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2025-2026学年湖南省株洲市第四中学高二（下）5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. 或
C. D. 或
2.设复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，为其前项的和，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左右焦点分别为，，的直线与双曲线的两支分别交于，两点，，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.函数的定义域为，对任意，，则的解集为( )
A. B. C. D.
8.一份新高考数学试卷中有道单选题，小胡对其中道题有思路，道题完全没有思路有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这道题目中随机抽取道做对的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，点，为曲线上任意两点，且，则( )
A. 曲线由两个圆构成 B.
C. D.
10.已知函数，，下列成立的是( )
A. 若是偶函数，则
B. 的单调增区间是
C. 的值域为
D. 当时，方程都有两个实数根
11.如图，在棱长为的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则( )
A.
B. 点到平面的距离为
C. 如果在此正四面体中放入一个小球全部进入，则小球半径的最大值为
D. 动点在平面内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率为 ．
13.已知在处有极值，则 ．
14.在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则 ；若，则的最小值 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
求，的值；
求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ线段上是否存在一点，使平面？若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点到平面的距离；若不存在，请分析说明理由．
17.本小题分
某科研团队准备攻克甲、乙、丙三项新技术，已知甲、乙、丙三项新技术独立被攻克的概率分别为，，，若甲、乙、丙三项新技术被攻克，可分别获得科研奖金万元、万元、万元若其中某项新技术未被攻克，则该项新技术不会获得科研奖金．
求该科研团队获得万元科研奖金的概率；
记该科研团队获得的科研奖金单位：万元为随机变量，求的分布列及均值．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为．
求的方程；
若点、在椭圆上，为坐标原点，且，求面积的最小值．
19.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若，数列满足
若首项，证明数列为递增数列；
若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】解：的最小值为，
，
又直线的斜率为，
因此，，
，；
．
，列表如下：
极大值 极小值
所以函数的单调增区间是和
，，，
在上的最大值是，最小值是．
16.【答案】解：证明：在平行四边形中，，，
，
又平面底面，平面底面，
底面，
平面，
平面，
，
又，，，平面，
平面；
Ⅱ当为的中点时有平面，证明如下：
连结交于点，则为中点，
取中点，连结，，，
则是的中位线，
，
又平面，平面，
平面．
设点到平面的距离为，
则，
是中点，
，
由知：平面，，
又，，
，
，
由知：平面，、平面，
，，
，
又是中点，，，
，
，得：，
，
即点到平面的距离为．
17.【答案】 分布列见解析，
18.【答案】解：设椭圆的半焦距为，则，，
设，
则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线的斜率与直线的斜率之商为，
所以，解得，
又椭圆的离心率为，所以，，
所以的方程为．
当直线的斜率不存在时，设其方程为，不妨取，，
因为，所以，解得，
所以面积；
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
联立，得，
所以，，，
因为，所以，即，
整理得，
所以，整理得，
所以，
点到直线的距离，
所以面积，
令，则，
所以当时，取得最小值，
综上所述，面积的最小值为．
19.【答案】解可知的定义域为，且．
当即，则，得在单调增加．
当，而，即时，若，则；
若或，则．
此时在单调减少，在，单调增加；
当，即，可得在单调减少，在，单调增加．
综上，当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增．
若，则，由知函数在区间上单调递增．
因为，所以，可知．
假设，因为函数在区间上单调递增，所以，即得．
所以，由数学归纳法可得因此数列为递增数列．
由知：当且仅当，数列为递增数列．
所以，题设即 ，且为正整数．得．
令，则，可知函数在区间递增．
由于，，，所以，首项的最小值为．
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