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2025-2026学年四川省达州市大竹中学高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量和向量的夹角为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.用斜二测画法画一个边长为的正三角形的直观图，则直观图的面积是( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知各棱长都为的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知平面，两条不重合的直线，，则“存在直线，使”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”如图的两个顶点，动点在“六芒星”上内部以及边界，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为若此三棱台存在内切球球与棱台各面均相切，则此棱台的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，，则角的值可能是( )
A. B. C. D.
10.若直线与平面垂直，则下列说法正确的是( )
A. 直线与平面的所有直线都垂直 B. 在平面内存在与直线异面的直线
C. 在平面内存在无数条直线与直线相交 D. 在平面内存在与直线平行的直线
11.在棱长为的正方体中，，，，下列结论正确的是( )
A. 若时，直线与直线的夹角余弦值为
B. 若时，周长的最小值为
C. 若时，三棱锥的体积为定值
D. 当时，有且仅有一个点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足是虚数单位，则复数的虚部为 ．
13.如图，正三棱锥的底边长为，一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点则爬行的路径最短为 ．
14.在中，，作交于，若，则为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量．
求与的夹角余弦值；
若，求实数的值．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求面积的最大值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为的中点，平面．
求证：；
求与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
如图，矩形中，，，，分别为，的中点．将四边形沿折起至四边形的位置，如图．
求证：平面；
若点在平面上的射影为的中点，求三棱锥的体积；
当平面与平面垂直时，作正方体如图若平面平面，且平面截该正方体所得图形的面积为．
若，则______；
的最大值为______直接写出结果
19.本小题分
球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆经过球心的平面截球面所得的圆在这两点间的一段劣弧的长度这个弧长就被称作两点的球面距离．
在正四棱柱底面为正方形的直棱柱中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离．
如图，在直角梯形中，，，，现将沿边折起到，如图，使得点在底面的射影在上．
求点到底面的距离；
设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离．
参考数据：，．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】解：根据正弦定理及，
得，
，
，
，
；
由知，又，
由余弦定理得，
即，
，
，即，
当且仅当时取等号，
，
的最大值为．
17.【答案】证明：在四棱锥中，因为，平面，平面，
所以平面，
而平面，平面平面，
所以
18.【答案】解：证明：在矩形中，，，
所以在图中，，，又，
，平面，所以平面．
设中点为，则平面，平面，
所以，又，
所以为等边三角形，且，
所以．
连接，，，
易得，平面，
平面，则平面，平面，
所以平面平面．
所以平面截该正方体所得图形为边长为的正三角形，
面积为．
如图，当截面为边长为的正六边形时，面积最大，为．

19.【答案】解：正四棱柱的外接球直径，球半径，
因此球心与点，构成正三角形，弦所对球过，的大圆圆心角为，弧长为，
所以顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离为．
在直角梯形中，，，，，
，，则为正三角形，
在棱锥中，平面，而平面，
则，
又，，，平面，
则平面，
而平面，因此，，
在中，，，，
所以点到底面的距离为．
取中点，则为外接圆圆心，令正三角形的外接圆圆心为，
连接，，，，，则，
平面，平面，
于是，，
在中，，
因此棱锥的外接球半径，
有，
球的弦所对大圆的圆心角为，
，
即是钝角，而，
则，
在大圆中所对劣弧长为，
所以，两点在球上的球面距离为．
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