资源简介

(共60张PPT)
1.3 相似图形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
相似图形
相似三角形
相似多边形
知识点
相似图形
知1－讲
1
1. 相似图形：直观上把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似图形.
形状相同，与位置、大小、方向无关
知1－讲
2. 相似图形与全等图形的关系：当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等.
知1－讲
特别解读
在两个大小不同的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形放大而成，或小的图形是由大的图形缩小而成.
知1－练
下列图形(如图1.3-1)中，不是相似图形的是( )
例1
知1－练
解题秘方：判断两个图形是否为相似图形，就是看这两个图形的形状是否相同.
答案：C
解：选项A，B，D 中图形的形状相同，符合相似图形的定义，是相似图形；选项C 中图形的形状不同，不符合相似图形的定义，不是相似图形.
知1－练
感悟新知
1-1.[期末·重庆江北区] 下列各选项中的两个图形，是相似图形的是(　　)
A
感悟新知
知2－讲
知识点
相似三角形
2
1. 相似三角形
感悟新知
知2－讲
相似三角形 定义 数学上，把三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形
图示
表示 如果△ ABC 与△ A′B′C′相似，且点A′，B′，C′分别与点A，B，C 对应，那么记作：△ ABC ∽△ A′B′C′
感悟新知
知2－讲
相似三角形 读法 △ ABC 相似于△ A′ B′ C′
性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例
相似比 定义 相似三角形的对应边的比叫作相似比
知2－讲
注意
用符号“ ∽” 表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. △ABC ∽△A′B′C′表示顶点A与A′，B与B′，C与C′分别对应.如果仅说“△ABC与△A′B′C′相似”，没有用“∽”连接，那么需要分类讨论它们之间的对应关系.
知2－讲
特别解读
1. 相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，也是相似三角形最重要的性质.
2. 相似三角形具有传递性，即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC ∽△A″B″C″ .
3. 相似三角形的相似比具有顺序性，即如果△ABC与△A′B′C′的相似比为k， 那么△A′B′C′与△ABC的相似比为.
知2－讲
2. 全等三角形与相似三角形的区别与联系
形状 大小 对应边 对应角 符号 相似比
全等三角形 相同 相等 相等 相等 ≌ 1
相似三角形 不一定相等 成比例 ∽ 正实数
知2－练
[母题 教材 P15 例]如图1.3-2，已知△ABC∽△ADE，∠ A＝70°，∠ B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.
(1)求△ABC与△ADE的相似比；
(2)求∠AED的度数和DE的长.
例2
解题秘方：紧扣“相似三角形定义中的对应角相等，对应边成比例”求解 .
知2－练
解：△ABC与△ADE的相似比为＝＝2.
(1)求△ABC与△ADE的相似比；
知2－练
解：因为∠A=70°，∠B=40°，
所以∠C=180°- ∠A- ∠B=180°-70°-40°=70°.
因为△ABC∽△ADE，所以∠AED= ∠C=70°，＝ .
又因为AB=6，BC=6，AD=3，所以＝，所以DE＝3.
(2)求∠AED的度数和DE的长.
知2－练
感悟新知
2-1. 如图，点 C， D 在线段 BE 上， △ ACD是 等边三角形， 且△ ACB ∽△ EDA．
(1)若 BC=9， AD=6，求 BE 的长；
知2－练
感悟新知
知2－练
感悟新知
(2)求∠ BAE 的度数 .
解：因为△ACD 是等边三角形，所以∠ACD＝60°.
因为△ACB∽△EDA，所以∠BAC＝∠E.
因为∠B＋∠BAC＝∠ACD＝60°，
所以∠B＋∠E＝60°.
所以∠BAE＝180°－(∠B＋∠E)＝120°.
知3－讲
知识点
相似多边形
3
相似多边形 定义 对于两个边数相同的多边形, 如果它们的对应角相等、对应边成比例, 那么这两个多边形叫作相似多边形
图示
表示 “四边形ABCD 与四边形A'B'C'D' 相似”记作“四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D'”
知3－讲
相似多边形 性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例
判定 定义法：(1)边数相同；(2)对应角相等；(3)对应边成比例. 三个条件缺一不可
相似比 定义 相似多边形的对应边的比是相似比
知3－讲
特别解读
1. 相似多边形的定义既可以作为相似多边形的一种判定方法, 又可以作为相似多边形的性质.
2. 相似多边形的对应角相等,但相等的两个角未必是对应角，要结合图形去观察它们的对应关系.
3. 在表示两个多边形相似时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
知3－练
感悟新知
如图1.3-3，点E为矩形ABCD的边AB上一点且满足AE
AB =，问当四边形ADFE为正方形时，矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？
例3
解题秘方：矩形的四个角都是直角，因此各角一定对应相等，再看对应边是否成比例即可.
知3－练
感悟新知
解：相似．理由如下：
因为四边形ADFE为正方形，所以AE=AD=EF，
因为 = ，所以=.
因为四边形ABCD和四边形EFCB都是矩形，且矩形的对边分别相等，所以这两个矩形的各对应边成比例.
又因为矩形各内角均为直角，所以对应角相等.
所以矩形ABCD和矩形EFCB相似.
知3－练
感悟新知
3-1. 如图，已知点O 是五边形ABCDE 内任意一点，GH=AB，HM=BC,MN=CD，NF=DE,FG=EA，且GH ∥ AB，HM ∥ BC，MN ∥ CD，
NF ∥ DE，FG ∥ EA. 试说明五边形
ABCDE 与五边形GHMNF 相似.
知3－练
感悟新知
解：因为GH=AB，HM=BC，MN=CD，NF=DE，FG=EA，所以=====.
因为GH∥AB，所以∠1=∠2.因为HM∥BC，所以∠3=∠4.
又因为∠GHM=∠1+∠3，∠ABC=∠2+∠4，
所以∠GHM=∠ABC.同理，∠HMN=∠BCD，∠MNF=∠CDE，∠NFG=∠DEA，∠FGH=∠EAB.
所以五边形ABCDE与五边形GHMNF相似.
知3－练
如图1.3-4，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥ BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，
B′C′＝12，∠C＝60°.
例4
(1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；
(2)求A′B′和BC的长；
(3)求∠D′的大小.
解题秘方：求相似多边形某些线段的长和某些角的度数时，可根据相似多边形对应边成比例和对应角相等来解题，解题的关键是找准对应边和对应角，从而列出正确的比例式和等式 .
知3－练
知3－练
解：k＝＝＝.
(1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；
因为梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知k＝，
所以＝，＝.
因为AB＝6，B′C′＝12，所以A′B′＝9，BC＝8.
(2)求A′B′和BC的长；
知3－练
解：由题意知，∠D′＝∠D.
因为 AD∥BC，∠C＝60°，
所以∠D＝180°－∠C＝120°.
所以∠D′＝120°.
(3)求∠D′的大小.
知3－练
感悟新知
4-1. 如图，四边形 ABCD ∽四边形 EFGH，求α ，β 的大小和 EH 的长度.
解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，
所以α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
所以在四边形ABCD中，β＝360°－83°－78°－118°＝81°.
因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以＝.
即＝，解得x＝28.所以EH＝28 cm.
知3－练
感悟新知
相似图形
相似图形
定义
性质
相似比
相似三角形
相似多边形
定义
性质
特殊到
一般
题型
相似多边形性质的应用
1
如图 1.3-5，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC∽矩形ABCD，已知AB=4.
例5
(1)求AD的长；
解题秘方：依据多边形相似得到对应边成比例，从而求得AD的长；
解：易知MN=AB，DM= AD= BC.因为矩形DMNC∽矩形ABCD，所以 = ，即 = .所以AD2=AB2. 又因为AB=4，所以AD=4 .
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比 .
解题秘方：求得相似多边形的对应边的比即得相似比 .
解：由(1)可知DM= AD= ×4 =2，
所以矩形DMNC与矩形ABCD的相似比
为 = = 2 .
技巧点拨
求相似多边形的相似比时,要先寻求一组对应边 ,再分别求出这一组对应边的大小即可. 注意 ,本题中 DM 的对应边是 AB,而不是BC.
题型
相似多边形的判定和性质的综合应用
2
在AB=20 m，AD=30 m 的矩形花坛ABCD的四周修筑小路
例6
解题秘方：两个多边形相似必须满足：对应角相等，对应边成比例，因此判断本题中两个矩形是否相似，还应看它们的各对应边是否成比例 .
(1)如果四周小路的宽均相等，如图1.3-6①，那么小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由 .
解：矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似 . 理由如下：
假设两个矩形相似，设小路的宽为 a m，
则 =，解得 a=0. 因为小路的宽不可能为 0 m，
所以假设不成立 .
所以矩形A′B′C′D′和矩形 ABCD 不相似 .
(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，如图 1.3-6 ②，试问当小路的宽 x(m)与 y(m)的比值是多少时(x解：当小路的宽 x(m)与 y(m)的比值是时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似 . 理由如下：
若矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，则=，所以=.所以当小路的宽 x(m)与 y(m)的比值是时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似 .
解题策略
(1)小路的宽是未知数 ,不能直接计算出两个矩形的对应边是否成比例 ,所以可以先假设两个矩形相似 ,得出对应边成比例 ,通过计算得出与已知条件或实际矛盾的结论 , 从而得出两个矩形不相似 .
易错点
对应关系不明确导致漏解
1
小明要扎两个形状相同的三角形风筝骨架，其中已扎好的一个三角形风筝骨架的三条框架长分别为3 cm，
4 cm 和 5 cm，而另一个三角形风筝骨架现在只有一根长18 cm的木条，小明应该再找两根多长的木条呢？
例7
解：设另外两根木条的长分别为x cm，y cm(x根据题意，得==或==或==，
解得或或
答：小明应该再找两根长分别为24 cm，30 cm 或
13.5 cm，22.5 cm 或10.8 cm，14.4 cm 的木条.
诊误区：
18 cm 长的木条可能会和3 cm 长的木条对应，也可能会和4 cm或5 cm长的木条对应,因此应分三种情况讨论,再列比例式求解.
考法
利用相似三角形的性质求线段的长
1
[中考·重庆]如图1.3-7，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
例8
试题评析：本题考查相似三角形的性质，根据对应边成比例列出比例式，将已知线段的长代入即可求解.
解：因为△ABO∽△CDO，所以=.
又因为BO=6，DO=3，CD=2，
所以=，所以AB=4.
答案：C
1. [期末 岳阳君山区]如图，有三个矩形，其中是相似图形的是(　　)
A．甲和乙
B．甲和丙
C．乙和丙
D．甲、乙和丙
B
2. 邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的窑厂. 如图，嘉嘉用两根木棍AC，BD制成一个测量工具，测量白瓷瓶瓶底内径AB的长，若两根木棍交于点E，且△ABE∽△CDE， =3，CD=2 cm，
则AB的长为( )
A．4 cm B．8 cm
C．6 cm D．9 cm
C
3. [新考向 数学文化]如图①是古希腊时期的帕特农神庙，把图①中用虚线表示的矩形画成图②中的矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB 为边在矩形ABCD内作正方形ABEF时，矩形CDFE与矩形ABCD相似，则BEEC等于
(　　)
A． B．
C． D．
D
4. 如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为________.
5. [新考向 知识情境化]开本指书刊幅面的规格大小．如
图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2 开纸，再对折得到4 开纸，以此类推可以得到8 开纸、16 开纸……这些开本纸都是相似的图形，则这些相
似的矩形的长与宽的比值是________.
6. [母题 教材P17 习题T2]如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.
(1)α= ________ ，它们的相似比是________；
(2)求x，y 的值.
83°
解：因为四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
所以====，
解得x=12，y=.
7.[期末·长沙芙蓉区]如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
解：不相似.理由如下：
因为原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4，
所以划分后小矩形的长AD=4，宽AE=6÷3=2.
因为==，==2，≠2，
所以原矩形与每个小矩形的对应边不成比例.
所以每个小矩形与原矩形不相似.
(2)若原矩形的长AB=a，宽BC=b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a 与宽b 应满足的关系式．
解：因为原矩形的长AB=a，宽BC=b，
所以划分后小矩形的长AD=b，宽AE=.
又因为每个小矩形与原矩形相似，所以=.
所以ab=，所以a2=3b2.

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