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2025-2026学年重庆市第八中学高二（下）阶段性检测数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.随机变量，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知某厂甲、乙两车间生产同一批商品，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为，现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为( )
A. B. C. D.
3.对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是( )
A. B. C. D.
4.用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：
下列叙述正确的是( )
A. 某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学
B. 某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学
C. 在犯错概率不超过的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关”
D. 在犯错概率不超过的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”
5.空间中有三组平行平面，第一组有个，第二组有个，第三组有个，不同两组的平面都相交且交线不都平行，则这些平面可以构成平行六面体的个数为( )
A. B. C. D.
6.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
7.甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为( )
A. B. C. D.
8.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的个小球，并将它们编号为，，，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过次摸球未能停止摸球”的条件下，经过次摸球停止摸球的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件互为对立事件
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则事件与事件相互独立
10.已知函数有两个极值点，，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B.
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
11.将一颗质地均匀的骰子点数为连续抛掷次，记录向上的点数，则( )
A. 三个点数之积大于的概率为
B. 三个点数之和大于的概率为
C. 若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为
D. 若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为 ．
13.已知实数、、、、满足，则、、、、的方差的最大值为 ．
14.已知函数若函数为自然对数的底数恰有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，、分别是、的中点．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
16.本小题分
年春节期间，电影飞驰人生、镖人持续火爆，现对电影镖人从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准．
日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六
上映第天
票房单位：亿元
根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入计算结果均保留一位小数；
在某天放映结束后，随机抽取名观众，发现其中有人看过镖人，人看过飞驰人生，只有人两部电影均没看过，现从这人中随机抽取人，记为抽取的人中两部电影都看过的人数，求的分布列及方差，参考数据及公式如下：
参考数据：，，，．
参考公式：，．
17.本小题分
已知双曲线：，焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点．
求双曲线的标准方程与渐近线方程；
过点作斜率为的直线，与双曲线交于，两点，是否存在实数使得？若存在，请求出的值；若不存在说明理由；
点为双曲线右支上的动点，求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
设函数，求的最小值；
对任意，都有，求的取值范围；
对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求的取值范围．
19.本小题分
年马年春晚武节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛假设每局比赛中，机器人获胜的概率为，少年武者获胜的概率为，且每局胜负相互独立比赛采用局胜制即先赢得局者获胜．
当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望；
设在该赛制下机器人获胜的概率为．
求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利；
随着的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】．
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：连结，，
为矩形，
，点为中点，
又为的中点；，
又平面，平面，
平面
16.【答案】线性回归方程为，第七日票房预测为亿元 的分布列为：
方差或
17.【答案】双曲线：，则渐近线方程为 不存在，理由如下：
设、
由题意可得直线的方程为，
联立，消去可得，
则，且，
若，则，即有，
即，则该方程无解，故不存在这样的
18.【答案】解：由题意可知：，，则，
可知在内单调递增，且，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以在内的最小值为．
若，，可得，
原题意等价于在内恒成立，
令，，则，
令，，则，
由可知：在内单调递增，则，
可得，可知在内单调递增，
则，可得，可知在内单调递增，
则，可得，
所以实数的取值范围为．
令，，则，
原题意等价于对任意，与在内有且仅有个交点，
则在内的值域为，且为单调函数，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
可知在内单调递增，
则在内恒成立，
可得，即在内恒成立，
因为，
由可知：当时，，即；
当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
可得，即，
所以实数的取值范围为．
19.【答案】分布列为：
期望为 ，，，赛制对机器人更有利
随着的增大，机器人获胜的可能性越来越大．
证明如下：
由可知，，
下面讨论局与前局的递推关系：
若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人都要赢才能获胜，
其概率为，即．
若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜，
其获胜概率为，即．
若前局中机器人至少赢了局，则后两场机器人无论输赢都获胜，
其获胜概率为．
，
，
，，即
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