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江苏省徐州市铜山区2025-2026学年度九年级第三次质量检测
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.围棋起源于我国，棋子黑白两色．一个不透明盒子中，装有个白色棋子和个黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋子，则它是白色棋子的概率是( )
A. B. C. D.
5.若式子有意义，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.下面的几何体中，主视图为圆的是( )
A. B. C. D.
7.小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点、、、分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料裁剪两种布料时，均不计余料若生产这批风筝需要甲布料匹，那么需要乙布料( )
A. 匹 B. 匹 C. 匹 D. 匹
8.如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，若的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.月日华为发布韬定律，以“时间缩微”替代传统“几何缩微”，通过逻辑折叠技术压缩信号时延，量产款芯片并计划年推出性能跃升的麒麟芯片，预计年达等效密度，重塑半导体产业路径．已知，则用科学记数法可表示为 ．
10.因式分解： ．
11.如图，四边形内接于，若，则
12.受高空槽和低空切变共同影响，月日日早晨我市出现强降雨天气．我市各地城区雨量如图所示：
月日时日时各地城区雨量实况毫米
站点 市区 丰县 沛县 睢宁 邳州 新沂 铜山 贾汪
雨量
这组数据的中位数为 毫米．
13.若，则代数式的值为 ．
14.已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
15.小刚用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形小丑帽子的侧面接缝忽略不计，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是 ．
16.如图，在矩形中，，点为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则的长是 ．
17.九章算术中记载：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百今并买一顷价钱一万问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田亩，价值钱；坏田亩，价值钱今共买好、恶田顷顷亩，价钱钱问好、坏田各买了多少亩？设好田买了亩，坏田买了亩，根据题意可列方程组为 ．
18.如图，已知的半径为，为的弦，为优弧的中点．为上一动点，在弦取点，使，若点由运动到，则点运动的路径长为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
19.计算与化简：
计算：；
化简：．
20.解方程与不等式组：
解方程：；
解不等式组：．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
某校为了调研学生的“家务”完成情况，随机抽取部分学生调查日常参与家务劳动的项目数量，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和物品的简单归纳整理等．学校根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据下图信息，解答下列问题：
本次被抽取的学生人数为 人，补全条形统计图；
在扇形统计图中，“项”部分所对应扇形的圆心角度数是 ；
若该校有学生人，请估计该校参与家务劳动的项目数量达到项及以上的学生人数．
22.本小题分
如图，是线段的中点，，．
求证：；
连接，若，求的长．
23.本小题分
甲、乙两所学校计划从处红色研学基地：淮海战役纪念馆；王杰纪念馆；碾庄战斗纪念馆，从中随机选择一处作为本校三月红色研学活动基地．
甲学校恰好选中淮海战役纪念馆的概率是 ；
请用画树状图或列表法，求甲、乙两个学校恰好选中不同研学基地的概率．
24.本小题分
如图，在中，，的平分线交于点，点是边上一点，以点为圆心、长为半径作圆，恰好经过点，交于点．
求证：直线是的切线；
若点为的中点，，求阴影部分的面积．
25.本小题分
苏公塔位于徐州市云龙湖东岸的金山公园，是为了纪念苏东坡而建的仿宋塔．某校为了让学生进一步了解苏公塔，组织九年级班学生利用综合实践课测量苏公塔的高度．小江同学站在如图所示的苏公塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高参考数据：，结果保留整数
26.本小题分
某超市销售一款水杯，每个可获利元，每周可以销售个．经调研：售价每降低元，每周可多销售个．设每个降价元，每周总利润为元．
求与的函数表达式；
当取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？
27.本小题分
综合与实践
【问题提出】在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组想探究尺规作图中的代数运算问题：已知线段、线段和长度为的线段如图，求满足下列条件的线段：；；；；．

【问题探究】和通过线段截取的方式即可作出，而和需要构造相似三角形，下面的图是一位同学给出了的尺规作图方法：将转化为，如图，截取，，作构造平行线，然后以点为圆心长为半径画弧交于点，连接交于点，，即为所求线段．请参照该方法利用图中的线段，尺规作图完成保留作图痕迹，不写作法．
在探究的过程中，有同学想到利用直角三角形斜边上的高的几何性质，可以尺规作图完成．如图，在中，为斜边上的高，其中，，求证：．
【尝试应用】通过上面的综合实践，同学们发现如果所要求的尺规作图问题，能拆解为可以使用上述的种运算的某一步或某几步，就可以为我们分析尺规作图问题提供了新的思路．请根据上述的探究经验，完成下面的尺规作图问题：如图，在中，，为上一定点，作，使其经过点，，且与相切．保留作图痕迹，简述作图步骤
28.本小题分
如图，在正方形中点、分别为边上的动点，且．
连接，求证：；
连接，若，则的最小值为 ；
连接，点、在运动过程中，的值是否存在最小值，若存在，请求出最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】【小题】
解：原式；
【小题】
解：原式．

20.【答案】【小题】
解：
去分母得：
去括号得：
解得：
检验：当时，
所以原分式方程的解为．
【小题】
解：
解不等式得：
解不等式得：
所以原不等式组的解集为．

21.【答案】【小题】
解：根据题意知本次被抽取的学生人数为人，
“项”部分所对应的学生人数为人，
补全条形统计图如下：
【小题】
【小题】
解：人．
估计该校参与家务劳动的项目数量达到项及以上的学生人数为人．

22.【答案】【小题】
证明：是线段的中点，
．
，
．
在和中，
；
【小题】
解：，是线段的中点，
．
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．

23.【答案】【小题】
【小题】
解：根据题意，画树状图如下：
一共有种等可能性，其中两次不同的有种等可能性．
故甲、乙两个学校恰好选中不同研学基地的概率．

24.【答案】【小题】
证明：如图所示，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小题】
解：点为的中点，
，
，
，
由可得，
在中，，
，
，
．

25.【答案】解：由题意和图可得，，，，，
设，，则，
在中，，
在中，，
，
整理得，，
解得，，
，
答：塔高约为．

26.【答案】【小题】
解：结合题意，得
，
故与的函数关系式为．
【小题】
解：，
，抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下；
当时，利润最大，其值为元．

27.【答案】【小题】
如图，，即为所求线段．
【小题】
证明：为斜边上的高，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，即，
，
为正数，
；
【小题】
如图，作的垂直平分线交于；以为圆心，为半径画弧交于点；以为圆心，为半径画弧交于点；过点作垂线交垂直平分线于点；以为圆心，为半径画圆，即为所求．

28.【答案】【小题】
证明：如图，
四边形是正方形，
，即，
，
四边形是平行四边形，
；
【小题】
【小题】
解：存在，最小值为．
如图，连接交于，以为边在正方形内作，连接，

四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
，即，
，
，
，即，
，即，
，
，
点在以为直径的半圆上，
设半圆的圆心为，正方形的边长为，
，
，
过点作于，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
当三点共线时，取得最小值，
，即，
，即存在最小值，的最小值为．

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