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2025-2026学年吉林省长春市第二中学高一（下）第二学程数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.从这个整数中随机抽取个数，记事件“抽到小于的数”，事件“抽到大于的数”，事件“抽到大于的偶数”，则( )
A. 和不互斥 B. 和互斥且对立 C. 和不互斥 D. 和互斥且对立
3.甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶次，命中环数的频率分布条形图如图设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则( )
A. B. ，
C. D. ，
4.瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为( )
A.
B.
C.
D.
5.设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若与互斥，则
6.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标如图是某地月日到日日均值单位：的统计数据，则下列叙述错误的是( )
A. 这天的日均值的第百分位数是
B. 从日到日，日均值逐渐降低
C. 这天中日均值的平均数是
D. 从这天的日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
7.如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是那么测得建筑的高度为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
10.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 正方体的外接球表面积为
C. 若平面，则的轨迹长度为
D. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是( )
A.
B. 若点是的重心，则的面积为
C. 的最小值为
D. 若点是的外心，且，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若事件与互斥，且，，则 ．
13.如图，三棱锥中，平面，与平面所成角为，，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是 ．
14.已知非零向量，，满足，，对于任意实数满足，，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
Ⅰ求；
Ⅱ求向量的夹角的余弦值；
Ⅲ若与垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，．
求角的大小；
求的值．
17.本小题分
某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图分第一五组区间分别为，，，，．
求的值，并利用频率分布直方图，估计名市民的年龄的中位数结果保留两位小数；
若从第，组用分层抽样的方法选取名市民进行座谈；
第，组分别抽取多少人；
从这名市民中选取人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．
18.本小题分
如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求证：平面；
求二面角的余弦值．
注：本题用空间向量方法不给分
19.本小题分
定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形如图，已知平面凸四边形中，，，．
若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且；
求的长；
若，求的值．
若，求四边形面积的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】，中位数： 应从第，组中分别抽取人，人；
18.【答案】证明：连接，交于点，连接，
因为是菱形，菱形对角线互相平分，故是中点，
又是中点，因此在中，是中位线，得，
又平面，平面，
所以平面 证明：因为是菱形，，，
故是正三角形，是中点，由正三角形三线合一得，
又平面平面，交线为，且平面，
由面面垂直的性质定理得：平面
19.【答案】；；
．
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