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2026年浙江省杭州市拱墅区观成教育集团中考二模数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.某天，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是( )
城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 上海
气温
A. 哈尔滨 B. 广州 C. 武汉 D. 上海
3.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
6.如图，为的弦，于点若，则等于( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著算法统宗中记载：“今有里长值月议云每里科出银五钱依帐买物以辨酒席多银三两五钱每里科出四钱亦多五钱问合用银并里数若干”意为：里长们“里”是指古代的一种基层行政单位在月度会上商议出银子购买物资办酒席之事若每里出钱，则多出钱若每里出钱，则多出钱问办酒席需多少银子，里的数量有多少个若设里的数量有个，办酒席需要用钱银子，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
8.一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了次，成绩如图所示，对于这次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是( )
A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是
9.已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.如图，正方形中，，点在边上，，是的中点，点在边上，，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.因式分解：
12.若分式的值为，则 ．
13.一只不透明的袋中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 ，则袋中约有红球 个．
14.如图，在中，，，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为
15.已知一次函数和当时，，则的取值范围是 ．
16.如图，在矩形中，点在边上，，连接，点关于的对称点恰好落在线段上，连接，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
先化简，再求值：，其中．
18.本小题分
解不等式组，并把解集表示在数轴上：．
19.本小题分
为弘扬中华传统文化，某学校决定开设民族器乐选修课，为了更适合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，给出以下未完成的统计图．
这次抽样调查中，共调查__名学生，请补全条形统计图．
扇形统计图图，“古筝”部分所对应的圆心角为 度，“二胡”部分所对应的圆心角为 度．
如果从选择“琵琶”选项的学生中，随机抽取名学生参加“琵琶”乐器选修课，请求出被选中的学生的可能性大小．
20.本小题分
小成同学按如下步骤作四边形：画；以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连结；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线交于点，在射线上截取；连结、．
求证：四边形是菱形；
若，求四边形的面积．
21.本小题分
某种产品因原料涨价，厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
第一次提价，第二次提价；
第一次提价，第二次提价；
第一、二次提价均为．
其中、是不相等的正数，三种方案哪种提价最多？
【特例猜想】：为解决这个问题，小武设产品原价为元，，，计算出方案提价后商品的价格分别为 元、 元、 元，由此猜想，方案 提价最多．
【推理验证】：小林认为，这个问题可以直接运用代数推理说明哪一种方案提价最多．请你帮小林写出完整的推理过程．
22.本小题分
【研学实践】：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都是当地的地标，在古时主要承担报时之责．杭州鼓楼坐落于杭州市上城区清河坊，始建于隋代，五代吴越国时曾改建，现存的建筑是年依明代风格复建的．周末我校研学小组对杭州鼓楼的高度进行测量．
【方案设计】：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为，观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得鼓楼顶端点的俯角为．
【数据应用】：已知图中各点均在同一竖直平面内，，两点的水平距离，，请根据上述数据．计算杭州鼓楼的顶端到地面的距离．结果精确到；参考数据：，，，，，
【反思改进】：研学小组的测量结果与鼓楼实际高度存在约的误差，为了减少误差，小组同学想出了许多办法．请你帮研学小组提出一条合理的减少误差的建议．字数不超过个字
23.本小题分
已知抛物线为常数经过点．
若抛物线经过点，
求抛物线的函数表达式．
若抛物线上的点在直线上方，且时，求的取值范围．
若关于的一元二次方程有解，且解都为非负实数，求的最大值和最小值．
24.本小题分
如图，已知内接于圆，，是上一动点，，两点在两侧，以，为邻边作平行四边形，其中直线交于点．
若直线恰好经过圆心，如图，
求证：；
当，时，求的值．
如图，直线与交于点，当直线恰好经过的中点时，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】 度
15.【答案】，且
16.【答案】
17.【答案】；．
18.【答案】解：
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
数轴表示如图：

19.【答案】【小题】
解：根据题意得：
名，
喜欢古筝的有人，喜欢琵琶的有人，
故答案为：；
【小题】
【小题】
被选中的学生的可能性大小是：．

20.【答案】【小题】
证明：由作图步骤可知：，平分，，、、在同一条直线上，
平分，
，
在和中，
，
，，
、、在同一条直线上，
，
，即，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
即四边形是菱形
【小题】
四边形是菱形，，
，，，
在中，，，
，
，
，
即四边形的面积为．

21.【答案】【小题】

【小题】
解：方案提价最多，理由如下：
设产品的原价为元，
当是不相等的正数时，
方案：提价后的价格为，
方案：提价后的价格为，
方案：提价后的价格为，
其中：方案与方案的价格相等；
，
，
方案提价最多．

22.【答案】【小题】
解：过点作于点，延长交于点，如图所示：
则四边形、四边形都是矩形，，
，，，
设，则，
在中，，，，
，
在中，，，，
．
，
，
解得：，
，
．
答：杭州鼓楼的顶端到地面的距离约为．
【小题】
多次改变无人机高度，进行测量，求平均值

23.【答案】【小题】
解：抛物线为常数经过点，，
解得：
；
设直线的解析式为：，
由题意得：
解得：
，
点在抛物线上，
当时，，
抛物线上的点在直线上方，
，
解得：
，
当时，为，
当时，为，
；
【小题】
解：抛物线为常数经过点，
即：，
关于的一元二次方程有解，
有解，
，
即：，
解得：或，
方程的解都为非负实数，设两根为，
解得：，
，
的最大值为，最小值为．

24.【答案】【小题】
证明：直线恰好经过圆心，
延长，交于点，如图所示：
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，
；
过点作于点，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【小题】
解：连接，，延长，交于点，如图所示：
点是的中点，是直径，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为直径，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
点为的中点，
点为的中点，
，
．

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