资源简介

莱州一中2025级高一第四次质量检测数学试题
答题时间：2026.6.11
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则，，共面 D．若，，共点，则，，共面
2．在一个袋子中放2个白球、2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少摸出1个白球 B．至少摸出1个红球
C．摸出2个白球 D．摸出2个白球或摸出2个红球
3．为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播+录播”方式进行线上教学的学校占比约为（ ）
A．22.5% B．27.5% C．32.5% D．37.5%
4．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生．已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（ ）
A．16 B．30 C．24 D．18
5．在空间四边形中，，，E，F分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．正四棱台中，，，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．四棱锥中，，其余各棱的长均为2，则点P到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知m，n为空间中两条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
11．如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，M是中点，N在正方形（含边界）内运动，点P、Q分别在线段和上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．点D到平面的距离为
B．二面角的余弦值为
C．当平面时，点N的轨迹长度为
D．线段长度的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为_________．
13．某单位对全体职工的某项指标进行调查，先按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为_________．
14．如图，在直三棱柱中，点D为棱上的点．且平面，则_________．已知，，以D为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知正四棱锥，M，N分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥各棱长均为2，求直线与所成角的余弦值．
16．（15分）一个袋中有4个大小、质地都相同的小球，其中红球1个、白球2个、黑球1个，现从袋中又放回地取球，每次随机取一个．
（1）求连续两次都取到白球的概率．
（2）若取到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率．
17．某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个．
（1）求n和乙样本直方图中a的值；
（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）．
（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率．
18．（17分）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，．
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
19．（本小题17分）
已知点P是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点O，已知，是等边三角形．
（1）求证：；
（2）求点D到平面的距离；
（3）若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长．
12025级高一第四次质量检测答案
一．1—8 BCBCD ABB 9．BCD 10．AC 11．ABD
二．12． 13．3.56 14．1，
三．15．解析：（1）取的中点为Q，连接，．
由于N是中点，故，且，
又且，
故，，则四边形为平行四边形，
故，平面，平面，
故平面
（2）由（1）知：，故或其补角即为直线与所成角，
由于为边长为2的等边三角形，故，
，，
故，
故直线与所成角的余弦值为
16．（1）连续取两次所包含的基本事件有：
（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），
（白1，黑），（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），
（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数为16．
设事件A：连续取两次都是白球，A所包含的基本事件有：
（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2），共4个，
所以，．
（2）设事件B：连续取两次分数之和为3分，设事件C：连续取两次分数之和为4分，设事件D：连续取两次分数之和大于2分，则，且事件B与事件C互斥，
因为事件B所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以，
因为事件C所包含的基本事件有：（红，红），所以，
故．
即连续两次取球所得分数之和大于2分的概率为．
17．（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得；
由乙样本数据直方图可知，，解得；
（2）甲样本数据的平均值估计值为
，
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为x，
，解得，所以乙样本数据的中位数为82．
（3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，
将从分数在中抽取的2名学生分别记为，，从分数在中抽取的4名学生分别记为，，，，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，，，，，，，，，，，，，，，共15个，
所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为
18．解：（1）如图：过P作于H，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，而平面，所以，又因为，，所以平面．
（2）连接、，作于E，连接．
由（1）可知平面，所以直线在底面上的射影为直线，从而可得为直线与平面所成角．不妨设（），则，，所以，
从而，，
因为平面，而平面，所以，又因为，
所以平面，而平面，所以，所以为二面角的平面角．
在中，求得，
在中，求得，所以，所以二面角的余弦值为
法二（2）如图所示，连接，，过点D，P作，，分别与交于点M，N，过点M作，交于点Q，连接，设，，，
则，由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，平面，，则，，解得：，故，，且，
即，解得，，
又，所以平面，，，且，即，解得，，，所以点M为线段的中点，故点Q也为线段中点，所以，，所以即为二面角的平面角，
19．（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O，
平面，平面，，
∵四边形为菱形，
，，、平面，
平面，平面，．
（2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，
，，，
，，
设点D到平面的距离为h，由得，
即，解得．故点D到平面的距离为．
（3）设直线与平面所成的角为，平面，
∴E到平面的距离即为D到平面的距离h．
过E作垂线平面交于点F，则，
此时，要使最大，则需使最小，此时．
由题意可知：，，平面，且，
，，
在中，由余弦定理可得：，
，
由面积相等，
即，解得：，，，
即点E在线段上靠近点D的4分点处，此时，．
2

展开更多......

收起↑