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上海市浦东新区2025-2026学年高一下学期期末综合练习数学试题
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果是锐角，那么是( )
A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 小于的正角 D. 钝角
2.设，则“”是“复数”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.已知单位向量的夹角为，若，则为( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.设函数，，值域为，则以下结论错误的是( )
A. 的最小值为 B. 不可能等于，
C. 的最大值为 D. 不可能等于，
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数的最小正周期为 ．
6.已知为锐角，且，则 ．
7.已知扇形的弧长为，半径为，则扇形的面积为 ．
8.在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是 ．
9.已知，则 ．
10.已知中，，，，则在方向上的数量投影为 ．
11.函数的单调递增区间为 ．
12.在中，，，面积为，则 ．
13.已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ．
14.已知，且为锐角，则的值为 ．
15.关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数 ．
16.如图，在梯形中，，，，，点在线段上，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知为虚数单位，为实数，复数．
当时，求的模和；
若为实数，求的值．
18.本小题分
以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系．如图，将角、、所对的边分别记作、及，则点、的坐标分别为及，试证明：．
19.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
设，，求的取值范围．
20.本小题分
某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布且异于点，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，．
求观赏通道的长；
若，求折线段通道的最大值即最大．
21.本小题分
已知函数，其中
求函数的振幅和初相；
若，且，求的最小正周期和对称轴方程．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：当时，，
所以复数的模为，共轭复数为．
因为，
因为该复数为实数，所以虚部为，
即：，解得．

18.【答案】证明：由题意，，，
则，
两边平方得：
，
即，得证．

19.【答案】解：因为，则，即，得．
所以
．
因为，所以，
则，，
因此，即的取值范围为．

20.【答案】解：在中，已知，，，
由正弦定理：，代入数据：，
因为，，则，解得．
在中，，，设，，
由余弦定理：，即，
变形可得：，由基本不等式当且仅当时取等号，代入得：即，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此折线段通道的最大值为．

21.【答案】解：
因此，函数的振幅为，初相为
由题意，是函数的最小值，是函数的最大值，
所以为半个最小正周期，即，得．
又因为，所以
此时
令，得．
所以的对称轴方程为．

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