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2026年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果函数与的图象有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
3．解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（　　）
A． B． C． D．
4．下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　）
A．上海市16个区的人口数
B．张爷爷连续7天定时测得的体温
C．九（3）班36个学生的体重
D．向阳菜市场15种蔬菜的价格
5．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，现有两个全等三角形，它们的三边长分别为3、4、5，将它们拼接成一个图形，拼接方式满足：（1）两个三角形间有一条等长边完全重合；（2）两个三角形拼接在等长边的两侧，那么共能拼接成形状不同的四边形的种数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【各题答案，请填写在答题纸的相应题号位置中.】
7．因式分解：　　 ．
8．方程的解是　 　．
9．已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　　 ．
10．已知一个平面图形，其下方为一个矩形，上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），设，，那么这个平面图形的面积是　　 （用、的代数式表示）．
11．已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是　　 ．
12．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个三角形的顶角的度数是 　　 ．
13．已知向量与方向相反，且，那么　　 （用向量表示）．
14．现有4张卡片，上面分别标记着3、4、5、6，从中随机抽取2张，将上面标记的两个数分别作为分子和分母，所得分数是最简分数的概率是　　 ．
15．社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　　 份．
套餐需求量统计表
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
数量 12 10 10 12 10
16．已知抛物线，将其向右平移个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么的值是　　 ．
17．已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是　　 ．
18．如图，正方形内接于正方形，即点、、、分别在正方形的四边上．请画出点、、、分别关于、、、的对称点、、、，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是　　 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，、是△边、上点，、交于点．已知．
（1）求的值；
（2）如果，，求的值．
22．（10分）如图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量个计量单位与时间分钟之间大致符合函数，为常数）．
（1）求的值；
（2）如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．
（参考数据：，
23．（12分）学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔．
（1）雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为、、、，接着测量与的长，如果，那么桌面不是等腰梯形；如果，再继续测量、、与的长，如果，，或者，，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形．
其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）；
（2）请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤．
24．（12分）如图，直线交轴、轴于点、．抛物线经过点、．
（1）下列表述中，正确的是　　
（A）如果抛物线与轴在点的右边还有一个公共点，那么；
（B）如果抛物线与轴在点的右边还有一个公共点，那么；
（C）如果抛物线与轴在点的左边还有一个公共点，那么；
（D）如果抛物线与轴在点的左边还有一个公共点，那么．
（2）记抛物线与轴异于的公共点为，抛物线的顶点为．
①当点到、两点的距离相等时，求抛物线的表达式；
②如果点关于轴的对称点恰好在直线上，求点的坐标．
25．（14分）如图，圆心是一处激光光源，照射在圆的弦所在的挡板上，且，现在弦上两个位置、处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧上的两个亮点、恰好能将弧三等分．
（1）求证：；
（2）试说明：点、不是弦的两个三等分点；
（3）假设弦上的开缝位置、恰好是弦的两个三等分点，试画出新的激光光源的位置，使得激光束通过缝隙、后最终照射在弧上的两个亮点恰好是、，并求的大小．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：，，都是最简二次根式，
中被开方数含分母，不是最简二次根式，
故选：．
2．如果函数与的图象有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
解：由题意可得：联立有解，且．
消去得：，
两边同乘得：，
整理得：，
，
，即分子分母同号．
可得两种情况：
①，解得；
②，解得；
结合选项，只有满足条件．
故选：．
3．解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（　　）
A． B． C． D．
解：令，则，
原方程可变形为：．
整理，得．
故选：．
4．下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　）
A．上海市16个区的人口数
B．张爷爷连续7天定时测得的体温
C．九（3）班36个学生的体重
D．向阳菜市场15种蔬菜的价格
解：．上海市16个区的人口数适合用条形图，不符合题意；
．张爷爷连续7天定时测得的体温适合用折线图，符合题意；
．九（3）班36个学生的体重适合用条形图，不符合题意；
．向阳菜市场15种蔬菜的价格适合用条形图，不符合题意．
故选：．
5．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
直线经过点，
直线被圆所截得的弦最长，截得的弦为直径．
故选：．
6．如图，现有两个全等三角形，它们的三边长分别为3、4、5，将它们拼接成一个图形，拼接方式满足：（1）两个三角形间有一条等长边完全重合；（2）两个三角形拼接在等长边的两侧，那么共能拼接成形状不同的四边形的种数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：两个三角形在边长为5的两侧拼接，可形成2个不同的四边形；两个三角形在边长为3的两侧拼接，可形成1个平行四边形；两个三角形在边长为4的两侧拼接，可形成1个平行四边形．
所以共能拼接成形状不同的4个四边形．
故选：．
二、填空题：（共12题，每题4分，满分48分）
7．因式分解： ．
解：原式．
故答案为：．
8．方程的解是　　．
解：，
两边平方，得
，
移项，得
，
，
或，
解得，或，
检验，当时，方程左边等于右边，故是原无理方程的解，
当时，方程左边不等于右边，故不是原无理方程的解，
故答案为：．
9．已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ．
解：由条件可知：△，
整理得，
解得．
故答案为：．
10．已知一个平面图形，其下方为一个矩形，上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），设，，那么这个平面图形的面积是 （用、的代数式表示）．
解：上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），，
上部分的面积为，
，，
矩形面积，
故这个平面图形的面积是，
故答案为：．
11．已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是　10　 ．
解：设直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
点的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
，
．
故答案为：10．
12．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个三角形的顶角的度数是或 ．
解：等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，根据等腰三角形的性质，分两种情形画出图形分别求解如下：
①如图1，当是钝角时，
由题意：，，，
，
②如图2，当是锐角时，
由题意：，，，
，
，
故答案为：或．
13．已知向量与方向相反，且，那么 （用向量表示）．
解：向量与方向相反，且，那么．
故答案为：．
14．现有4张卡片，上面分别标记着3、4、5、6，从中随机抽取2张，将上面标记的两个数分别作为分子和分母，所得分数是最简分数的概率是 ．
解：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中所得分数是最简分数的可能性有8种，
所得分数是最简分数的概率为，
故答案为：．
15．社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　864　 份．
套餐需求量统计表
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
数量 12 10 10 12 10
解：食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐为：（份，
故答案为：864．
16．已知抛物线，将其向右平移个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么的值是　3　 ．
解：，
将其向右平移个单位，平移后的解析式为：，对称轴为直线，
平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，
平移后抛物线过原点，
，
解得或（舍去），
故答案为：3．
17．已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是 ．
解：如图，连接，，，，，交于点．
设．
，，
垂直平分线段，
，
弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，
，，
，，
，，
圆与的半径之比．
故答案为：．
18．如图，正方形内接于正方形，即点、、、分别在正方形的四边上．请画出点、、、分别关于、、、的对称点、、、，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是 ．
解：，
四边形，是正方形，
，，
，，
△△，
同理，△△△△，
由对称可得，，，
，
点在上，
同理，点，，在，，上，
由对称可设，
，
，
，
，，
，
正方形正方形，
，
．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：根据绝对值的性质，零次幂，特殊三角函数值可得：
原式．
20．（10分）解方程组：．
解：把第二个方程变形为：，
，
，
．
把，看作是方程的两根，
，
，，
当时，；当时，，
，都大于0，分母有意义，
方程组的解为或．
21．（10分）如图，、是△边、上点，、交于点．已知．
（1）求的值；
（2）如果，，求的值．
解：（1）连结，如图，
，，
△△，
，，
，
△△，
；
（2）过点作于点，如图，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
△△，
，
即，
解得，
，
在△中，，，
，
．
22．（10分）如图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量个计量单位与时间分钟之间大致符合函数，为常数）．
（1）求的值；
（2）如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．
（参考数据：，
解：（1）由题意可知，当时，，
将点代入函数中，得：
，
解得，
答：的值为4；
（2）由（1）得函数解析式为，
当时，
，
解得：，
因为，所以：
（分钟），
将分钟换算成小时：（小时），
因为结果精确到1小时，所以，
答：这种抗过敏药物隔5小时需服用一次．
23．（12分）学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔．
（1）雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为、、、，接着测量与的长，如果，那么桌面不是等腰梯形；如果，再继续测量、、与的长，如果，，或者，，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形．
其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）；
（2）请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤．
解：（1）已知：，，，
求证：四边形是等腰梯形．
证明如下：如图所示，设，交于点，
在△和△中，
，
△△，
；
同理可证明△△，
；
，．
．
．即．
．
，，
四边形是等腰梯形；
（2）如图所示，测量出的长，在上取，连接，
测量，，的长，若，那么四边形是等腰梯形，若不满足，则四边形不是等腰梯形．
24．（12分）如图，直线交轴、轴于点、．抛物线经过点、．
（1）下列表述中，正确的是
（A）如果抛物线与轴在点的右边还有一个公共点，那么；
（B）如果抛物线与轴在点的右边还有一个公共点，那么；
（C）如果抛物线与轴在点的左边还有一个公共点，那么；
（D）如果抛物线与轴在点的左边还有一个公共点，那么．
（2）记抛物线与轴异于的公共点为，抛物线的顶点为．
①当点到、两点的距离相等时，求抛物线的表达式；
②如果点关于轴的对称点恰好在直线上，求点的坐标．
解：（1）直线交轴、轴于点、，
，，
抛物线经过和，
因此：当时，，即抛物线的常数项为4．
抛物线解析式为，
由抛物线与轴的一个交点是，设另一个交点为，，
利用根与系数的关系可得：，即，
．若另一交点在的右边，则，
若，可解得；
若，此时，不等式无解；
故，符合题意；
．由选项分析可知选项错误；
．若另一交点在的左边，
当时，抛物线开口向上，，解得：；
若，则，即小于3；
但时，，
也满足在左边，故不能推出，即选项错误；
．由选项分析可知选项错误；
故答案为：；
（2）①设，
由，即，
，
解得：，
，
抛物线过，，，
设，代入得：，
解得：，
抛物线表达式为：，
即；
②设抛物线与轴的交点为和，，
则抛物线的对称轴为，顶点的横坐标为，
设抛物线为，代入得：，
解得：，
，
抛物线的顶点坐标为，
点关于轴的对称点为，且该点在直线上，
，
解得（与重合，舍去）或，
点的坐标为．
25．（14分）如图，圆心是一处激光光源，照射在圆的弦所在的挡板上，且，现在弦上两个位置、处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧上的两个亮点、恰好能将弧三等分．
（1）求证：；
（2）试说明：点、不是弦的两个三等分点；
（3）假设弦上的开缝位置、恰好是弦的两个三等分点，试画出新的激光光源的位置，使得激光束通过缝隙、后最终照射在弧上的两个亮点恰好是、，并求的大小．
【解答】（1）证明：点、恰好将三等分，
，
，
如图：取的中点，连接，
，
，，
，
，
，
平分，
在△中，，平分，
，
，，
；
（2）证明：由（1）可得：，
，
，
，，
，
点、恰好将三等分，
，，
，
，
，
，
，
，同理可得：，
，
如图：过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，，，，
，
，
设，则，，
，，
，
，
，即点不是的三等分点，
同理：点不是的三等分点，
点、不是弦的两个三等分点；
（3）解：如图：连接，，，
点、恰好将三等分，
，，
，
，
，
，
，
，同理可得：，
，
，
，
，
，
设，则，
由（2）解答过程可知：，
，
解得：，
取的中点，则，
，，
，，
，
，即；
如图，连接，并延长交于，由对称性可知点在的垂直平分线上，同时也在的垂直平分线上，连接延长交、于，，
，，，
、恰好是弦的两个三等分点，，
，
，
连接，过作，则，，，
，
设，则，
，
△△，
，即，
解得：，
，
，
，
，
．

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