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2025-2026学年内蒙古乌兰察布市九师联盟高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知点是函数，图象的一个对称中心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.一组从小到大排列的数据：，，，，，若这组数据的第百分位数比平均数大，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知直线与平面，，满足且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，点为的中点，为上的点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，则( )
A. B.
C. D.
10.设为数列的前项和，已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
11.已知抛物线：的焦点为，直线：与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则( )
A. 的准线方程为 B.
C. 当时，的面积为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 结果用数字作答
13.已知双曲线的焦距为，且的渐近线与圆相切，则的方程为 ．
14.已知数列的前项和为，且，设为数列的前项和，则 符号表示不超过的最大整数，例如，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
求角；
若的面积为，求的最小值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，是线段上靠近的三等分点，，分别是线段，的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
某用户只在某外卖平台的甲、乙、丙三家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲、乙、丙餐厅的概率分别为、、，甲、乙、丙餐厅的准时送达率分别为、、已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立．
求该用户每次外卖点餐准时送达的概率；
平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付元；若外卖准时送达，则平台不赔付该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由．
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为，点在上．
求的离心率；
若点在上，为坐标原点，求面积的最大值；
设，分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为异于点，直线与的另一个交点为异于点，求直线与轴的交点坐标．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
证明：存在唯一的极值点；
当恒成立时，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】证明：在中，因为，分别为线段，的中点，所以，
因为，所以，
又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面
17.【答案】 设该用户购买“准时保”的净收益为元，则的取值可能为，，
结合有该用户每次外卖点餐准时送达的概率为，
则，，
所以，即亏损期望是元，超过了元，
所以他不愿意购买“准时保”
18.【答案】
19.【答案】 ，
当时，，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以为函数的唯一极值点且为极小值点；当时：，
当时，，，所以，
所以在上单调递增，无极值点．
当时，，
设，恒成立，所以在上单调递增，
令得，所以，
所以，所以，
设，易知在上单调递增，
，
令，设，，
当时，，单调递减，所以，所以，
而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的，
使得，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
故是函数唯一的极值点且为极小值点，
综上所述，存在唯一的极值点且为极小值点 设的极小值点为，由可知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
又，所以，所以，
若恒成立，则，
令，则，要证，
即证，
设，在上单调递减，
所以，
令，则，
令，因为，
仅当，时，“”成立，所以单调递增，
所以当时，，单调递增，，所以，
所以，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以，所以成立
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