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2025-2026学年江苏省扬州中学高二（下）自主学习评估数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班有名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是( )
A. B. C. D.
2.已知正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则为( )
A. B. C. D.
4.二项式的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在处的切线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若事件，满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 若，则
C. D.
10.某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数每一位上数字只能是或，例如出现“”，其中的各位数字中出现的概率为，出现的概率为，各个位数之间互相独立记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 的数学期望
D. 随机变量的方差
11.如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，则下列说法正确的是( )
A.
B. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为
C. 当二面角的余弦值为时，
D. 若二面角的大小为，且时，直线与所成角的余弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某产品的广告投入万元与销售额万元的统计数据如下：
若关于的线性回归方程为，则 ．
13.已知盒子中有除颜色外完全相同的个乒乓球，其中有个白色的，个橙色的若每次随机抽取个球，确定颜色后再放回，直到两种颜色的球都取到后停止取球，则第次取球后恰好停止的概率为 ．
14.函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床
乙机床
合计
甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：
16.本小题分
已知的展开式中第项与第项的二项式系数之比是．
求二项展开式中各项二项式系数和；
求二项展开式中系数最大的项．
17.本小题分
从年月日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生二胎政策的态度，某市选取后作为调查对象，随机调查了人，其中打算生二胎的有人，不打算生二胎的有人．从这人中随机抽取人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
若以这人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市后中随机抽取人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正弦值；
若棱上一点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求．
19.本小题分
已知函数为函数的导函数．
若，讨论在上的单调性；
若函数，且在内有唯一的极大值，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】甲机床生产的产品中一级品的频率为：．
乙机床生产的产品中一级品的频率为：．
依据小概率值的独立性检验，可认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
16.【答案】
17.【答案】解：由题意知，的值为，，，．
，，
，．
的分布列为：
．
由题意可知，全市后打算生二胎的概率为，，，，且，
．
的分布列为：
．
18.【答案】证明：因为平面，平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：以为原点，，所在直线分别为，轴，作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设与平面所成角为，则，，
所以与平面所成角的正弦值为．
解：由知，，平面的一个法向量为，
所以，，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，，
整理得，即，
解得或舍负，
所以．
19.【答案】答案见解答
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