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2025-2026学年浙江省杭州市西湖区东方中学高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，点平分线段设，，则( )
A. B. C. D.
4.设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在中，，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆是单位圆，点在上，过点，的切线与交于点，设，定义：，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，在所在平面内，满足，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的最大值为 B. 是曲线的对称中心
C. 在上单调递减 D. 的最小正周期为
11.在棱长为的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，满足平面，则( )
A. 三棱锥的外接球表面积为
B. 三棱锥的体积是定值
C. 动点的轨迹是一条圆弧，长度为
D. 动点的轨迹是一条线段，长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则 ．
13.已知，是第三象限角，则 ．
14.若函数的最大值是，则实数的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的值；
求的最小正周期；
求使取得最小值的的集合．
16.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集为，求函数的零点；
若，解关于的不等式．
17.本小题分
对名学生的成绩进行统计满分：分，将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成频率分布直方图．
根据频率分布直方图估计这名学生成绩的众数和分位数保留位小数；
现从中采用分层随机抽样的方法抽取人若成绩在的学生实际成绩的平均数与方差分别为分和；第四组的学生实际成绩的平均数与方差分别为分和，求第三组的学生实际成绩的平均数与方差．
18.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，≌．
若点在棱上，，若平面，求的值；
设平面与平面的交线为，证明：平面；
当平面与平面所成的二面角为时，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数为奇函数．
求的值，并求的定义域；
判断函数的单调性，并证明；
若对于任意，是否存在实数，使得不等式若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】或
15.【答案】解：，
所以；
，，
的最小正周期为；
，
的最小值为，
当且仅当，，
即时，取得最小值，
使取得最小值的的集合为．
16.【答案】解：由的解集为，
可得不等式的解集为，
开口向下，且和为方程的两根，
所以，
令，即，
解得或，
所以函数的零点为和；
由得，
即，
方程的两根为，，
当，即时，不等式化为，
即，解集为；
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式的解集为或，
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或
17.【答案】众数为；分位数为； 第三组的学生实际成绩的平均数为，方差为．
18.【答案】解：如图，连接交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
，在梯形中，，
∽，
，
，
，
；
证明：，平面，平面，
平面，又平面，
平面平面，
，又平面，平面，
平面．
在上取一点，使得，连接，，，
，，
且，
四边形为平行四边形，，
，，，
又，，，
又≌，，
，平面，平面，
平面，
平面，，
过点作，由，则，
平面，平面，
即平面平面，，，
为平面与平面所成的锐二面角的平面角，．
又由，，，
，，，平面，平面，
平面，
为与平面所成的角，
，
，
因此，与平面所成角的正弦值为．
19.【答案】解：函数为奇函数，
在定义域内恒成立，
即，
即，
则，即，在定义域内恒成立，
或，当时，，
，此时，
由，解得，
故函数的定义域是．
，，任取，
设，，
则
，，，即，
，即在定义域内单调递增．
假设存在实数，使得不等式不等式成立，
即不等式，
由，知： 对于任意，
即，当时成立；
当时，令，则，
即，则．
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