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2025-2026学年广西贵港市桂平市浔州高级中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
3.在边长为的正三角形中，( )
A. B. C. D.
4.“”是“函数是奇函数”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.某地一座层铁塔自下而上逐渐缩小，为实现亮化工程，铁塔顶层设置盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，那么该铁塔共需设置的灯盏数量是( )
A. B. C. D.
6.抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“两个点数都出现偶数”，表示事件“在第一枚的点数是偶数的条件下，第二枚的点数也是偶数”，则关于事件、的概率大小关系成立的是( )
A. B. C. D. 无法比较大小
7.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便如微信，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”“群”里的人彼此不一定是“好友”关系共同交流如果某人在微信上发了朋友圈，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到现有一个人的“群”，其中人在朋友圈上发了一条信息，“群”里有人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有种．
A. B. C. D.
8.已知离散型随机变量的分布列如表所示．
则常数的值是( )
A. 或 B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.函数部分图象如图所示，且，对于任意，，且，若，有，则( )
A. 的最小值为
B.
C. 在上是增函数
D. 在上是增函数
11.已知，，，四点均在以点为球心的球面上，且，，若球在球内且与平面相切，则( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 球直径的最大值为 D. 球直径的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数是 ．
13.已知等差数列的前项和为，且，则 ．
14.已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，求面积的最大值．
16.本小题分
某家电公司销售部门共有位销售员，每位部门对每位销售员都有万元的年度销售任务，已知这位销售员去年完成销售额都在区间单位：百万元内，现将其分成组，第组，第组，第组，第组，第组对应的区间分别为，，，，，绘制出频率分布直方图．
求的值，并计算完成年度任务的人数；
用分层抽样从这位销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；
现从中完成年度任务的销售员中随机选取位，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的位销售员在同一组的概率．
17.本小题分
如图，正三棱柱的所有棱长均，为棱不包括端点上一动点，是的中点．
Ⅰ若，求的长；
Ⅱ当在棱不包括端点上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若曲线与直线相切，求实数的值；
若函数有两个零点，，证明：．
19.本小题分
已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线．
求的方程；
若过定点且斜率存在的直线与曲线交于，两点，试探究：
在轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
若为平面内一动点，直线，，斜率的倒数成等差数列，则点是否在某定直线上？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：Ⅰ在中，已知等式，
利用正弦定理化简得：，
整理得：，即，
，
为三角形内角，
；
Ⅱ，，
由余弦定理得：，即，
当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
则面积的最小值为．
16.【答案】解：，解得，
完成完成年度任务的人数人，
这组的人数比为：：：：：：：：，
故这组分别应抽取的人数为，，，，人
设第四组的人用，，表示，第组的人用，，表示，
从中随机抽取人的所有情况如下，，，，，，，，，，，，，，共种，其中在同一组的有，，，，，共种，
故获得此奖励的位销售员在同一组的概率．
17.【答案】解：Ⅰ由，，知，
又平面平面，所以平面
而平面，，又所以平面，
所以E.易知此时为的中点，故BD分
Ⅱ以为原点，为轴，为轴，过作垂直于平面的垂线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
设 ，则，，，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
由于，故
即平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为分
18.【答案】 证明：不妨设，
由得，即，
所以
，设，则，
则，设，
则，即函数在上单调递增，
所以，从而，
即
19.【答案】 时，直线，的斜率之积为定值；点在定直线上
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