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2026年山东省临沂市沂水县中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中比小的数是( )
A. B. C. D.
2.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.据央视网年月日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”“破晓”存储器擦写速度提升至皮秒实现一次擦或者写一皮秒仅相当于一万亿分之一秒皮秒用科学记数法表示为( )
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.斗拱是中国古典建筑上的重要部件如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为( )
A. B. C. D.
6.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了杯咖啡和个三明治贩卖若今日准备的餐点全部售出且收入共为元，则售出早餐组合的收入在下列哪一个范围？( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
8.将二次函数的图象，向右平移单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化，假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是( )
A. 持续向下 B. 持续向上 C. 先向下再向上 D. 先向上再向下
9.如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于( )
A.
B.
C.
D.
10.同一条公路连接，，三地，地在，两地之间甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶如图表示甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系下列结论正确的是( )
A. 甲车行驶与乙车相遇
B. ，两地相距
C. 甲车的速度是
D. 乙车中途休息分钟
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ．
12.关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
13.若，则的值为 ．
14.如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数为正整数图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ．
15.如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算：；
先化简，再求值：，其中．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，矩形中，．
求作正方形，使得点，分别落在边，上，点，落在上；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
若，，求中所作的正方形的边长．
18.本小题分
小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
求反比例函数的表达式．
将三角板绕点顺时针旋转，边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
19.本小题分
甲、乙两人是新华初级中学数学兴趣小组成员以下是他们在参加兴趣小组活动的测试成绩及当地近五年数学综合素养展示的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩单位：分
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次
甲
乙
其中，甲、乙成绩的平均数分别是，；方差分别是，．
信息二：当地近五年数学综合素养展示获奖分数线单位：分
年份
获奖分数线
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
计算的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
计算当地近五年数学综合素养展示获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加数学综合素养展示，选谁更合适；
若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？
20.本小题分
某小区在设计时，计划在如图的住宅楼正前方建一栋文体活动中心，设计示意图如图所示，已知，，该地冬至正午太阳光线与平行于地面的直线的夹角为，如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离活动中心高度不变，求该活动中心移动了多少米？
参考数据：，，，结果保留小数点后一位
21.本小题分
如图，是 的对称中心，与相切于点．
求证：直线是的切线．
当与相切于点时，如图， 是菱形吗？说明理由．
22.本小题分
用石块打水漂是一项有趣的活动抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径如图，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且：，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且：小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计
如图，当，时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
在的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内包括边界，且点在和之间包括这两点，其中，，，求的取值范围在抛掷过程中正方形与抛物线在同一平面内
23.本小题分
已知，点，分别在射线，上，以为边向外作，使，过点作的垂线交射线于点．
如图，当点在射线上时，求证：是的中点；
当点在内部时，
如图，若，求证：；
如图，若为取值范围内的任意角度，作，交射线于点用等式表示线段与的数量关系，并证明．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】方程有两个不相等的实数根
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】 ，
17.【答案】解：正方形即为所求；
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
正方形的边长为．
18.【答案】解：含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为：；
，
，
含角的三角板为等腰直角三角形，，
，，
如图，连接，旋转到的位置，
，
的对应点在的图象上，
，
，
由旋转可得：，
．
19.【答案】，乙的成绩更稳定 ；在两个人的次成绩中，甲有次超过，乙只有次超过，所以甲获奖的概率更高，所以选甲更合适 选甲更合适，理由：因为在两人次成绩中，甲有次达到分或以上，乙只有次达到分或以上，所以选甲更合适
20.【答案】米；
该活动中心移动了米
21.【答案】如图，连接并延长交于点，连接，
四边形是平行四边形，
，
与相切于点，
，是的半径，
，
是 的对称中心，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
点在上，
是的半径，且于点，
直线是的切线 是菱形，理由：如图，连接、、、，
与相切于点，与相切于点，
，，于点，于点，
，
是 的对称中心，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形
22.【答案】当，时，，
点坐标为，
，
，
抛物线的表达式为；
不能，理由如下：
，点坐标为，
，
，
点的坐标为，，
，
将代入，
此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；
四边形是正方形，，，，
，
如图所示，

抛物线开口向下，
，
越小开口越大，越大开口越小，点在和之间包括这两点，
由图象可得，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最大，此时最大，
设的表达式为，
将代入得，，
解得，
由图象可得，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最小，此时最小，
设的表达式为，
将代入得，，
解得，
的取值范围为．
23.【答案】，
，．
又，
，．
，
，
点是的中点 ，
，，，
如图，连接，过作于，设于点，则，，
．
．
．
又，，
≌，
，．
，
，，
≌，
．
．
≌，
；．
证明：如图，在上取点，连接，使得，取的中点，连接，，
则，
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，，
，，
是直角三角形，
，
，
，
，
，

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