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上海市浦东新区2025-2026学年高二下学期期末综合练习数学试题
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆与圆的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
2.过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
3.用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足：，，则一定存在，使数列中：
A. 存在，有
B. 存在，有
C. 存在，有
D. 存在，有
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.直线的斜率为 ．
6.椭圆的离心率为 ．
7.在等比数列中，，公比，则的值为 ．
8.若直线与圆相切，则实数 ．
9.已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为 ．
10.以为渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 ．
11.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ．
12.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为 ．
13.已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为 ．
14.已知曲线：，及有穷等差数列，且的公差直线交曲线于点，若有互不相同的正整数，，，满足，则的最大值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到，此后其位移单位：与时间单位：近似满足函数关系．
分别求火箭在、这些时间段内的平均速度；
求火箭在时的瞬时速度；
16.本小题分
已知直线：与直线：，．
若，求的值；
若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．
17.本小题分
已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
求数列的最小项；
求数列的通项公式．
18.本小题分
已知圆经过原点和点，圆心在直线上．
求圆的标准方程；
若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
19.本小题分
学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长米、宽米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆、半圆拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有、两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求、的距离尽可能远．
、两位同学应处在什么位置？请说明理由；
若要在操场边界上关于中轴线对称的两点、处分别放置两个音箱、两点在线段上，要求两个音箱间的距离尽可能大，同时、两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过秒声音在空气中的传播速度为米秒，求音箱距中轴线的距离精确到米．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】或
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：平均速度公式为
在 时间段内：
，，
则
在 时间段内：
，
则
瞬时速度为位移函数的导数：，
当 时，．

16.【答案】解：由题意得：，解得：或，
经检验，均满足要求，所以或；
将点代入中，得，解得：，
因为直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，
当两截距均为时，设直线为，代入，可得，此时直线为；
当两截距不为时，设直线为，代入，可得，故此时直线为；
综上：直线的方程为或．

17.【答案】解：由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为
因为，所以当或时，取得最小值．
，．
故的最小项为．
当时，．
当时，．
验证时，，故通项公式为：

18.【答案】解：因为圆心在直线上，设圆心，
由得，
化简得，解得，
故圆心，半径，
圆的标准方程为
圆心到直线的距离为，由弦长公式，
得，解得，
当直线斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离为，符合条件；
当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为，
整理得，
由点到直线距离公式可得，解得，
直线的方程为；
综上直线的方程为或．

19.【答案】【详解】由题意可得
，
当、、、四点共线时，、两点间的距离最大，
此时、两点分别在圆弧的中点，距离为米．
如图所示，以所在的直线为轴，以中轴线为轴建立平面直角坐标系，
则，．
根据题意可得，
则、两点在以、为焦点的双曲线上，，即．
设双曲线方程为，则，
解得，
所以，即．
因此音箱距中轴线距离约为时为最佳放置点．

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