定理，
不妨取AC＝BC＝100 cm，
又AB＝180 cm，
由余弦定理的推论得
cos∠ACB＝
＝＝－0.62，
所以cos∠AOB＝cos(180°－∠ACB)
＝－cos∠ACB＝0.62.
7.小吴同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度).他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7米后到达D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据:tan 71.565°≈3)(　　)
A.19米 B.20米
C.21米 D.22米
答案　C
解析　在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝7，
由正弦定理得，
所以AD＝＝7(米)，
在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，
所以AB＝AD×tan 71.565°≈7×3＝21(米).
二、多选题
8.(2026·烟台质检)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 nmile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　)
A.A处与D处之间的距离是24 nmile
B.灯塔C与D之间的距离是8 nmile
C.灯塔C在D处的西偏南60°
D.D在灯塔B的北偏西30°
答案　AC
解析　在△ABD中，
由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
则B＝45°，AB＝12，
由正弦定理得
AD＝＝＝24，
所以A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确;
在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°，
又AC＝8，解得CD＝8.
所以灯塔C与D处之间的距离为8 nmile，
故B错误;
因为AC＝CD＝8，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确;
灯塔B在D的南偏东60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.
9.(2026·广州调研)水车是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(1，－)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列结论正确的是(　　)
A.φ＝
B.当t∈[0，2]时，函数y＝f(t)单调递增
C.当t∈[3，5]时，函数最小值为－2
D.当t＝9时，PA＝4
答案　BD
解析　因为R＝＝2，
T＝＝6，
得ω＝，所以f(t)＝2sin，
f(0)＝2sin φ＝－，sin φ＝－，
由于|φ|<，
所以φ＝－，f(t)＝2sin，A错误;
若0≤t≤2，则－≤t－≤，
又y＝sin x在区间上单调递增，
所以f(t)在[0，2]上单调递增，B正确;
若3≤t≤5，
则≤t－≤，
所以当t－时，f(t)取得最小值，
为2×＝－，C错误;
当t＝9时，f(9)＝2sin＝2sin ＝1，
所以P(－1，)，
所以PA＝＝4，D正确.
三、填空题
10.甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝　　　　.
答案　30°
解析　如图，设两船在C处相遇，
则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且，
由正弦定理得
＝，
所以sin∠BAC＝.
又因为0°<∠BAC<60°，
所以∠BAC＝30°，
所以θ＝60°－30°＝30°.
11.甲船在B岛的南偏东30°方向A处，AB两地相距100千米，甲船向北偏西30°方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东30°的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行，则两小时后，甲、乙两船的距离为　　　　千米.
答案　20
解析　设两小时后，甲、乙两船的位置分别为D，C处，
由题意可知BC＝60，AB＝100，AD＝60，∠CBD＝120°，
所以BD＝40，
由余弦定理可得CD2＝402＋602－2×40×60×cos 120°
＝7 600，所以CD＝20.
12.(2026·上海黄浦区模拟)三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影A'、B'、C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°，则A、C两点到水平面的高度差约为　　　　.(精确到1).
答案　373
解析　如图，过C作CH⊥BB'，过B作BD⊥AA'，
故AA'－CC'＝AA'－(BB'－BH)＝AA'－BB'＋100＝AD＋100，
由题易知△ADB为等腰直角三角形，
所以AD＝DB.
所以AA'－CC'＝AD＋100＝DB＋100＝A'B'＋100.
因为∠BCH＝15°，所以CH＝C'B'＝.
在△A'C'B'中，由正弦定理得，，
而sin 15°＝sin(45°－30°)＝××＝，
所以A'B'＝＝100(＋1)≈273，
所以AA'－CC'＝A'B'＋100≈373.
四、解答题
13.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 250 m，速度为1 000 km/h，飞行员在A处先看到山顶C的俯角为18°30'，经过150 s后又在B处看到山顶C的俯角为81°.
(1)求飞机在B处与山顶C的距离;(精确到1 m)
(2)求山顶的海拔高度.(精确到1 m)
参考数据:sin 18.5°≈0.32，cos 18.5°≈0.95，sin 62.5°≈0.89，cos 62.5°≈0.46，sin 81°≈0.99，cos 81°≈0.16.
解　(1)飞机在150秒内飞行的距离为
AB＝1 000×1 000××106(m)，
在△ABC中，由正弦定理，
有，
∴BC＝≈14 981(m).
(2)飞机、山顶的海拔高度差为
BC×sin 81°≈14 831(m)，
20 250－14 831＝5 419(m)，
即山顶的海拔高度约为5 419 m.
14.(2026·南阳模拟)如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，求x的值;
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km).
解　(1)依题意，
得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
PC－PB＝1.5×20＝30(km)，
所以PB＝(x－12)(km)，
PC＝(x＋18)(km).
在△PAB中，AB＝20 km，由余弦定理得
cos∠PAB＝＝.
同理，在△PAC中，cos∠PAC＝.
由于cos∠PAB＝cos∠PAC，
所以，
解得x＝(km).
(2)作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，
PD＝PA·cos∠APD＝PA·cos∠PAB＝x·≈17.71(km).
所以目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.(共55张PPT)
数学
高考总
复
习
第四章　三角函数、解三角形
第10节　三角函数模型及解三角形
的实际应用
1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
课标要求
内容索引
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
03
课时对点精练
知识诊断自测
01
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线______叫俯角(如图1).
下方
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.
常用结论与微点提醒
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题的关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
(2)α＝β;
(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编
√
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.(　　)
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是用来确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　)
×
√
2.(人教A必修二P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B(　　)
A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向
由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.
D
3.(人教A必修二P49例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)
A.(30＋30)m B.(15＋30)m
C.(30＋15)m D.(15＋15)m
在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°，
所以sin∠APB＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝××，
由正弦定理得PB＝＝30()m，
所以该树的高度为30()sin 45°＝(30＋30)m.
A
4.(苏教必修二P108T10改编)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为____________km.
在△ABC中，易得A＝30°，
由正弦定理，
得AB＝＝2×1× km.
考点聚焦突破
02
例1 (多选)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　 )
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2
ABC
考点一　三角函数模型
设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
h＝Asin(ωt＋φ)＋B，
由题意得
解得
故h＝4sin＋2＝－4cos＋2，故D错误;
对于A， 令h＝6，即h＝4sin＋2＝6，
解得t＝20，故A正确;
对于B，令t＝155，代入h＝4sin＋2，
解得h＝2，故B正确;
对于C，令t＝50，代入h＝4sin＋2，
解得h＝－2，故C正确.
感悟提升
三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
训练1 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位:m)和时间t(单位:s)的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0(－1D
A. s B. s
C.1 s D. s
由题意得(t1＋t2)＝1，(t2＋t3)＝3，
故函数y＝sin(ω t＋φ)(ω>0，|φ|<π)的周期为T＝2×(3－1)＝4，ω＝，
可得y＝sin，
令sin>0.5，
解得4k＋φ故总时间为4k＋φ－，
综上，在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为 s.
角度1　测量距离问题
例2 位于灯塔A处正西方相距15海里的B处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔A处北偏东45°方向有一与灯塔A相距5海里的C处有一艘乙船，则乙船前往支援B处甲船需要航行的距离是(　　)
A.5海里 B.5海里
C.4海里 D.20海里
B
考点二　解三角形应用举例
根据题意，画出示意图如下，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 135°
＝152＋(5)2－2×15×5×＝425.
所以BC＝＝5，则乙船航行的距离为5海里.
例3 湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年(1591年)，因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A，C，D在同一水平面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如图所示).测得CD＝18 m，AD＝15 m，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为(≈1.732，精确到0.1 m)(　　)
A.35.0 m B.36.4 m
C.38.4 m D.39.6 m
B
角度2　测量高度问题
如图，过点E作EF⊥AB，
交AB于点F，
在Rt△ECD中，因为∠ECD＝30°，
所以DE＝CD·tan∠ECD＝18×tan 30°＝6，
在Rt△BEF中，因为∠BEF＝60°，
所以BF＝EF·tan∠BEF＝15×tan 60°＝15，
则AB＝BF＋AF＝BF＋DE＝15＋6＝21≈36.4.
角度3　测量角度问题
例4 一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°，距离为6海里，灯塔C在A的北偏东60°，距离为6海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的(　　)
A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向
D
如图，由题意，在△ABD中，∠DAB＝60°，
AB＝6，∠ADB＝60°，
则△ABD为正三角形，则AD＝6，
在△ACD中，因为AC＝6，∠CAD＝30°，
由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°
＝(6)2＋62－2×6×6×＝36，
所以CD＝6，故∠CDA＝120°，
此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向.
感悟提升
解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素.
(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
训练2 (1)如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔高AB，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝200 m，在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝(　　)
A.100m B.200m
C.100m D.m
C
如图.
在△BCD中，因为∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，
所以∠CBD＝180°－(15°＋120°)＝45°，
又CD＝200 m，
由正弦定理可得，
得BC＝＝＝100(m).
因为AB⊥平面BCD，BC 平面BCD，
所以AB⊥BC，
又∠BCA＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形，且AB＝BC.
所以AB＝100 m.
(2)如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，根据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为____________km(精确到0.1 km，参考数据:sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891).
在△ABD中，AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°，
由余弦定理可得，
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，
即49＝25＋BD2－2×5×BD×，
5.8
整理可得BD2－5BD－24＝0，
解得BD＝8或BD＝－3(舍去).
在△BCD中，BD＝8，∠CBD＝23°，
∠BCD＝117°，
所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.
由正弦定理可得，
BC＝≈≈5.8(km).
课时对点精练
03
一、单选题
1.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，
则下列判断错误的是(　　)
A.该弹簧振子的振幅为2 cm
B.该弹簧振子的振动周期为1.6 s
C.该弹簧振子在0.2 s和1.0 s时振动速度最大
D.该弹簧振子在0.6 s和1.4 s时的位移为零
C
由图象及简谐运动的有关知识得，该弹簧振子的振幅为2 cm，振动周期为
2×(1.0－0.2)＝1.6 s.
当t＝0.2 s或1.0 s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6 s和1.4 s时的位移为零.A，B，D正确，C错误.
2.已知B地在A地的北偏东80°方向上，C地在A地的南偏东70°方向上，B地在C地的北偏西17°方向上，且B地与C地相距6 km，则A地与B地之间的距离为(参考数据:取sin 53°＝0.8)(　　)
A.8 km B.12 km
C.16 km D.9.6 km
D
由题意得∠BAC＝180°－80°－70°＝30°，
∠ACB＝90°－20°－17°＝53°，
由正弦定理得，
得AB＝＝9.6 km.
3.(2026·恩施模拟)某学生准备测量如图中某建筑物AB高度，选择高为50 m的大楼CD进行测量，在大楼顶部D处测得该建筑物的顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则该建筑物的高度为(　　)
A.50(－1)m B.50(＋1)m
C.50(＋1)m D.50(＋2)m
B
如图，过点D作AB的垂线，垂足为H，
则DH＝CA＝CD＝50 m，
得到BH＝DH＝50 m，
则该建筑物的高度AH＋BH＝50(＋1)m.
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)
A.30°　　　　　　 B.45°
C.60° D.75°
B
依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为45°.
5.如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位:分钟)为(　　)
A. B.3
C. D.
C
设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h，
依题意，A＝20，h＝25，T＝10，
所以ω＝，
又f(0)＝5，所以φ＝－，
所以f(t)＝20sin＋25＝25－20cos t.
依题意25－20cos t≥35，
所以cos t≤－，
又0≤t≤10，解得≤t≤，
则摩天轮转动一周内，有(分钟)会有最佳视觉效果.
6.(2026·南昌联考)《孔雀东南飞》中写道“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书”.箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种形制，对其进行绘制，发现其近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝99.9 cm，BC＝100.1 cm，AB＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　)
A.0.62 B.0.56
C.－0.56 D.－0.62
A
如图，由题意可知∠OAC＝∠OBC＝90°，
所以∠AOB＋∠ACB＝180°.
因为切线AC＝99.9 cm，BC＝100.1 cm，
根据切线长定理，不妨取AC＝BC＝100 cm，又AB＝180 cm，
由余弦定理的推论得cos∠ACB＝＝＝－0.62，
所以cos∠AOB＝cos(180°－∠ACB)＝－cos∠ACB＝0.62.
7.小吴同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度).他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7米后到达D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据:tan 71.565°≈3)(　　)
A.19米 B.20米
C.21米 D.22米
C
在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝7，
由正弦定理得，
所以AD＝＝7(米)，
在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，
所以AB＝AD×tan 71.565°≈7×3＝21(米).
二、多选题
8.(2026·烟台质检)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 nmile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　)
A.A处与D处之间的距离是24 nmile B.灯塔C与D之间的距离是8 nmile
C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30°
AC
在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
则B＝45°，AB＝12，
由正弦定理得AD＝＝＝24，
所以A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确;
在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°，
又AC＝8，解得CD＝8.
所以灯塔C与D处之间的距离为8 nmile，
故B错误;
因为AC＝CD＝8，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确;
灯塔B在D的南偏东60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.
9.(2026·广州调研)水车是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(1，－)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列结论正确的是(　　)
A.φ＝
B.当t∈[0，2]时，函数y＝f(t)单调递增
C.当t∈[3，5]时，函数最小值为－2
D.当t＝9时，PA＝4
BD
因为R＝＝2，T＝＝6，
得ω＝，所以f(t)＝2sin，
f(0)＝2sin φ＝－，sin φ＝－，
由于|φ|<，所以φ＝－，f(t)＝2sin，A错误;
若0≤t≤2，则－≤t－≤，
又y＝sin x在区间上单调递增，
所以f(t)在[0，2]上单调递增，B正确;
若3≤t≤5，则≤t－≤，
所以当t－时，f(t)取得最小值，
为2×＝－，C错误;
当t＝9时，f(9)＝2sin＝2sin ＝1，
所以P(－1，)，
所以PA＝＝4，D正确.
三、填空题
10.甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝____________.
30°
如图，设两船在C处相遇，
则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且，
由正弦定理得＝，
所以sin∠BAC＝.又因为0°<∠BAC<60°，
所以∠BAC＝30°，所以θ＝60°－30°＝30°.
11.甲船在B岛的南偏东30°方向A处，AB两地相距100千米，甲船向北偏西30°方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东30°的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行，则两小时后，甲、乙两船的距离为____________千米.
20
设两小时后，甲、乙两船的位置分别为D，C处，
由题意可知BC＝60，AB＝100，AD＝60，∠CBD＝120°，
所以BD＝40，
由余弦定理可得CD2＝402＋602－2×40×60×cos 120°
＝7 600，所以CD＝20.
12.(2026·上海黄浦区模拟)三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影A'、B'、C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°，则A、C两点到水平面的高度差约为____________.(精确到1).
373
如图，过C作CH⊥BB'，过B作BD⊥AA'，
故AA'－CC'＝AA'－(BB'－BH)＝AA'－BB'＋100＝AD＋100，
由题易知△ADB为等腰直角三角形，
所以AD＝DB.
所以AA'－CC'＝AD＋100＝DB＋100＝A'B'＋100.
因为∠BCH＝15°，所以CH＝C'B'＝.
在△A'C'B'中，由正弦定理得，，
而sin 15°＝sin(45°－30°)＝××＝，
所以A'B'＝＝100(＋1)≈273，
所以AA'－CC'＝A'B'＋100≈373.
四、解答题
13.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 250 m，速度为1 000 km/h，飞行员在A处先看到山顶C的俯角为18°30'，经过150 s后又在B处看到山顶C的俯角为81°.
(1)求飞机在B处与山顶C的距离;(精确到1 m)
飞机在150秒内飞行的距离为AB＝1 000×1 000××106(m)，
在△ABC中，由正弦定理，有，
∴BC＝≈14 981(m).
(2)求山顶的海拔高度.(精确到1 m)
参考数据:sin 18.5°≈0.32，cos 18.5°≈0.95，sin 62.5°≈0.89，cos 62.5°≈0.46，sin 81°≈0.99，cos 81°≈0.16.
飞机、山顶的海拔高度差为
BC×sin 81°≈14 831(m)，
20 250－14 831＝5 419(m)，
即山顶的海拔高度约为5 419 m.
14.(2026·南阳模拟)如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，求x的值;
依题意，得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
PC－PB＝1.5×20＝30(km)，
所以PB＝(x－12)(km)，PC＝(x＋18)(km).
在△PAB中，AB＝20 km，由余弦定理得
cos∠PAB＝＝.
同理，在△PAC中，cos∠PAC＝.
由于cos∠PAB＝cos∠PAC，
所以，
解得x＝(km).
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km).
作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，
PD＝PA·cos∠APD＝PA·cos∠PAB＝x·≈17.71(km).
所以目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.

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