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2026 年高新中学学业水平考试数学第三次模拟测试卷
满分：100 分 时间：90 分钟
班级________ 姓名________ 学号________
一．选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题给出 4 个选项，其中只有一个是正确的。）
1．下面几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．某速冻元宵的储藏温度是﹣18±2℃，下列四个冷冻室的温度中，不适合储藏此种元宵的
是（ ）
A．﹣22℃ B．﹣20℃ C．﹣18℃ D．﹣16℃
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a5
C．（a2）3＝a5 D．（a﹣3）2＝a2﹣9
4．将图 1 的三脚插头随机插到图 2 的插座面板的四组插孔上，能恰好
插上的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
5．如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A′B′的位置，
已知 AO的长为 4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆 A端升高的高度
为（ ）
A 4． 米 B．4sinα米
sin
C 4． 米 D．4cosα米
cos
6．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点 A，B在直线 l上，∠CAD
＝∠EBF＝90°，∠C＝45°，∠F＝30°，点 A，E，D，F在同一条直线
上，当 CD∥AB时，则∠ABE的度数为（ ）
A．45° B．35° C．25° D．15°
7.2026年 4月 26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中
的“骑跑全程组”，需先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km．已知小华全程共花了3h，骑
行的平均速度是跑步的平均速度的 2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为
xkm / h，根据题意，可列方程为（ ）
3 60 3 3 60 3 6 60 6 60A． B． C 3 D 3x 2x ．2x x x 2x ． 2x x
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8．如图 1，在矩形 ABCD中，E是 AB的中点，动点 P从点 E出发，沿直线运动到矩形边上一
PA
点，再从该点沿直线运动到顶点 C．设点 P运动的路程为 x， y，图 2是点 P运动时 y
PB
随 x变化的关系图象，则矩形 ABCD的对角线 AC的长是（ ）
A． 5 B．4
C． 2 5 D．8
二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。）
9．已知 x2+2x＝4，则代数式 7﹣x2﹣2x的值为 ．
10．如图，五边形 ABCDE，A B C D E 是以坐标原点 O为位似中心的位似图形，已知点 A，A
的坐标分别为 2,0 ， 3,0 ．若DE的长为 3，则D E 的长为________．
11．如图，在 O中，弦 AB,CD相交于点E, AEC 74 , ABD 36 ，则 BOC的度数为______ ．
第 10题 第 11题
12．如图，点 A 2 4是反比例函数 y 在第二象限内图象上一点，点 B是反比例函数 y 在
x x
第一象限内图象上一点，直线 AB与 y轴交于点 C，且 AC＝BC，连接 OA、OB，则△AOB
的面积是 ．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点 C作 CD⊥BC，连接 DA，DB，过点
A作 AE⊥BD于点 E，若∠EAD＝2∠ADC，△ADC的面积为 6，则 BC的长为 ．
第 12题 第 13题
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三．解答题（本大题共 7 小题，共 61 分。）
14. (6分)计算： 4+(1 2026)0 2cos45°+|1 2|．
x 1≥ 3 x
15. (7分)解不等式组 5 x＞2(x 2)，并求出此不等式组的整数解．
16．(8分)为了解某区城乡艺术教育质量发展情况，某调查小组从农村和城区各抽取 1所学校
进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了 10名学生，数据分析如下．
【收集与整理】
农村学校 10名学生的艺术成绩（单位：分）：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
城区学校 10名学生的艺术成绩（单位：分）：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．
【描述与分析】
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如表：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 95.2
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表格中 a、b的值，a＝ ，b＝ ；
（2）【迁移与应用】
若从本次艺术成绩在 95分以上的 4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表
法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对
艺术教学提出一条合理化建议．
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17．（8分）排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”．学
校现决定购买 A、B两种品牌的排球．据了解，购买 2个 A种品牌的排球和 1个 B种品牌
的排球需 210元，购买 1个 A种品牌的排球和 2个 B种品牌的排球需 180元．
（1）求 A、B两种品牌排球的单价分别为多少元？
（2）学校决定购买 A，B两种品牌的排球共 50个，且购买 A种品牌排球的数量不少于购
买 B种品牌的排球数量的一半，学校采取哪种购买方案时花费最少？并求出最少费用。
18.（9分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以 A为圆心，AB的长为半径作圆，CE是⊙A
的切线与 BA的延长线交于点 E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点 A作 BC的垂线交 EC的延长线于点 D．（保留作图痕迹，
不写作法.）
（2）在（1）的条件下，连接 BD．
①试判断直线 BD与⊙A的位置关系，并说明理由；
②若 tan E 3 ，⊙A的半径为 3，求 DB的长．
4
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19．（11分）在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为1，对
称轴相同，且图象与 x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命
名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该
构想，小展同学用二次函数 y x2 2mx作为其中一个函数（标记该函数图象交 x轴于原点O及
点 A）做了有关研究，请你帮他解答．
【特例感知】
（1）当m 2时，如图，抛物线 L : y x2 4x上的点O,B,C,D, A关于与之
对应的“和合对称抛物线”图像 L 的“和合点”分别为O ,B ,C ,D ， A ．如
下表：
… O 0,0 B 1,3 C 2,4 D 3,3 A __, __ …
… O 0,0 B 1, 6 C 2, 8 D 3, 6 A 4,0 …
①补全表格： A __, __ ；
②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛
物线”图象 L ．
③当m 1时，若抛物线 L的顶点为点 P，点 P对应的“和合点”为点Q，则点Q的坐标为______；
【初步探讨】
（2）在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现与二次函数 y x2 2mx对
应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线 L ，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，
请求出抛物线 L 的解析式．
【进阶探究】
（3）若抛物线 L : y x2 2mx及与它对应的“和合对称抛物线” L 与直线 y m有且只有三个交
点，求m的值．
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20.（12分）综合与实践
【问题情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题．
【发现问题】现有一张长为 2．宽为 1.8的矩形 ABCD纸片．由于该矩形纸片的长与宽的
长度很接近．为了确定 AB与 BC哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图 1，嘉嘉的方法： 如图 2，淇淇的方法：
①将矩形 ABCD纸片沿过点 B的直线折叠， ①将矩形 ABCD纸片的顶点 A与 C通过折叠重
使点 A的对应点 A′落在 BC边所在的直线 合，设折痕与矩形的边分别交于 E，F两点，并
上； 且满足点 E在点 F的上方；
②最终发现点 A′在线段 BC上． ……
【探究问题】
（1）在图 1中通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为 （填“AB”或“BC”）；
在图 2中，结合淇淇的方法，画出折痕 EF（不限作图工具），并判断较长边为 （填
“AB”或“BC”），若连接 AE、CF，则四边形 AECF的形状为 .
【拓展应用】
在四边形 PQMN纸片中，PN∥QM，∠PQM＝90°，PQ＝4，QM＝5，PN＝8．按如下
要求折叠该四边形纸片．
（2）如图 3，将四边形 PQMN纸片沿对角线 QN折叠，请判断点 M的对应点 M′能否落
在边 PN上，说明理由；
（3）如图 4，将四边形 PQMN纸片折叠，使折叠后点 M的对应点 M′始终落在边 PN上，
点 Q的对应点为 Q′，折痕与边 PQ、MN分别交于 G、H两点．当 cos∠PGQ′= 4时，求
5
GQ的长．
P N
Q M
备用图
第 6页，共 6 页2026 年高新中学学业水平考试数学第三次模拟测试参考答案
一．选择题（共 8小题，每小题 3分，共 24分，每小题给出 4个选项，其中只有一个是正确的。）
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B A B D C C
二．填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。）
9
9. 3 10. 2 11. 140 12. 3 13. 4 3
三．解答题：（本大题共 7小题，共 61分。）
14. 2解：原式= 2 + 1 2 × + 2 1 .................................................4 分
2
= 2 + 1 2 + 2 1 .................................................5 分
＝2． ............................................6 分
1 ≥ 3 ①
15.解： ，
5 ＞2( 2)②
由①得：x≥﹣1， ....................................2 分
由②得：x＜3， ......................................4 分
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3， ........................................6 分
则不等式组的整数解为﹣1，0，1，2． .........................................7 分
16．解：（1）农村学校 10 84+86名学生的艺术成绩中位数 = = 85，城区学校 10名学生的艺术成绩中出现
2
次数最多的是 87，即 b＝87；
故答案为：85，87；........................................................................2分
（2）农村学校 95分以上的学生分别记为 A1，A2，城区学校 95分以上的学生分别记为 B1，B2，画树状
图如下：
...............................................................4分
一共有 12种等可能结果，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有 2种，
........................................................5分
∴P 2 1（所选两名学生恰好都是城区学生）= = ；.......................................................6分
12 6
（3）从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；
从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学；
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从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平；
从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议
减小两极分化程度．.....................................................8分（其他建议酌情给分）
17.解：（1）设 A种品牌排球的单价为 x元，B种品牌排球的单价为 y元，........................1分
2 + = 210
依题意，得 + 2 = 180．.............................................................................2分
= 80
∴ = 50．...................................................................................3分
答：设 A种品牌排球的单价为 80元，B种品牌排球的单价为 50元；..........................4分
（2）由题意，设购买 A种品牌排球 m个，则购买 B种品牌排球（50﹣m）个，
∴ ≥ 1 (50 ) 50．∴m≥
2 3
50
∴ ≤m≤50．且 m为正整数，...............................................................................................5分
3
设购买排球的总花费为 W元，
则 W＝80m+50（50﹣m）＝30m+2500．..................................................................6分
∵30＞0，∴W随 m的增大而增大
50
又∵ ≤m≤50．且 m为正整数
3
∴当 m=17时，W最小值=30m+2500=30×17+2500＝3010元 ..............................................................7分
此时 50﹣m=50﹣17＝33个．
答：购买 A种品牌排球 17个，B种品牌排球 33个时，花费最少．......................................8分
18.解：（1）如图，直线 AD即为所作的垂线；
.......................................3分（作图 2分，结论 1分）
（2）①BD与⊙A相切，理由如下：
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是 BC的垂线，
∴∠ABC＝∠ACB，且 AD是 BC的垂直平分线， .......................................4分
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠DBC．
∵CD与⊙A相切于点 C，
∴∠BCD+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠DBC＝90°，即∠ABD=90°.......................................5分
∴AB⊥BD，又 AB为⊙A的半径
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∴BD与⊙A相切； .......................................6分
②在 Rt△AEC中，
∵ = 3 = ，AC＝3，
4
∴EC＝4， ......................................7分
根据勾股定理，得 AE= 32 + 42 =5，
∴BE＝AB+AE＝3+5＝8，......................................8分
在 Rt△BDE中，
tanE= ∵ = 3，
4
3
∴BD= BE＝6 .......................................9分
4
19.解：（1）①（4,0） ........................1分
②描点画图即可，如下图
........................3分（描点 1分，画图 1分，）
③点 Q 坐标为__（-1，-2）___； ........................5分
【详解】①当m 1时，抛物线 L : y x2 2x，
与 x轴交点为O 0，0 、A 2，0 ，
y x2 2x 2 x 1 1，
∴顶点 P坐标为 1，1 ，
设抛物线 L : y ax2 bx，
1 a 1

则 b 2

，
2a 2 2
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a 2
解得 ，
b 4
∴抛物线 L : y 2x2 4x，
当 x= 1时， y 2 2 1 4 1 2，
∴Q坐标为 1， 2 ，
（2）抛物线 L : y x2 2mx，与 x轴交点为点为 0，0 、 2m，0 ，
则设抛物线 L : y 2x 2 bx ，
x b 与 轴交点为点为 0，0 、 ，0 ，
2
b
∴ 2m ,解得b 4m，
2
抛物线 L : y 2x2 4mx， .................................6分
y 2x2 4mx 2 x m 2∴ 2m2，
2
∴顶点为 m， 2m ，
∵其横、纵坐标互为相反数，
m 1 2m2=0，解得m 0或m ，.................................7分
2
∴抛物线 L 为y 2x2或y 2x2 2x； .................................8分
3 2（ ）抛物线 L : y x2 2mx x m m2，
2
∴其顶点为 m,m ，
2
则抛物线 L : y 2x2 4mx 2 x m 2m2，
∴其顶点为 m, 2m2 ， .................................9分
当直线 y m过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有3个交点，
∴m m2或m 2m2 ，
1
解得m 0、m 1或m ， .................................10分
2
当m 0时，两个抛物线与 y m只有一个交点，不满足条件，
1
∴m为1或 ． ................................11分
2
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20.解：（1）答案为：BC ， ...............................1分
BC ， ...............................2分
菱形 ................................4分
【详解】折痕 EF，如图 2即为所求；
四边形 AECF的形状为菱形；理由如下：
设 AC与 EF相交于点 O，
同理由折叠的性质可知 AF＝CF，且 AO＝CO，
又∵AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，∠OAF＝∠OCE，
在△OAF和△OCE中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△OAF≌△OCE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝AE＝CE＝CF，
∴四边形 AECF为菱形；
（3）点 M的对应点 M′能落在边 PN上．理由如下：
如图 3，过点 M作 MK⊥PN，则四边形 PQMK为矩形，
∴PK＝QM＝5，MK＝PQ＝4，
∴KN＝PN﹣PK＝3， ................................5分
在 Rt△MNK中，由勾股定理得： = 2 + 2 = 42 + 32 = 5，
∴MN＝QM，
∴∠MQN＝∠MNQ，................................6分
又∵PN∥QM，
∴∠MQN＝∠PNQ，
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∴∠MNQ＝∠PNQ，................................7分
∴QN是∠PNM的平分线，
∴将四边形 PQMN纸片沿对角线 QN折叠，点 M的对应点 M′能落在边 PN上；...........................8分
5 35
（3）GQ的长为 或 ．理由如下：
9 9
当 Q′在 PQ左侧时，设 M′Q′与 PQ相交于点 O，如图 4，
由翻折可知∠OQ′G＝90°，GQ＝GQ′，QM＝Q′M′＝5，
不妨设 GQ＝4x，
∴ ∠ ′ = ′ = 4 = 4，
5
解得：OG＝5x，
在直角三角形 OQ′G中，由勾股定理得： ′ = 2 ′2 = 3 ， = 4 = 4 9 ，
又∵∠GOQ′＝∠POM′，∠P＝90°，
∴△OGQ′∽△OM′P， ................................9分
′ = 3 = 5 ∴ ，即 ，
′ 4 9 ′
解得： ′ = 20 45 ，
3
∴ ′ ′ = ′ + ′ = 3 + 20 45 = 5，
3
解得： = 5，
36
∴ = 4 = 5； ................................10分
9
当 Q′在 PQ右侧时，延长 GP、M′Q′相交于点 H，设 GQ′与 PM′相交于点 I，如图 5，
由翻折可知 GQ＝GQ′，MQ＝M′Q′＝5，∠GQ′M′＝90°，
设 PG＝4x，则 GQ＝4﹣4x，
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∠ ′ = = 4 = 4∴ ，
5
解得：GI＝5x，
∴PI＝3x，IQ′＝GQ′﹣GI＝GQ﹣GI＝4﹣4x﹣5x＝4﹣9x，
又∵∠PIG＝∠Q′IM′，∠GPI＝90°，
∴△PIG∽△Q′IM′， ................................11分
= 3 4 ∴ ，即 = ，
′ ′ ′ 4 9 5
1
解得： = ，
36
∴ = 4 = 1， = = 4 1 = 35；
9 9 9
5 35
综上所述，GQ的长为 或 ． ................................12分
9 9
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