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2026年河南鹿邑县观堂一中等学校中考学业备考全真模拟数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.北宋沈括在梦溪笔谈中记载了一种名为“累棋成塔”的堆叠游戏，用完全相同的长方体、圆柱体的棋子逐层堆叠，形成稳定的塔形结构，以训练学童的空间布局能力．下图就是其中两个棋子摆放而成的几何体，其左视图正确的是( )
A. B.
C. D.
3.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为( )
A. B. C. D.
7.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
8.一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”一氧化碳的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，其中于点，点在边上，设，，，给出下面三个结论；；的长是关于的方程的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系中，已知点，在某一次函数的图象上，且，请写出一个符合条件的一次函数解析式 ．
12.生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列斐波那契数列：

若该数列中连续的三个数分别为，，，则紧接着后面的一个数是 用含，的代数式表示
13.如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为，是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为 ．
14.如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为 ．
15.在中，，，点为射线上一动点，连接，作点关于线段的对称点，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.计算、化简：
计算：；
化简：．
四、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对，两款扫地机器人分别随机调查了台，记录了它们运行的最长时间分钟，并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好．
收集数据：
款：
款：
分析数据：
类别 平均数 中位数 众数 方差
解决问题：
根据以上信息，解决下列问题：
上表中的 ， ， ；
某商场购进了一批款扫地机器人台，请估算这批款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数；
根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人的运行最长时间更好？请说明理由．写出一条理由即可
18.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与轴、轴分别相交于点，．
求反比例函数的表达式；
点是线段上一个动点，
尺规作图：过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点保留作图痕迹，不写画法；
当时，求点的坐标．
19.本小题分
如图是钓鱼迷们的必备神器多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，．
垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度结果保留根号；
若由中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度结果精确到参考数据：，，，
20.本小题分
如图，是的直径，点在上，连接，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点，过点作的切线，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长的长．
21.本小题分
被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为 的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长 ，宽 的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形如方案图所示然后折叠成一个有盖纸盒盒盖与盒底大小形状相同
为了优化设计，草莓采摘园的老板借助 提出了一种改进方案称为方案，方案也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形． 对方案的优点给出了如下评价：
节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 结构更稳固：方案底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品．
接下来请你帮助老板解决以下问题：
设方案中剪去的正方形的边长为 ，求包装盒的表面积；
尝试在备用图中画出方案，并通过计算说明对方案“表面积最小”的评价是否准确？
22.本小题分
已知二次函数为常数图象经过点，对称轴为直线．
求二次函数的表达式；
已知点，把点绕原点顺时针旋转后恰好落在抛物线上，求的值；
若，当二次函数的最大值比最小值大时，直接写出的值．
23.本小题分
综合与探究
如图，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为，若时，我们称是的中心距比．
【概念理解】
在图中，的中心距比与其相邻两边比之间的关系为 ；
如图，当时，求证：是菱形；
【探索研究】如图，在矩形中，其中心距比，点为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值；
【拓展应用】如图，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．的中心距比点在射线上，连接，当时，直接写出的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】答案不唯一
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题】
解：原式
．
【小题】
解：原式
．

17.【答案】【小题】

【小题】
解：样本中，款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”有台，
台；
【小题】
解：款扫地机器人运行最长时间较好，理由如下，
款的中位数大于款的，款的方差小于款的，即款运行最长时间稳定，
款扫地机器人运行最长时间较好．

18.【答案】【小题】
解：依题意得：点在一次函数的图象上，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为：；
【小题】
解：如图所示，即为所求；
对于，当时，，
点的坐标为，
点在线段上，
设点的坐标为，其中，
轴，
点的纵坐标为，
点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
，
，
整理得：，解得：，不合题意，舍去，
当时，，，
点的坐标为．

19.【答案】【小题】
解：由对称性可知，，
在中，，
，
，
，
．
答：遮蔽宽度为；
【小题】
解：如图，过点作于点．
，，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
当时，；
当时，，
．
答：点下降的高度约为．

20.【答案】【小题】
解：，
，
，
，
．
【小题】
解：如图，连接，则，
，，
，．
是的切线，
，
，
，
，
，
即，
．

21.【答案】【小题】
解：由题意可得，
， ，
则剪去的长方形的长为：
则包装盒的表面积 长方形硬纸板的面积 正方形面积 长方形面积 ；
【小题】
解： ，底面积等于 ，
，
解得： 或 舍去，
当 时，方案包装盒的表面积为： ，
两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形，
得图
当 ， 时，满足条件，
，
则包装盒的表面积 长方形硬纸板的面积 正方形面积 长方形面积
方案包装盒的表面积为： ，
则 对方案“表面积最小”的评价准确．

22.【答案】【小题】
解：二次函数的对称轴为直线，
，可得，
二次函数为，
二次函数为常数的图象经过点，
，可得，
二次函数的表达式为；
【小题】
解：设点绕原点顺时针旋转后的点为点，
过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
则有，
根据旋转的性质可得，，
，，
，
在与中，
，
，，
再由象限位置得，
点在抛物线上，
，解得或舍去；
【小题】
解：二次函数的表达式为，且，
二次函数图象开口向上，
在对称轴左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大；
当，即时，
则当时，函数有最大值，最大值为，
当时，函数有最小值，最小值为，
二次函数的最大值比最小值大，
，解得舍去；
当，即时，
则当时，函数有最小值，最小值为，
当，即时，
则当时，函数有最大值，最大值为，
二次函数的最大值比最小值大，
，解得或舍去；
当，即时，
则当时，函数有最大值，最大值为，
二次函数的最大值比最小值大，
，解得或舍去；
当，即时，
则当时，函数有最小值，最小值为，
当时，函数有最大值，最大值为，
此时二次函数的最大值比最小值大，
，解得舍去；
综上所述，或．

23.【答案】【小题】
解：；
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
证明：当时，，
，
，
在和中，
，
，
，
是菱形．
【小题】
解：过点作，
矩形，，
，
，
设，
，
解得，
．
，
．
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
设，则，
．
，
，
解得，
；
【小题】
解：由可知，当时，平行四边形两相邻边的比为，
如图，当时，过点作于点，过点作延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，．
在中，，
设，
，
解得，
．
，
同理可得，
．
，
，
，
即，
解得，
；
当时，过点作于点，过点作交延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
同理可得，
，
由可得，
，
，
，
即，
解得，
．
所以的长为或．

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