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(共25张PPT)
专题强化练
专题强化课一　动态平衡　平衡中的临界、极值问题
(40分钟　70分)
一、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分。
1.中国人使用筷子至少有3 000年的历史,在汉代时筷子称为“箸”,明代开始改称
“筷”。如图所示,某次游戏中,用不锈钢筷子夹住质量为m的玻璃球,已知两根筷子
均在同一竖直平面内,小球对左侧筷子的弹力大小为F1、对右侧筷子的弹力大小为
F2,忽略筷子与小球间的摩擦。若保持右侧筷子竖直,使左侧筷子与竖直方向的夹
角θ逐渐增大,且小球一直静止,下列说法正确的是 (　　)
A.该过程中F1逐渐增大
B.该过程中F2逐渐减小
C.该过程中F1先减小再增大
D.左、右两侧筷子对小球的弹力的合力不断减小
√
【解析】选B。由牛顿第三定律可知,小球对筷子的弹力大小与筷子对
小球的支持力大小相等。对小球受力分析,如图所示。
根据平衡条件可得F1sinθ=mg,F2=,若保持右侧筷子
竖直,使左侧筷子与竖直方向的夹角θ逐渐增加,可知该
过程中F1和F2都逐渐减小,故A、C错误,B正确;左、右
两侧筷子对小球的弹力的合力与小球的重力等大反向,可知保持不变,
故D错误。
2.如图甲所示为烤肠机,香肠放置在两根水平的平行金属杆中间,其截面图如
图乙所示。假设香肠可视为质量为m的均匀圆柱体,烤制过程中香肠质量不
变,半径变大。忽略摩擦及金属杆的热胀冷缩,重力加速度为g。下列说法正
确的是 (　　)
A.香肠未烤前,金属杆1对香肠的支持力大
小为mg
B.烤制过程中,金属杆1对香肠的支持力逐渐增大
C.香肠烤熟后,香肠对金属杆1的压力比烤熟前大
D.香肠烤熟后与烤熟前相比,两根金属杆对香肠的合力不变
√
【解析】选D。对香肠受力分析如图所示
根据平衡条件有N1=N2,2N1cosθ=mg
解得香肠未烤前,金属杆1对香肠的支持力大小为N1=N2=>mg
故A错误;
设金属杆中心之间的距离为d,金属杆的半径为R,香肠的半径为r,
根据几何关系有sinθ=
烤制过程中,香肠半径变大,sinθ变小,cosθ变大,金属杆1对香肠的支持力逐渐减小;香肠烤熟后,香肠对金属杆1的压力比烤熟前小,故B、C错误;香肠烤熟后与烤熟前相比,两根金属杆对香肠的合力与香肠的重力平衡,等大反向,故两根金属杆对香肠的合力不变,故D正确。
3.如图所示,甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆,甲的右
侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等,柱体的曲面和挡板可视
为光滑,开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向,将挡板缓慢地向右移动,直
到圆柱体甲刚要落至地面为止,整个过程半圆柱乙始终保持静止,那么半
圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.
√
【解析】选A。分析可知,只要摩擦力最大时刚好不滑动,此时对应的摩
擦因数最小。对甲、乙整体分析有N=2mg,f=F板,
设O1O2与水平面的夹角为θ,对甲,
由平衡条件得F板=
联立解得f=
可知夹角越小,f越大,由几何关系得,θ最小为30°。则f==μN=μ·2mg
解得μ=,故选A。
4.(多选)如图所示,竖直墙壁与光滑水平地面交于B点,质量为m1的光滑半圆柱体紧
靠竖直墙壁置于水平地面上,O1为半圆柱体截面所在圆的圆心,质量为m2且可视为
质点的均匀小球O2用长度等于A、B两点间距离的细线悬挂于竖直墙壁上的A点,小
球静置于半圆柱体上,当换用质量不变,而半径不同的光滑半圆柱体时,细线与竖直
墙壁的夹角θ就会跟着发生改变。已知重力加速度为g,不计各接触面间的摩擦,则
下列说法正确的是(　　)
A.当θ=60°时,半圆柱体对地面的压力大小为m1g+m2g
B.当θ=60°时,小球对半圆柱体的压力大小为m2g
C.换用不同的半圆柱体时,半圆柱体对竖直墙壁的最大压力大小为m2g
D.换用半径更大的半圆柱体时,半圆柱体对地面的压力保持不变
√
√
【解析】选A、C。对小球进行受力分析如图甲所示,连接O2B和O1O2,由几何关
系可知θ=α,小球受力平衡,有FN1=m2gsinθ,FT=m2gcosθ。对小球和半圆柱体整
体进行受力分析,整体受地面的支持力FN、墙壁的弹力F、细线的拉力FT、重力
(m1+m2)g,如图乙所示,整体受力平衡,则在竖直方向上有FN+FTcosθ=(m1+m2)g,
水平方向上有F=FTsinθ。当θ=60°时,FN1=m2g,由牛顿第三定律得小球对半圆
柱体的压力大小为m2g,B错误;F=FTsinθ=m2gsin2θ,当θ=45°时,Fmax=m2g,C
正确;FN=(m1+m2)g-m2gcos2θ,当θ=60°时,FN=m1g+m2g,
当换用半径更大的半圆柱体时,θ改变,FN改变,由牛顿第
三定律可知A正确,D错误。
5.如图所示,质量相等的物块A、B放在水平地面上,用绕过动滑轮C的轻绳连
接。大小为F的力作用在滑轮上,方向指向右上方,作用在两物块上的轻绳在
同一竖直面内,绳AC与水平方向的夹角为37°,BC绳与水平方向的夹角为53°,
不计滑轮的大小及滑轮的质量,A、B保持静止,两物块与水平面的动摩擦因数
均为0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,保持F方向不变,缓慢增大F,则(　　)
A.物块A先滑动
B.物块B先滑动
C.物块A、B同时滑动
D.不能确定哪个物块先滑动
√
【解析】选A。设轻绳上拉力为T,滑轮受力分析如图所示,
则2Tcos45°=F
解得T=F,假设A先滑动,当A刚要滑动时
2Tcos37°=μ(mg-Tsin37°)
解得T=mg
此时Tcos53°=<μ(mg-Tsin53°)=
因此假设成立。
6.抖空竹是一种传统杂技。如图所示,表演者一只手控制A不动,另一只
手控制B沿图中的四个方向缓慢移动。忽略空竹转动的影响,不计空竹
和轻质细线间的摩擦,且认为细线不可伸长。下列说法正确的是(　　)
A.沿虚线a向左移动时,细线的拉力增大
B.沿虚线b向上移动时,空竹向左上方移动
C.沿虚线c斜向上移动时,细线的拉力不变
D.沿虚线d向右移动时,细线对空竹的合力增大
√
【解析】选B。空竹受力分析如图所示。
根据平衡条件可得2Fsinθ=mg
设线长为L,由几何关系可得cosθ=
沿虚线a向左移动时,s减小,θ增大,细线的拉力减小,故A错误;沿虚线b向
上移动时,s不变,θ不变,细线的拉力不变,但右侧细线变长,左侧变短,左侧
A不动,故空竹会向左上方移动,故B正确;沿虚线c斜向上移动时,s增大,θ
减小,细线的拉力增大,故C错误;沿虚线d向右移动时,s增大,θ减小,细线
的拉力增大,但细线对空竹的合力不变,等于空竹的重力,故D错误。
7.(2026·深圳模拟)如图所示,一定质量的物体通过轻绳悬挂,结点为O。
人沿水平方向拉着OB绳,物体和人均处于静止状态。若人的拉力方向不
变,缓慢向左移动一小段距离,下列说法正确的是 (　　)
A.OA绳中的拉力不变
B.OB绳中的拉力逐渐减小
C.地面给人的摩擦力逐渐增大
D.若OA绳、OB绳所能承受的最大拉力相同,则OB绳会先断
√
【解析】选C。根据矢量三角形可知,当人的拉力方向不变,缓慢向左移
动一小段距离,则OA与竖直方向的夹角变大,OA的拉力由图中1位置变
到2位置,所以OA绳中的拉力变大,OB绳中的拉力变大,故A、B错误;由
于OB绳中的拉力变大,对人分析由平衡可知,地面给人的摩擦力逐渐增
大,故C正确;根据矢量三角形可知,由于OA为三角形斜边长,OB为直角边
长,所以OA绳中的拉力一定大于OB绳中的拉力,
则OA绳会先断,故D错误。
8.如图所示,一小球放在竖直的墙面与倾斜的木板之间。设小球对墙面
的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形
成的水平直线为轴,将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位
置。不计摩擦,在此过程中 (　　)
A.F1先减小后增大
B.F1一直增大
C.F2一直减小
D.F2先减小后增大
√
【解析】选C。以小球为研究对象,受力情况如图所示:
小球受重力G、墙面的支持力FN1和木板的支持力FN2。
令木板与墙面的夹角为θ,根据平衡条件知FN1和FN2的合
力与G等大反向,且得FN1=,FN2=,根据牛顿第三定律知球对墙面
的压力大小为F1=FN1=,球对木板的压力大小为F2=FN2=,木板从
图示位置开始缓慢地转到水平位置时θ增大,则F1一直减小,F2一直减小,
故选项C正确。
二、计算题:本题共2小题,共22分。
9.(10分)(2026·梅州模拟)如图所示,倾角θ=37°的质量为m1=10 kg的粗糙
斜面体A,置于粗糙水平面上,A与地面间的动摩擦因数足够大,质量m2=
1 kg的B物体经平行于斜面的不可伸长的轻质细线跨过光滑定滑轮悬挂
质量为m3的物块C。已知A、B间的动摩擦因数为0.5,视最大静摩擦力等
于滑动摩擦力,g取10 m/s2(sin37°=0.6,cos37°=0.8),求:
(1)若不悬挂物块C时,通过计算,判断B是否会自行下滑;(3分)
答案:(1)会自行下滑,计算过程见解析　
【解析】(1)若不悬挂物块C时,通过受力分析可知,重力沿斜面向下方向分力为Gx=m2gsinθ=6 N
重力沿垂直斜面向下方向分力为Gy=m2gcosθ=8 N
A、B间的动摩擦因数为0.5,则摩擦力大小为f=μFN=μGy=4 N
明显可得B会自行下滑;
(2)欲使B能静止在斜面A上,C的质量范围;(3分)
答案: (2)0.2 kg≤m3≤1 kg　
【解析】(2)当悬挂物块C时,对B受力分析如图,
当摩擦力沿斜面向上时拉力T有最小值为Tmin=Gx-f
当摩擦力沿斜面向下时拉力T有最大值为Tmax=Gx+f
解得C的质量范围为0.2 kg≤m3≤1 kg
(3)若m3=0.5 kg时,地面对A的摩擦力的大小。(4分)
答案: (3)4 N
【解析】(3)当m3=0.5 kg时,拉力T大小为T=m3g=5 N,地面对A的摩擦力f'=Tcosθ=4 N
10.(12分)如图所示,质量为m的物体放在一倾角可调的固定斜面上,当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时,不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,试求:
(1)物体与斜面间的动摩擦因数;(6分)
答案:(1)
【解析】(1)如图甲所示,未施加力F时,对物体受力分析,
由平衡条件得mgsin30°=μmgcos30°
解得μ=tan30°=
(2)这一临界角θ0的大小。(6分)
答案: (2)60°
【解析】(2)设斜面倾角为α时,受力情况如图乙所示,
由平衡条件得Fcosα=mgsinα+Ff'
FN'=mgcosα+Fsinα,
Ff'=μFN'
解得F=
当cosα-μsinα=0,即tanα=时,F→∞,即“不论水平恒力F多大,
都不能使物体沿斜面向上滑行”,此时,临界角θ0=α=60°。(共18张PPT)
专题强化课一　
动态平衡　平衡中的临界、极值问题
链接高考 本专题在高考中常以选择题或计算题的形式呈现,尤其是“动态平衡问题”,以选择题出现的频次较高
方法规律 三类规律:平衡条件、平行四边形定则、三角形定则
三种方法:图像法、解析法、临界法
关键能力 三种能力:理解能力、模型构建能力、逻辑推理能力
考点一　动态平衡问题
【核心要点】
物理 规律 状态 特点 缓慢变化过程中,物体始终满足平衡条件
受力 特点 物体受到某个或某几个作用力发生缓慢变化
解题 方法 图解 法
(1)选取研究对象在动态变化过程中的几个代表状态;
(2)根据平行四边形定则或三角形定则,作出物体在这
几个力作用下的矢量图;
(3)由各边的长度变化及角度变化来确定力的大小及
方向的变化
解题 方法 解析 法
(1)根据平衡条件、数学知识列式,列出待求量与变
量间的函数关系式;
(2)根据函数关系式讨论待求量的变化情况
解题 方法 辅助 圆法
利用辅助圆,恒力为圆的一条弦,恒力所对应角的顶
点在圆上移动,可保持圆心角不变,根据不同位置判
断各力的大小变化。
【典例剖析】
【典例1】(多选) 如图,一粗糙斜面固定在地面上,斜面顶端装有一光滑
定滑轮。一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块N,另一端与斜面上的物块M
相连,系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N,直至悬挂N
的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止,则在此过程中 (　　)
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
√
√
【解析】选B、D。选N为研究对象,受力情况如图甲所示,用水平拉力F缓慢
拉动N的过程中,水平拉力F逐渐增大,细绳的拉力FT逐渐增大,选项A错误,B
正确;对M受力分析,如图乙所示,受重力GM、支持力FN、绳的拉力FT以及斜
面对它的摩擦力Ff。若开始时斜面对M的摩擦力Ff沿斜面向上,则FT+Ff
=GMsinθ,FT逐渐增大,Ff逐渐减小,当Ff减小到零后,再反向增大。若开始时斜
面对M的摩擦力Ff沿斜面向下,此时,FT=GMsinθ+Ff,当FT逐渐增大时,Ff逐渐
增大,C错误,D正确。
【强化训练】
[强化训练1](2026·湛江模拟)如图为乘客乘坐飞机的姿态图。座椅背板AP与
底板PB夹角稍大于90°,飞机匀速水平飞行时,底板PB右端比左端稍微高点,忽
略乘客与座椅的摩擦力,在飞机逐渐向上匀速爬升的过程中,座椅背板AP与底
板PB也逐渐绕P轴在竖直面内逆时针转动,直到PB板与水平面成30°。下列
说法正确的是 (　　)
A.未爬升前背板AP对乘客没有作用力
B.爬升过程中乘客始终受到三个力的作用
C.爬升过程中座椅对乘客的作用力的合力逐渐减小
D.爬升过程中乘客对背板AP与底板PB的压力都逐渐增大
√
【解析】选B。未爬升前和爬升过程,以乘客为研究对象,受重力,PA的支持力NA,PB的支持力NB,由题意可知,始终受三个力且合力始终为0,故A错误,B正确。爬升过程乘客受重力,PA的支持力NA,PB的支持力NB,三个力的合力始终为0,且NA与NB之间的夹角不变,矢量三角形如图所示,在PB转到与水平面夹角为30°的过程中,NA变大,NB减小,故C、D错误。
考点二　平衡中的临界、极值问题
【核心要点】
项目 情境模型图示 特点
临界 问题 当某物理量变化时,会引起其他几个
物理量的变化,从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,
在问题的描述中常用“刚好”“恰能”
“恰好”等词
项目 情境模型图示 特点
极值 问题 平衡中的极值问题,一般指在力的变
化过程中的最大值和最小值问题
【典例剖析】
角度1　临界问题
【典例2】如图所示,一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上,质量分别为
m和2m的物块A、B,通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接,A、B间的接触
面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ,设
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时,物块A、
B刚好要滑动,则μ的值为 (　　)
A.　 B.
C. D.
√
【解析】选C。根据题述,物块A、B刚要滑动,可知A、B之间的摩擦力FfAB=μmgcos45°,B与木板之间的摩擦力Ff=μ·3mgcos45°。隔离A分析受力,由平衡条件可得轻绳中拉力F=FfAB+mgsin45°。对A、B整体,由平衡条件可得2F=3mgsin45°-Ff,联立解得μ=,选项C正确。
角度2　极值问题
【典例3】(2026·广州模拟)战机水平飞行时可通过转动发动机尾喷口方
向获得斜向上的推力,同时飞行过程由于机翼上下表面压强差,飞机会受
到垂直于机身向上的升力。若战机水平匀速飞行时升阻比(即垂直于机
身向上的升力和平行于机身向后的阻力之比)为,已知战机重力大小
为G,则战机水平匀速飞行时获得的最小推力为 (　　)
A. B. C. D.
√
【解析】选D。由题意,对飞机受力分析如图所示
飞机受到重力G、发动机推力F1、升力F2和空气阻力f,
重力的方向竖直向下,升力的方向竖直向上,空气阻力f
的方向与F2垂直,飞机匀速飞行,根据平衡条件有
Fx=f,F2+Fy=G,结合=+,F2=f
可得=f2+=4f2-2Gf+G2,由数学知识可得,当f=G时,
F1有最小值,为F1min=。
【强化训练】
[强化训练2](2025·河北高考)如图,内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在
水平面上,左右边沿等高。该截面内,一根不可伸长的细绳穿过带有光滑
孔的小球,一端固定于凹槽左边沿,另一端过右边沿并沿绳方向对其施加
拉力F。小球半径远小于凹槽半径,所受重力大小为G。若小球始终位于
内壁最低点,则F的最大值为 (　　)
A.G B.G C.G D.G
√
【解析】选B。分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时,此时拉力F最大,根据平衡条件有2Fmcos45°=G,解得Fm=G,故选B。
专题强化练
专题强化课一　动态平衡　平衡中的临界、极值问题
(40分钟　70分)
一、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分。
1.中国人使用筷子至少有3 000年的历史,在汉代时筷子称为“箸”,明代开始改称“筷”。如图所示,某次游戏中,用不锈钢筷子夹住质量为m的玻璃球,已知两根筷子均在同一竖直平面内,小球对左侧筷子的弹力大小为F1、对右侧筷子的弹力大小为F2,忽略筷子与小球间的摩擦。若保持右侧筷子竖直,使左侧筷子与竖直方向的夹角θ逐渐增大,且小球一直静止,下列说法正确的是 (　　)
A.该过程中F1逐渐增大
B.该过程中F2逐渐减小
C.该过程中F1先减小再增大
D.左、右两侧筷子对小球的弹力的合力不断减小
【解析】选B。由牛顿第三定律可知,小球对筷子的弹力大小与筷子对小球的支持力大小相等。对小球受力分析,如图所示。
根据平衡条件可得F1sinθ=mg,F2=,若保持右侧筷子竖直,使左侧筷子与竖直方向的夹角θ逐渐增加,可知该过程中F1和F2都逐渐减小,故A、C错误,B正确;左、右两侧筷子对小球的弹力的合力与小球的重力等大反向,可知保持不变,故D错误。
2.如图甲所示为烤肠机,香肠放置在两根水平的平行金属杆中间,其截面图如图乙所示。假设香肠可视为质量为m的均匀圆柱体,烤制过程中香肠质量不变,半径变大。忽略摩擦及金属杆的热胀冷缩,重力加速度为g。下列说法正确的是 (　　)
A.香肠未烤前,金属杆1对香肠的支持力大小为mg
B.烤制过程中,金属杆1对香肠的支持力逐渐增大
C.香肠烤熟后,香肠对金属杆1的压力比烤熟前大
D.香肠烤熟后与烤熟前相比,两根金属杆对香肠的合力不变
【解析】选D。对香肠受力分析如图所示
根据平衡条件有N1=N2,2N1cosθ=mg
解得香肠未烤前,金属杆1对香肠的支持力大小为N1=N2=>mg
故A错误;
设金属杆中心之间的距离为d,金属杆的半径为R,香肠的半径为r,根据几何关系有
sinθ=
烤制过程中,香肠半径变大,sinθ变小,cosθ变大,金属杆1对香肠的支持力逐渐减小;香肠烤熟后,香肠对金属杆1的压力比烤熟前小,故B、C错误;香肠烤熟后与烤熟前相比,两根金属杆对香肠的合力与香肠的重力平衡,等大反向,故两根金属杆对香肠的合力不变,故D正确。
3.如图所示,甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆,甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等,柱体的曲面和挡板可视为光滑,开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向,将挡板缓慢地向右移动,直到圆柱体甲刚要落至地面为止,整个过程半圆柱乙始终保持静止,那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A。分析可知,只要摩擦力最大时刚好不滑动,此时对应的摩擦因数最小。对甲、乙整体分析有N=2mg,f=F板,
设O1O2与水平面的夹角为θ,对甲,
由平衡条件得F板=
联立解得f=
可知夹角越小,f越大,由几何关系得,θ最小为30°。则f==μN=μ·2mg
解得μ=,故选A。
4.(多选)如图所示,竖直墙壁与光滑水平地面交于B点,质量为m1的光滑半圆柱体紧靠竖直墙壁置于水平地面上,O1为半圆柱体截面所在圆的圆心,质量为m2且可视为质点的均匀小球O2用长度等于A、B两点间距离的细线悬挂于竖直墙壁上的A点,小球静置于半圆柱体上,当换用质量不变,而半径不同的光滑半圆柱体时,细线与竖直墙壁的夹角θ就会跟着发生改变。已知重力加速度为g,不计各接触面间的摩擦,则下列说法正确的是(　　)
A.当θ=60°时,半圆柱体对地面的压力大小为m1g+m2g
B.当θ=60°时,小球对半圆柱体的压力大小为m2g
C.换用不同的半圆柱体时,半圆柱体对竖直墙壁的最大压力大小为m2g
D.换用半径更大的半圆柱体时,半圆柱体对地面的压力保持不变
【解析】选A、C。对小球进行受力分析如图甲所示,连接O2B和O1O2,由几何关系可知θ=α,小球受力平衡,有FN1=m2gsinθ,FT=m2gcosθ。对小球和半圆柱体整体进行受力分析,整体受地面的支持力FN、墙壁的弹力F、细线的拉力FT、重力(m1+m2)g,如图乙所示,整体受力平衡,则在竖直方向上有FN+FTcosθ=(m1+m2)g,水平方向上有F=FTsinθ。当θ=60°时,FN1=m2g,由牛顿第三定律得小球对半圆柱体的压力大小为m2g,B错误;F=FTsinθ=m2gsin2θ,当θ=45°时,Fmax=m2g,C正确;FN=(m1+m2)g-m2gcos2θ,当θ=60°时,FN=m1g+m2g,当换用半径更大的半圆柱体时,θ改变,FN改变,由牛顿第三定律可知A正确,D错误。
5.如图所示,质量相等的物块A、B放在水平地面上,用绕过动滑轮C的轻绳连接。大小为F的力作用在滑轮上,方向指向右上方,作用在两物块上的轻绳在同一竖直面内,绳AC与水平方向的夹角为37°,BC绳与水平方向的夹角为53°,不计滑轮的大小及滑轮的质量,A、B保持静止,两物块与水平面的动摩擦因数均为0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,保持F方向不变,缓慢增大F,则 (　　)
A.物块A先滑动
B.物块B先滑动
C.物块A、B同时滑动
D.不能确定哪个物块先滑动
【解析】选A。设轻绳上拉力为T,滑轮受力分析如图所示,
则2Tcos45°=F
解得T=F,假设A先滑动,当A刚要滑动时
2Tcos37°=μ(mg-Tsin37°)
解得T=mg
此时Tcos53°=<μ(mg-Tsin53°)=
因此假设成立。
6.抖空竹是一种传统杂技。如图所示,表演者一只手控制A不动,另一只手控制B沿图中的四个方向缓慢移动。忽略空竹转动的影响,不计空竹和轻质细线间的摩擦,且认为细线不可伸长。下列说法正确的是 (　　)
A.沿虚线a向左移动时,细线的拉力增大
B.沿虚线b向上移动时,空竹向左上方移动
C.沿虚线c斜向上移动时,细线的拉力不变
D.沿虚线d向右移动时,细线对空竹的合力增大
【解析】选B。空竹受力分析如图所示。
根据平衡条件可得
2Fsinθ=mg
设线长为L,由几何关系可得
cosθ=
沿虚线a向左移动时,s减小,θ增大,细线的拉力减小,故A错误;沿虚线b向上移动时,s不变,θ不变,细线的拉力不变,但右侧细线变长,左侧变短,左侧A不动,故空竹会向左上方移动,故B正确;沿虚线c斜向上移动时,s增大,θ减小,细线的拉力增大,故C错误;沿虚线d向右移动时,s增大,θ减小,细线的拉力增大,但细线对空竹的合力不变,等于空竹的重力,故D错误。
7.(2026·深圳模拟)如图所示,一定质量的物体通过轻绳悬挂,结点为O。人沿水平方向拉着OB绳,物体和人均处于静止状态。若人的拉力方向不变,缓慢向左移动一小段距离,下列说法正确的是 (　　)
A.OA绳中的拉力不变
B.OB绳中的拉力逐渐减小
C.地面给人的摩擦力逐渐增大
D.若OA绳、OB绳所能承受的最大拉力相同,则OB绳会先断
【解析】选C。根据矢量三角形可知,当人的拉力方向不变,缓慢向左移动一小段距离,则OA与竖直方向的夹角变大,OA的拉力由图中1位置变到2位置,所以OA绳中的拉力变大,OB绳中的拉力变大,故A、B错误;由于OB绳中的拉力变大,对人分析由平衡可知,地面给人的摩擦力逐渐增大,故C正确;根据矢量三角形可知,由于OA为三角形斜边长,OB为直角边长,所以OA绳中的拉力一定大于OB绳中的拉力,则OA绳会先断,故D错误。
8.如图所示,一小球放在竖直的墙面与倾斜的木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦,在此过程中 (　　)
A.F1先减小后增大
B.F1一直增大
C.F2一直减小
D.F2先减小后增大
【解析】选C。以小球为研究对象,受力情况如图所示:
小球受重力G、墙面的支持力FN1和木板的支持力FN2。令木板与墙面的夹角为θ,根据平衡条件知FN1和FN2的合力与G等大反向,且得FN1=,FN2=,根据牛顿第三定律知球对墙面的压力大小为F1=FN1=,球对木板的压力大小为F2=FN2=,木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置时θ增大,则F1一直减小,F2一直减小,故选项C正确。
二、计算题:本题共2小题,共22分。
9.(10分)(2026·梅州模拟)如图所示,倾角θ=37°的质量为m1=10 kg的粗糙斜面体A,置于粗糙水平面上,A与地面间的动摩擦因数足够大,质量m2=1 kg的B物体经平行于斜面的不可伸长的轻质细线跨过光滑定滑轮悬挂质量为m3的物块C。已知A、B间的动摩擦因数为0.5,视最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2(sin37°=0.6,cos37°=0.8),求:
(1)若不悬挂物块C时,通过计算,判断B是否会自行下滑;(3分)
答案:(1)会自行下滑,计算过程见解析　
【解析】(1)若不悬挂物块C时,通过受力分析可知,重力沿斜面向下方向分力为Gx=m2gsinθ=6 N
重力沿垂直斜面向下方向分力为Gy=m2gcosθ=8 N
A、B间的动摩擦因数为0.5,则摩擦力大小为f=μFN=μGy=4 N
明显可得B会自行下滑;
(2)欲使B能静止在斜面A上,C的质量范围;(3分)
答案: (2)0.2 kg≤m3≤1 kg　
【解析】(2)当悬挂物块C时,对B受力分析如图,
当摩擦力沿斜面向上时拉力T有最小值为Tmin=Gx-f
当摩擦力沿斜面向下时拉力T有最大值为Tmax=Gx+f
解得C的质量范围为0.2 kg≤m3≤1 kg
(3)若m3=0.5 kg时,地面对A的摩擦力的大小。(4分)
答案: (3)4 N
【解析】(3)当m3=0.5 kg时,拉力T大小为T=m3g=5 N,地面对A的摩擦力f'=Tcosθ=4 N
10.(12分)如图所示,质量为m的物体放在一倾角可调的固定斜面上,当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时,不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,试求:
(1)物体与斜面间的动摩擦因数;(6分)
答案:(1)
【解析】(1)如图甲所示,未施加力F时,对物体受力分析,
由平衡条件得mgsin30°=μmgcos30°
解得μ=tan30°=
(2)这一临界角θ0的大小。(6分)
答案: (2)60°
【解析】(2)设斜面倾角为α时,受力情况如图乙所示,由平衡条件得Fcosα=mgsinα+Ff'
FN'=mgcosα+Fsinα,
Ff'=μFN'
解得F=
当cosα-μsinα=0,即tanα=时,F→∞,即“不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行”,此时,临界角θ0=α=60°。
- 1 -专题强化课一　
动态平衡　平衡中的临界、极值问题
链接高考 本专题在高考中常以选择题或计算题的形式呈现,尤其是“动态平衡问题”,以选择题出现的频次较高
方法规律 三类规律:平衡条件、平行四边形定则、三角形定则 三种方法:图像法、解析法、临界法
关键能力 三种能力:理解能力、模型构建能力、逻辑推理能力
考点一　动态平衡问题
【核心要点】
物理 规律 状态 特点 缓慢变化过程中,物体始终满足平衡条件
受力 特点 物体受到某个或某几个作用力发生缓慢变化
解题 方法 图解 法 (1)选取研究对象在动态变化过程中的几个代表状态;(2)根据平行四边形定则或三角形定则,作出物体在这几个力作用下的矢量图;(3)由各边的长度变化及角度变化来确定力的大小及方向的变化
解析 法 (1)根据平衡条件、数学知识列式,列出待求量与变量间的函数关系式; (2)根据函数关系式讨论待求量的变化情况
辅助 圆法 利用辅助圆,恒力为圆的一条弦,恒力所对应角的顶点在圆上移动,可保持圆心角不变,根据不同位置判断各力的大小变化。
【典例剖析】
【典例1】(多选) 如图,一粗糙斜面固定在地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块N,另一端与斜面上的物块M相连,系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N,直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止,则在此过程中 (　　)
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【解析】选B、D。选N为研究对象,受力情况如图甲所示,用水平拉力F缓慢拉动N的过程中,水平拉力F逐渐增大,细绳的拉力FT逐渐增大,选项A错误,B正确;对M受力分析,如图乙所示,受重力GM、支持力FN、绳的拉力FT以及斜面对它的摩擦力Ff。若开始时斜面对M的摩擦力Ff沿斜面向上,则FT+Ff=GMsinθ,FT逐渐增大,Ff逐渐减小,当Ff减小到零后,再反向增大。若开始时斜面对M的摩擦力Ff沿斜面向下,此时,FT=GMsinθ+Ff,当FT逐渐增大时,Ff逐渐增大,C错误,D正确。
【强化训练】
[强化训练1](2026·湛江模拟)如图为乘客乘坐飞机的姿态图。座椅背板AP与底板PB夹角稍大于90°,飞机匀速水平飞行时,底板PB右端比左端稍微高点,忽略乘客与座椅的摩擦力,在飞机逐渐向上匀速爬升的过程中,座椅背板AP与底板PB也逐渐绕P轴在竖直面内逆时针转动,直到PB板与水平面成30°。下列说法正确的是 (　　)
A.未爬升前背板AP对乘客没有作用力
B.爬升过程中乘客始终受到三个力的作用
C.爬升过程中座椅对乘客的作用力的合力逐渐减小
D.爬升过程中乘客对背板AP与底板PB的压力都逐渐增大
【解析】选B。未爬升前和爬升过程,以乘客为研究对象,受重力,PA的支持力NA,PB的支持力NB,由题意可知,始终受三个力且合力始终为0,故A错误,B正确。爬升过程乘客受重力,PA的支持力NA,PB的支持力NB,三个力的合力始终为0,且NA与NB之间的夹角不变,矢量三角形如图所示,在PB转到与水平面夹角为30°的过程中,NA变大,NB减小,故C、D错误。
考点二　平衡中的临界、极值问题
【核心要点】
项目 情境模型图示 特点
临界 问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等词
极值 问题 平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题
【典例剖析】
角度1　临界问题
【典例2】如图所示,一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上,质量分别为m和2m的物块A、B,通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接,A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时,物块A、B刚好要滑动,则μ的值为 (　　)
A.　 B.
C. D.
【解析】选C。根据题述,物块A、B刚要滑动,可知A、B之间的摩擦力FfAB=μmgcos45°,B与木板之间的摩擦力Ff=μ·3mgcos45°。隔离A分析受力,由平衡条件可得轻绳中拉力F=FfAB+mgsin45°。对A、B整体,由平衡条件可得2F=3mgsin45°-Ff,联立解得μ=,选项C正确。
角度2　极值问题
【典例3】(2026·广州模拟)战机水平飞行时可通过转动发动机尾喷口方向获得斜向上的推力,同时飞行过程由于机翼上下表面压强差,飞机会受到垂直于机身向上的升力。若战机水平匀速飞行时升阻比(即垂直于机身向上的升力和平行于机身向后的阻力之比)为,已知战机重力大小为G,则战机水平匀速飞行时获得的最小推力为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D。由题意,对飞机受力分析如图所示
飞机受到重力G、发动机推力F1、升力F2和空气阻力f,重力的方向竖直向下,升力的方向竖直向上,空气阻力f的方向与F2垂直,飞机匀速飞行,根据平衡条件有Fx=f,F2+Fy=G,结合=+,F2=f
可得=f2+=4f2-2Gf+G2,由数学知识可得,当f=G时,F1有最小值,为F1min=。
【强化训练】
[强化训练2](2025·河北高考)如图,内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上,左右边沿等高。该截面内,一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球,一端固定于凹槽左边沿,另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径,所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点,则F的最大值为 (　　)
A.G B.G C.G D.G
【解析】选B。分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时,此时拉力F最大,根据平衡条件有2Fmcos45°=G,解得Fm=G,故选B。
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