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河南开封市名校联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，若，则( )
A. B. C. D.
3.某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命单位：小时均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立当元件正常工作，且元件或元件正常工作时，该电器正常工作现有台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，正方体的棱长为，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知各项为正的等差数列的前项和为，且，则为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在定义域上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.袋中有个除了颜色外完全相同的小球，其中有个白球，个红球，个黄球从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则( )
A. B. C. D.
8.如图，直线与曲线交于，两点，其中是切点，记，则下列判断正确的是( )
A. 只有一个极值点
B. 有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C. 的极小值点小于极大值点，且极小值为
D. 的极小值点大于极大值点，且极大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则的最大值为
D. 的最小值为
10.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为，则( )
A. B. 各项系数之和为
C. 只有第项的二项式系数最大 D. 第二项的系数为
11.下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项和为，若，，则 ．
13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
14.现有一个基于数字变换的游戏初始时黑板上写有数字，每轮游戏会对该数字进行一次独立变换，每一次变换有的概率将其擦去并写上原先数字加的数，否则将其擦去并写上原先数字倍的数，设轮变换后黑板上的数字为，已知在的前提下，第轮变换前后数字之差为的概率为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．
证明函数的图象是关于点的中心对称图形
判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；
若函数的图象是弱中心对称图形，且是其弱对称中心，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知某险种首次参保的保费为元，保险期为年在总体中抽取单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表
赔偿次数
单数
表
用频率估计概率，解答下列问题．
已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表所示．
上一个保险期的赔偿次数
下一个保险期的保费
表
已知甲年首次参保，此后计划每年都参保．
估计甲年参保第二个保险期的保费为元，求的数学期望；
求在甲年参保的保费大于元的前提下，甲年参保第三个保险期的保费少于元的概率．
17.本小题分
某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布．
估计数学成绩超过 分的人数占总人数的比例；
若该市有名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数．
参考数据：
若，则，．
18.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
求双曲线的标准方程；
若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数．
若函数为增函数，求的取值范围；
已知．
证明：；
若，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：对任意的，都有．
所以函数的图象是关于点的中心对称图形．
函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形．
理由如下：假设，，使得，则．
从而，即，解得，与矛盾．
所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形．
一方面，若存在，，使得，根据对称性，不妨设．
假设，则，从而由可知，故，矛盾，所以．
故，那么，从而由可知．
所以．
另一方面，若，此时令，则．
此即，且．
从而，这就意味着，故．
而，故，从而．
这就说明存在，，使得．
综合两个方面可知，实数的取值范围为．

16.【答案】【详解】的可能取值为，，，，；
，，
，
即的分布列为
数学期望为：
元
甲年参保的保费大于元的概率为
甲年参保的保费大于元，且年参保的保费少于元的情况包括：
年参保的保费为元，且年的赔偿次数为；
年参保的保费为元，且年的赔偿次数为
其概率，
故所求的概率为

17.【答案】由题意得，数学成绩，其中，，则。
要求数学成绩超过分的比例，即求。
因为，根据正态分布的对称性，。
已知，则。
由于，故。
由题意得，要求全市数学成绩在内的学生人数，需先求。
因为，，即求。
根据正态分布性质：
，
，
则。
该市有名考生，故所求人数为。
18.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点，
所以，解得，
所以双曲线的标准方程为；
由知双曲线的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，直线，此时，
则，
所以直线的斜率存在，设方程为，，
联立方程，得，
所以，且，
所以，
则，
所以，
所以线段中点为，
因为，
所以点在线段的中垂线上，
所以，
当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意；
当时，，
所以，整理得，
解得或，满足，
综上，直线的方程为或或．

19.【答案】解：，则，
若是增函数，则，且，可得，
故原题意等价于对恒成立，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递增，在递减，
故，的取值范围为．
由可知：当时，单调递增，
，则，即，
整理得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递减，在递增，
故，
即，当且仅当时等号成立，
令，可得，
综上；
，则，
可知有两个不同实数根，由知，
可得，
同理可得，
构建，则，
当时，；当时，；
当时，；
且，故对恒成立，故在上单调递减，
，则，即，
且，则，故，
可得；
又，由可得，即，
则，
且，则，可得；
综上所述：．
可得，则
故．

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