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2025-2026学年湖南省湘潭市电机子弟中学高一（下）摸底
数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知命题：，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角的终边经过点，则( )
A. B.
C. D.
10.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则( )
A. 直线与直线所成的角是
B. 直线与平面所成的角是
C. 二面角的平面角是
D. 平面截正方体所得的截面面积为
11.已知中，其内角，，的对边分别为，，下列命题正确的有( )
A. 若，，，则的面积为
B. 若，，，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，则实数 ．
13.已知圆台的上底面和下底面的半径分别为，，母线长为，则该圆台的体积为 ．
14.若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，，．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ若，求
16.本小题分
已知函数．
求的定义域；
若，求的值；
，成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数的最大值为．
求常数的值；
求函数的单调递减区间；
求使成立的的取值集合．
18.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面．
求证：平面；
求证：平面平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ求取值范围；
Ⅲ如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点使得线段，，求面积的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，
整理得：
解得：，或
即
解得，或
当时，，
当时，，
故的值为或．
16.【答案】解：由，得，
则函数的定义域为；
由，得，即；
，成立，即成立，
所以，，
而函数在上单调递增，
则最小值为，
则，即实数的取值范围是．
17.【答案】解：由题意：函数，
化简得：
，
的最大值为，
，解得：．
由可知．
根据三角函数的性质可得：．
即，
解得：，，
的单调递减区间为；
由题意：，即，
可得：．
，．
解得：，．
成立的的取值范围是，．
18.【答案】解：证明：设交于，连接．
为正方形，为中点，
又为的中点，，
又平面，平面，
平面．
证明：四棱锥的底面为正方形，，
平面，平面，
，
又，确定平面，
平面．
又平面，
平面平面．
连接，
平面，
是在平面上的射影，
即为直线与平面所成的角，
，
，
．
19.【答案】Ⅰ中，面积为，又，；
所以，
所以，
又，
所以；
Ⅱ由得，，得，
所以，
由，
所以，
所以，
所以的取值范围是；
Ⅲ当取得最大值时，，解得；
令，，，
则，
；
又，
，
．
．
当时等号成立；
面积的最大值为．
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